2019-2020学年高一（下）期末数学试卷

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（5分）直线x-①+1=0的倾斜角为（）

A.—B.—C.22LD.5几

6336

2.（5分）己知△48C的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,。=次,则——空——

sinB+sinC

等于（）

A.AB.MC.返D.2

22

3.（5分）已知以C（-4,3）为圆心的圆与圆W+y2=l相内切，则圆C的方程为（）

A.（%-4）2+（y+3）2=36B.（x+4）2+（y-3）2=16

C.（x+4）2+（y-3）2=36D.（x-4）2+（y+3）2=16

4.（5分）如图，在正方体A8CD-4B1C1O1中，二面角Q|-8C-。的大小为（）

A.—B.—C.—D.—

6432

5.（5分）若加，%2,…，的方差为3,则2x1,2x2,…，2x8的方差为（）

A.返B.273C.6D.12

6.（5分）已知球的半径与圆锥的底面半径都为2,若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）

A.A/5B.4&C.2A/15D.8

7.（5分）已知△ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosC=8,则4ABC

的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

8.（5分）下列命题说法错误的是（）

A.若a〃a,b-La,则

B.若a〃0,。0丫=〃，00丫=4PBJa//h

C.若。〃0,a_La,则

D.若a_l_Y，P-Ly»则。〃0

9.（5分）在△ABC中，点。在边3C上，且满足AQ=3O=2CD,3tar?8-2ta"+3=0,

则N3的大小为（）

A.—B.—C.—D.

63412

二、多项选择题（本大题共3小题.每小题5分，共15分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）.

10.（5分）已知△ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,

有两解的是（）

A.a=>/2）b=2,B=120°B.67=2,b=\[3>B=45°

C.b=3,c=V3>B=60°D.a=2V3>b=V10«B=60°

11.（5分）已知直线/与圆C：/+y2+2r-4y+q=0相交于A,B两点，弦AB的中点为M（0,

1）,则实数〃的取值可为（）

A.1B.2C.3D.4

12.（5分）如图，已知四棱锥P-ABC。中，B4_L平面ABC。，底面A8CZ）为矩形，AP=6,

AB=a.若在直线BC上存在两个不同点Q,使得直线PQ与平面ABCD所成角都为工.则

3

实数4的值为（）

A.1B.2C.3D.4

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4,摸出黄球的概率为0.2,

则摸出红球或蓝球的概率为.

14.（5分）已知点A（1,3）与直线I：3x+y+4=0,则点A关于直线/的对称点坐标为.

15.（5分）如图，为测量两座山顶之间的距离MC,已知山高BC=5方加，MN=1.5km,

从观测点A分别测得时点的仰角NMAN=30°,C点的仰角/CA8=45°以及/MAC=

60°,则两座山顶之间的距离MC=km.

16.(5分)如图，三棱锥8-AC。中，平面2CQ_L平面AC£>,CD=6,ZBDC=60°,若

BC=y［^D,AC=2AD,则该三棱锥的体积的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，计70分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cosA(ccosB+fecosC)=

a.

(1)求角4;

(2)若a=2M，△ABC的面积为JE，求△ABC的周长.

18.(12分)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点E(1,0),AD边所在直线的方程为

2x+y+2=0.点F(2,-1)在A8边所在直线上.求：

(1)A8边所在直线的方程；

(2)C。边所在直线的方程.

19.(12分)某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后

可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，

将他们按所打分数分成以下几组：第一组［0,20),第二组［20,40),第三组［40,60),

第四组［60,80),第五组［80,100］,得到频率分布直方图，如图所示.

(1)求所打分数不低于60分的患者人数；

(2)该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将

从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.

"篥率

赤

0.0175...............................................

0.0150............................................................

0.012S

0.0100.................................

0.0075

O.OOSO-------------------

0.0025---------

0_________________________________

20406080100分数

20.（12分）如图，在直三棱柱ABC-451cl中，AC=BC=CC[=2a,ZACB=—9点、D

2

为3C中点，连接AC、AC1交于点E,点F为。。中点.

