2023年河北省邢台市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2023年河北省邢台市统招专升本数学自考

真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

已知函数/（才）在（-8,+8）内可导，周期为，1,且|而「1）一/（I-工）=-1,则曲线

y=/（T>在点处的切线斜率为（）

A.yB.OC.-1D.-2

2.

设/均存在.以下四式中错误的一项是（）

A./<.ro）=lim/V—。）B.f'（工。）=]im八勺+髭一,）

C.八Ho）_lim八也+平）+/F）D./（0）=lim

*~*oZXTx—0JC

3.

曲线y=2+lnx在x=e处的法线的斜率为（）

D.

4.

函数)=(1—xY{x<1)的微分dy=()

A.(1-x)JIln(l—x)+B.(1—xYfln(l-x)

C.x(l-r)^dxD.一«r（l—力广%工

5.

/sirudw=)

A.zB.一nC.1D.0

6.

设函数八幻的定义域为[0,1],则函数/(lnx)的定义域为()

A.(-oo,4-oo)B.[l.e]C.[0,1]D.(O.e]

7.

.设/(.r)在[―a,a]上连续，则[―/(一.r)[dz=()

J~a

A.2f/(x)dTB.2[f(—x)dxC.\f(x)d.rD.0

J0J0J-a

8.

oo

已知级数.则下列结论正确的是()

M-I

8

若lim〃”=0,则2收敛

ft・8_.I

OOOO

3.若的部分和数列｛SJ有界•则收敛

1n-1

88

二若£|U.I收敛.则绝对收敛

#■11

88

工若2II发散.则»”也发散

1I

9.

3-j2

f2.Zedw=()

Jo

A.1B.OC.1-2e-,D.e-1-1

10.

设八1)的一个原函数为sin2«r,则j/(%)dx=()

A.cos2xB.sin2HC.cos2x+CD.sin2%+C

11.

22

若J/XaOdr=jc+C,贝Ijjx•/(1—x)dj'=)

A.-2(l-.?)2+CB.2(1—/)2+C

22

C.一9(1一彳2)2+。D.J(1-^)+C

12.

设函数/Cr))

A.1

13.

设£=汁苕三I.则其实部和虚部分别为

<_J__32J_32_32_J_1

HrDn-32

.一分’―西25*25.一天’一天25,25

14.

当Z-0时，下列无穷小量与ln(l+2z)等价的是()

A.XB.yJCC.x1D.sin2i

15.

.极限lim,.红匕—=()

二；g+1-1

A.0B.4c-D.T

4

16.

设a=jEctr,6=j[""'"clr•则()

A.a=bB.a>6

C.aVbD.a,b无法比较

,函数匹=ln(x-l)+-」-的定义域为()

V16-X2

17A(l,4]B.[1,4]C.(l,4)D.[l,4)

下列结论正确的是()

18A.函数/(x)的驻点一定是/(X)的极值点

B.函数/(x)的极值点一定是/(x)的驻点

C.函数/(x)在X。处可导，则/(%)在0处连续

D.函数在/连续，则/(x)在/处可导

19.

下列函数中.在［一1.11上满足罗尔定理条件的是()

A.3,—ln(l—X2)B.j=|x|

C.y=v^xs_1D.>=v71+x

20.

若点(1,-2)是曲线的拐点，则()

A.a—1.6=3B.a――3,b——1

C.a――1,b3D.a=4,6=6

21.

设平面曲线C是从点(1,1)到点(2,3)的直线段，则对坐标的曲线积分

12xdx+(y_x)4y=()

A.-4B.4C.2D.6

22.

(Z*?1],T0,

/(T)=Jlim/(x)存在,则a=)

(21+a.1>0,*"

A.-1B.OC.1D.2

23.

若不定积分j?Cr)dz=J+C,则/'(力=()

A.In!xIB.—C.-4D」

XXJC

24.

・微分方程学+柴=1是

()

A.二阶非线性微分方程B.二阶线性微分方程

C.一阶非线性微分方程D.一阶线性微分方程

25.

若函数y=/(〃)可导,〃=e",则dy=()

Aj(e')drB./(e')deJCJ%)e也D,[/©)了de，

26.

125

若行列式13-2=0,则1=()

25w

A.-3B.-2

C.2D.3

27.

w=0是函数f(x)=----手壮的()

A.可去间断点B.连续点

C.无穷间断点D.跳跃间断点

28.

].sin2(1—x)

()

(x-l)2(x+2)

.1„1,2

C.0D.-y

A-T*5

29.

设四阶矩阵N=(a,一%,〃，一九)，8=(夕,七,一73，%)，其中见伉72，73,但均为4

维列向量，且已知行列式国=4,恸=1,则行列式卜-理=()

A.20B.30C.40D.50

30.

下列级数中发散的是(

%B.SFC.玄店D.fjsi哪

n

»=i•3B=ivw~r1s=i3

二、填空题(20题)

y/a2—.r2d.J'=

31."

32.

设曲线L；/+/=t，则对弧长的曲线积分©Cr—sin，犬+J)ds=

二阶线性齐次微分方程/+2y—3y=0的通解为

33.

x3Vl-x2dx=.

34.2

积分fcd:=

35.J"

36.

设/(H)在［O,l］上连续,|"(|cosj'|)dj'=A，则/=|/(|COSJC|)d.z-

J。Jo

函数(f-D2d的拉氏变换为

37.

38.

向量a=(1・一1.2｝在b=｛0,3,4｝上的投影为

39.

极限lim+2-x—3)

才一十8

已知极限lim/l=e-\则常数A=

40.…\左下)

41.

设。=4，-3,2｝与匕=｛1,2,入｝相互垂直，则义=

曲线y=代一，的拐点是.

已知=F(m),则函数八2/—5)的傅里叶变换为

寤级数I1一产二的收敛半径是

44.”7v«!

(3、

(1,2,3)2=.

46.

・Tt

由夕=5111%,直线x=一及x轴所围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积

2

是一

sin6x

极限lim

47.tan2.r

(jr3—x+l)sin2.

48.」-

49.

设函数/(x)在区间(YO,8)内连续，且/(x)=3-—乙4>o),则/(0)=

X

limqin(〃+1)-In=°

50.____

三、计算题(15题)

设函数了=.y(久)由参数方程，一“‘所确定,求空及舞.

drdr

51N=c"-

pl—12—13+力=0，

解线性方程组V©一才2+4一3.心=0.

力一q-2工3+3力=0.

52.

53.

求”?dy,其中D={(/,_y)|了》J2+<4}.

.D2户十)V

求极限lim理二

x-»ox-smx

54.

----»x>0,

求fJ(x)dx.

已知1+x

---,x<0,

ll+e”

55.

31)2”

56求幕级数指工：的收敛域.

57.

设之=fCry.x2+/)，且/具有连续的二阶偏导数，求上.

58.

计算曲线积分I=[J/+y)d.r+(.r+>/7)d_y,其中L为从点0(0.0)经过点A(1,0)

到点8(1,1)的一段折线.

59.

设2=/(%+乂y2一必)，其中z=/(〃,y)具有二阶连续偏导数，求宜上.

dydx

求定积分jln,zd.r.

60.J1

61.

设函数f(x)在(-8,+8)上连续，且满足f(x)=lnx+，f(x)dx,求/(x).

计算不定积分[c1r.

62.

P（1-cos/）dr

求极限lim虫-----5-----.

63.2。%

64.

计算曲线积分］（三-2zy）d#+（y=-2中）心,其中L是抛物线y=〃上从点（-1,1）

到点（LD的一段弧.

65.

$+2小-力+h=2,

19.已知线性方程组：卜q+4及一八+3右=*当。取何值时，方程组有解？并求

13q+6T2-2T3+44=5,

出通解.

四、证明题（10题）

66.

求由抛物线:y=IT及其在点（i,o）的切线和y轴所围成的平面图形的面积.

67.

，设函数/Gr）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且/⑴=1,证明，在（0.D内至少存在

一点&使得/（£）+&'（《）-2£=0成立.

68证明：当0V”WK时，4siniI2cosx<2.

69.

已知方程1"一x7—T3+彳=0有一正根才=1.证明方程11110—7.r6-3〃+1=0

必有一个小于1的正根.

设0<a4〃，证明不等式与且<ln-<”三

70.ba

71.

设函数/（.r）在［1,3］上连续，在（1,3）内可导，且八3）=0,证明：至少存在一点

三6（1，3）,使占'（幻1成+/（5）=0.

72.

已知方程4.r+3-V=o有一负根下=—2.证明方程4+9彳2—5Z=0必有一个

大于一2的负根.

证明：当7>0时，有（1+〉arclan.r.

73.

74.

证明：当z〉0时，一—>ln（1+JT）.

75.

设函数/（x）在口，31上连续，在（1.3）内可导.且八3）=0.证明：至少存在一点

£6（1，3）,使占'（切1成+/（3）=0.

五、应用题（10题）

76.

曲线y=./(]>0),直线r+»=2以及)，轴围成一平面图形D,试求平面图形D绕

》轴旋转一周所得旋转体的体积.

77.

求平面高+++看=1和柱面产+丁=1的交线上与Qy平面距离最短的点.

oTD

78.

假麻企业在酎互相辅的市场上雌同一种稣，酎市堀幡耨分睚

Q二竽Q广12-族中工施弗栩饰躺偏(旗怫怖触野财产

L

跳毓本微以二2(Q-QJ+5,频御雌，蛭山麒耿椭，井榔联

脆

79.

；a"；2'i...一•二萨“,：笥滋•心,.；1转口.1

一曲线通过点(1,3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求：

(1)该曲线的方程；

(2)该曲线与7轴及直线工=e?所围成的图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.

80.

设Di是由抛物线v=2.r2和直线.r=a,z=2及_y=0所围成的平面区域；D?是由

抛物线y=2x2和直线y=O,x=a所围成的平面区域.其中0Va<2.

(1)试求以绕z轴旋转而成的旋转体体积V”Q绕｝，轴旋转而成的旋转体体积V?；

(2)问当a为何值时匕十匕取得最大值?试求此最大值.

81.

求曲线y=Int在区间(2,6)内的一点，使该点的切线与直线x=2,x—6以及

y=ln.r所围成的平面图形面积最小.

82.

平面图形由抛物线=2a•与该曲线在点（；，1）处的法线围成.试求：

（1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕1轴旋转一周形成的旋转体体积.

83.

求由抛物线y=F与直线y=x所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周

所形成的旋转体的体积.

84.

求曲线y=6z与.y=合所围成图形的面积.

85.

要建造一个无盖长方形水池，其底和壁的总面积为192m2,问水池的尺寸如何设计

时，水池的容积最大？

六、综合题（2题）

求/（.r）;

86.

87.

・过坐标原点作曲线y=e，的切线/.切线/与曲线y=e”及y轴围成的平面图形记为

G.求：

切线/的方程；

参考答案

l.D

［答案］D

【精析】由导数定义可得，KmW】r)=1lim八1_：)_/(1)=-^-/(l)=-l.

所以/(D=—2,乂函数周期为l,故/(5)=/(I)=-2.

2.D

L答案」D

【精析】^(0)-lim/(r)-{(o)lim"r)一八°).因为不确定f(0)是否等于0.

所以不一定有了'«))-lim

J-*-01

B

1

【评注】y=-，在x=e处的法线的斜率为-=-e.

y(e)

3.BX

4.B

［答案］B

【精析】因为y=(1—工/=，所以y'—e*l°n_'r，Qxln(l—x)J*=(1—h)*口n(l

—x)—丁^—1.故dy=(1—7)lln(1—1)一丁^—,故选B.

1-x1—JC

5.D

【精析】由于jy=a2siru•为［一式,用上的奇函数.故|Msirwdr=0,本题选D.

6.B

［答案1B

【精析】f(.r)的定义域为［0,1］,对于来说应满足O&lnx&l,即

故应选B.

7.D

【精析】因为/(外一/(一外在［-a,川上是奇函数,所以「L/(x)-/(-x)］cLr=0,

J-a

故应选D.

A项中若&=」"，结论不成立；

8.Cn

B项中若u„=(—D",结论不成立；

D项中若〃“=(―1)""，结论不成立;

n

由绝对收敛的定义知・C项正确.

,19ri2

2J,3e-Jd.r=Md(—e-J)

0J0

=—j2e-^2+|2je-r2d.r

9.CoJo

10D【精析】由原函数及不定积分的定义知，应选D.

11.C

【精析】。•/(I-x2)d.r=-^-[/(l-x2)d(l-x2)=-J(1—7+C.

12.C

[答案]C

fsin2j.,

---十e，x<o,

【精析】/(T)=J]在工=0处的左极限lim+门=2+

Jf-*Q

4x2—3x—3x>0

1=3,右极限limEx2-3]1R)=4.因为/(*)在H=0处连续，则左右极限相等•所

J-01

以4=3.故选C.

13.A

[答案]A

1精机J:-(]+炉+i-(i+M(I+-zu+i)+i(2i)<2i)(l+i)+1

—5+4i=—1-32i

-3-4i~—25-,

14.D

【精析】因为当zf0时sin2j*〜2N,ln(l+2M)〜2x,

所以当n-»•0时ln(l+2M)〜sin2],故应选D.

15.B

［精析］lim-2—=——2“（47+1+12——

二；=：（/^TT-i）（vGyTT+D

=Hm2.心（，＜v十1+1）

LOxy

y-*O

=41

故选B.

16.A

【精析】

故应选A.

C解析：考查函数定义域.解不等式组［"7：°八即得.

I”16-x2>0

1/.c、

18.C

【评注】本题考查的是驻点与极值点及可导与连续的关系.关于极值点，我们有如下

结论：极值点可能在驻点或者不可导点处取得；如果函数可导，则极值点一定为驻点;

驻点、不可导点都不一定是极值点，我们需要根据驻点（或者是不可导点）左右两侧

导数的符号来进一步判断驻点（不可导点）是否是极值点.

19.C

［答案］C

【精析】该题需要按定理的三个条件“连续”“可导”“相等”逐一验证.

A.在］=土1时ln（l-三）无定义.从而函数在闭区间1―1,口上不连续，不满足罗尔定理

的第一个条件，不合要求；

B.J，=|才|在［一1,口上处处连续是满足的，但是函数在工=0处不可导,从而函数在

（—1,1）内不是处处可导的，不满足罗尔定理的第二个条件，不合要求；

C./（x）=拧=1在（一］」）内处处可导，在［-1，门上处处连续，且八一1）="1），

故该函数在区间二一L1］上满足罗尔定理的各个条件,符合要求；

D.显然八一1）所以不满足罗尔定理的第三个条件，不合要求.

故选C.

20.A

匚答案]A

【精析】若点(诙./(工。))为曲线y=f("的拐点，则/(J-O)=0或，QG不存在.

_y=ar3—&r:处处二阶可导，_y'=3ar2—2/tr,y'r=6az—2b.

由题意y(l)=-2,/(l)=0.

ta—b=-2,

即.解得a=1,6=3,故选A.

]6a-26=0.

【评注】平面曲线。的参数方程可记作|(l<x<2),

y=2x~l,

21BJc2xdx+(y-x)dy=j；[2x+(2x-l-x>2]dx=4,所以，选B.

22.A

L答案」A

【精析】由于liin/(jr)存在•则limf(.r)「limf(.r).由题可知limCr2—1)=—1.

•ElLI」IT

lirnf(.r)=lim(21Ia)=a.故a=—1.

L<)+L<)+

23.D

【精析】|/Cr)cLr=工+C,两边求导得f⑺=一工/'Cr)=与.

JXXX

［答案1A

9,△【精析】由微分方程的概念知应选A.

25.B

【精析】由于y=/(〃)可导，所以dy=(![/(«)]==/'(eDde",故应选B.

26.D

［答案］

【精析】j-3=0,故了=3.

27.A

[答案1A

【精析】1而尸(］)=而1。^=1而取=4・因此了=0为/3的可去间断点.

LOLOXX~*0LXL

28.A

（1一々）2

【精析】阴—二咕=物+=3故应选人・

(x-l)2(x+2)

29.C

【评注】|4-用=|a-£,-2%,2/31-2y4|=眼一4,%，%，八|=必氏%，为M-忸，八，力，九|）

由力=4-为方,一九），且ld=4易知值,72名，九|=4,由8=（人72，-，3，九），且同=1，易

知以y2，，3，/4|=-1，将上述结果代入，可得|/-a=8值72，，3，九|-忸，72，，3，九|)=40.所

以选C.

30.C

31.

7V，

铲

［答案］92

4

【精析】设x=。5储1/.贝1」cb=acosfdz,

'o_________rf,2f-r

，一—./dr=a'cos'tdt=—z(cos2?+1)dz

J0J0/Jo

=与〃2:］sin2「与十，"2一)=?k1.

Z\Zo()/4

或根据定积分几何意义可知

jy/a--.rd.r=ySpq=?:

32.

■K

n

x=—cosa»

【精析】曲线L：/+y=亨的参数方程为a610,2用,所以

n-

y='Sina，

>(.x—sin十；/)ds=J(--cosa+1)■ysina)2+(-2-cosa)2da

2«

.2

~(与sina上告a)=1M兀，

4乙

33.

产+QeYC，Q为任意常数)

［答案］y=Cea+Ge«G£为任意常数)

【精析】已知微分方程的特征方程为产+2「-3=0,得特征根a：=-3.n=1.

故微分方程的通解为)，=Ge储+Ge，,其中GC为任意常数.

34.0

0

【评注】定积分上下限关于0对称，且被积函数为奇函数，可知结果为0.

「01.01

【精析】axk=方代=-14-i)2=—i.

35.-iJ,+i1+1

36.

4A,

【精析】由于/(*)在［0，口上连续，所以/(Icosz|)在(-8.+8)连续，以7r为周

期,且为偶函数*则根据周期函数在任一周期上的积分相等以及偶函数的积分性质

可得

1=2^f(|COSJT|)cLr=2j*/(ICOSH|)dz="/(|COSJ-|)dj-=4A.

37.

s2—4x+5

［答案］

(s-ir

【精析】L[(，-l)2e叮

=[.[(»-2/4-l)c叮

,+…

(f-2/+l)c-<>_n,d/

.<1

=(7-7+7)L-,.

—-4s+3_/一4s+5

(5—1)；，(5—1”,

38.

［答案11

rmci-/vi,LAA+n.e^.1,0,b1X0+(-1)X3+2X4.

【精析】a在b上的投影为=-------,.=-----=1.

ibIyo2+32+42

39.

5

2

41.2

【精析】由于a,b相互垂直，所以a・方=0即；1-6+2入=0.得义=2.

42.

［答案］(2.由

【精析】由于一Ie-，，令y=-e~—e-J+x^TT=0得x=2,

o

7<2时yf，<。,.r>2时y>0,故y=xe~J的拐点为(2,3).

43.

1-2汝,厂/\

Te2F(v)

【精析】由傅里叶变换性质知.，⑵一5）的傅里叶变换为:

P"⑵）」二

2

凡/⑵-5)」=Ff

e-iuT

1-lu，

FreT

~乙

44.

+C.XJ

［答案］+8

【精析】p=limlim—-=0•所以此级数的收敛半径为十°°.

(〃+l)!

【精析】(1,2,3)2=10.

1

45.10

46.

n2

~4

Jt27l2

【评注】V=兀£sin2xdx=cos2x)dx

~4x~4

47.

3

sin6xsin6.r〜6w,tan2i~2x

【精析】limlim笑=3.

J-*Otan2j'等价无穷小代换LOLX

48.

1-jsin2

riririri

(x3-x+l)sin2xd^=sin2adM=2sir?3da*=(1—cos2c)dw

J-iJ-iJoJo

=--^-sin2jr^|=1—十sin2.

49.

E|

3Jln3-2xln23,

【评注】因为/(0+0)=lim=ln].所以由f(x)在(-8,+oo)上连续

XTO*1

知，/(O)=/(O+O)=ln^.

50.1

51.

【精析】因为牛=35笔=3e”.

52.

1—1—111—10—1

同解方程组为

产=xz•7i.

2xt,

JCZ10

取一=••可求得基础解系为

.r401

11

10

・小=•

牛=02

01

才111

.r?10

所以线性方程组的通解为=kk（k.k为任意常数）.

.22]2

r30

4.0,1

53.

【精析】在极坐标系下D={（「田）|手〈夕〈，兀,1＜「W2}.

『志7d…[时小等”

《«।yJ彳J1/

fT.23严.

=sinPcosOd。rdr=:—sinjdsinj

JJi2JT

o亨

=；sin28'=0.

4t

54.

5E-U«•«•1—CoVx-1+COSXc

解：原式=hmC°sx_=]11n-----------------=lim———=2.

x-*01-cosxx-*（l-cosr）cofJCx-*°cosX

55.

解:

j：11一卜=1-ln（l+e*j：=ln（l+e）-In2

其中£3/=J-

J七改4左d（x+l）=H„2

所以J：/（“比=1n0+e）.

56.

【精析】令21+1『，级数化为£，

X2FT+-2

2

o=lim=lim.1,—=Zlim—J=产，若级数收敛，则pV1,即产＜1，

「wyu„»-8n+1tLOOn4-1

从而一1VfVL

OO28

所以级数＞yn的收敛区间为（一1.1），当，=±1时,级数化为3｝是发散的.

一1V2±+l＜1,即一1＜才＜0,所以所求级数的收敛域为（-1,0）.

57.

【精析】因为之=/（才＞＞+/）且/具有二阶连续偏导数.

所以孕=W-3

a2z_a（.y/；+2.r/2）=/"），.雪+2].华

=f\+>'（Vn+2y/12）+2-切%：+2yf^

=fl+xyfu4-2（J2+X2）/12+4^/22.

58.

【精析】1=）演+y）d.r+（1+77）dy+Q（/+》）d.r+（才+77）d.y

=j12clz+f（1+G）dy=+_+_1_尸）]

JoJo30\o/Io

=2

59.

.【评注】令x+y=〃，歹2--=v,z-f{u,v),

品£+2/，嘉"-2次+2加-4咏=<+2(y-x)£-4如

60.

原式=^-1In.rdj,2=-y,r2In.r---Jd(1nx)

=-^-/Ine—!X1XIni---[jr2•—d.r

222Ji.r

解:令(/(x)dx=<，则/(x)=lnx+4.故有[3/(%也=J：(lnx+/)ic,即

N=31n3-2+2/,得％=2-31n3,因此/(x)=lnx+2-31n3.

62.

------7+工一ln(]+d)+C

er-r1

^-r-lnd-reO+C.

十i

63.

j^(l-COS/)<k

1-COSX21

解：lim；=lim------------=lim^—-=—.

D3f6

64.

【精析】如右图，3=万・dy=2dd1,1：—1f1・

则有

2

(J—2jry)(IJF-b(y2—2ry)dy

j[(x2-2x3)+(x4-2x3)2x]dz

可：(工—"一程

65.

rl2-11rl2-112

【精析】增广矩阵B=(A")=24—13a-A0011-1

36-2450000u—3

当a=3时.r(B)=r(A)=2<4,方程组有解，此时

(12-112]ri2021

B=(A.b)f0011-1->0011-1

00000[o0000

+2J：2+2x(=1,

同解方程组为令12

J“+=-1,

则通解为，其中瓦，息为任意常数.

66.

【精析】由题意知，抛物线在点(1,0)处切线的斜率/=，-2r|=-2,

U,0>IU.O)

故切线方程为了-0=—2(才—1),即y=一2工十2,易知切线与y轴交点为(0,2),故

所求面积

5=[[_—2H+2-(1—Xs)Jdx=[(x2—2x—1)dx=('「'=

JoJo3o3

67.

【证明】设F(J)=工/(I)一M,

因为/(/)在mu上连续，在(。,1)内可导,

所以FQ)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导，

又/(I)=1.

F(0)=0・/(0)—02=0,F(l)=1•/(l)-I2=0,

即F(0)=F(1).

故在(0,1)内至少存在一点£使尸(6=0,

即⑷-2£=0成立.

68.

【证明】令/(J)=jsitiz-+2cosz—2,

贝I1/'(JT)=sinx+JTCOSJT-2sin>r=JTCOSJ"-sinr,

=COSJT—zsiruz—COSJC=-xsinjr.

当0〈彳〈式时./'(%)VO,于是，(I)单调递减，

且/'(")在［Of］上连续，所以7(x)</(0)=0,于是f(工)单调递减,

所以/(J:)V,/(0)=0,即Hsinz+2cosJT—2<0.结论成立.

69.

【证明】令fix)=一—梦一+工.则根据题意可知/(1)=0.

因为/(］)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=/(I)=0.

故由罗尔定理可知：miG(0.1)，使得/'(£)=0,即11^0-7m-35+1=0,

故方程112Kl--3/+1=0必有一个小于1的正根.

70.

71.

【证明】令F(J)=/(.r)lnj611,3］.

因为F(x)在口，3］上连续，在(1,3)内可导,

F(l)=/(l)lnl