（1）求证：EF〃平面ABC；

（2）求证：平面4cB_L平面A。。；

（3）求点C到平面A。。的距离.

21.（12分）如图，我炮兵阵地位于4处，两移动观察所分别设于C,D.已知△ACO为正

三角形.当目标出现于B时;测得BC=1千米，30=2千米.

（1）若测得NO3C=60°,求△ABC的面积;

（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标8是否在我方炮火射程范围内？

22.（12分）己知圆Ci：（工-〃）2+,2=J（/＞（））,圆心Ci在直线2x+y+4=0上，且直线

X+J5，+4=0被圆Ci截得的弦长为2M.

（1）求圆。的方程；

（2）过圆C2：（X-6）2+y2=4上任一点Q（刘，川）作圆C1的两条切线，设两切线分

别与y轴交于点M和N,求线段A/N长度的取值范围.

2019-2020学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（5分）直线x-①，+1=0的倾斜角为（）

A.—B.—c.22LD.

6336

【分析】因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以要求倾斜角，先求直线的斜率，把直

线方程化为斜截式，就可求出斜率，再根据斜率求出倾斜角.

【解答】解：直线X-乃，+1=0互为斜截式，得>=返什返

33

直线x-J5，+i=od的斜率为亨，设倾斜角为e

则tan。=返，.•.e=2L

36

故选：A.

【点评】本题主要考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，以及根据直线方程求斜率，平

时学习过程中，对一些概念性的东西要熟记.

2.（5分）已知△ABC的内角4,8,C的对边分别为a,6,c,若4=60°,.=百,则——空——

sinB+sinC

等于（）

A.AB.J3C.返D.2

22

【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解.

【解答】解：A=60°,Q=«,

由正弦定理可得，—=g=2,

sinBsinCsinA73

.•.0=2sin8,c=2sinC,

则一殳上一=2.

sinB+sinC

故选：D.

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题.

3.（5分）已知以C（-4,3）为圆心的圆与圆7+丁=1相内切，则圆C的方程为（)

A.(x-4)2+(y+3)2=36B.(x+4)2+(y-3)2=16

C.(x+4)2+(y-3)2=36D.(x-4)2+(y+3)2=16

【分析】结合圆内切的性质可求圆的半径，进而可求圆的方程.

【解答】解：根据圆内切的性质可得，|r-11=7(-4-0)2+(3-0)2=5,

故r=6,或r=-4(舍)，

所求圆的方程为(x+4)2+(y-3)2=36.

故选：C.

【点评】本题主要考查了圆的内切性质在求圆的方程中的应用，属于基础试题.

4.(5分)如图，在正方体ABCD-4B1C1D1中，二面角£)|-8C-。的大小为()

A.—B.—C.—D.—

6432

【分析】由8cl.平面DCC\D\,得BCLDC,BCVD\C,从而NOC£>i是二面角D\-BC

-O的平面角，由此能求出二面角-BC-。的大小.

【解答】解：在正方体ABC。-AiBiCiOi中，

；8C_L平面DCC\D\,

：.BCLDC,BCLD\C,

：.ZDCD\是二面角Di-BC-。的平面角,

'：DDi±DC,DD\=DC,

兀

：.ZDCD\=—f

4

二面角D\-BC-D的大小为三.

4

故选：B.

【点评】本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.（5分）若xi,xi,,,,,X8的方差为3,贝！2x2,…，2x8的方差为（）

A.瓜B.2MC.6D.12

【分析】利用方差的性质直接求解.

【解答】解：•••样本数据XI,X2,…，X8的方差为3,

,数据2x1,2x2,…，2x8的方差为：

22X3=12.

故选：D.

【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运

用.

6.（5分）已知球的半径与圆锥的底面半径都为2,若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）

A.匹B.4&C.2怖D.8

【分析】根据球的半径求出球的表面积，设圆锥的高为儿求出圆锥的母线长和表面积，

列方程求得h的值.

【解答】解：球的半径为2,则球的表面积为S球=4TTX22=16H；

圆锥的底面半径为2,设圆锥的高为/?,则圆锥的母线长为/=亚"^=北m；

所以圆锥的表面积为S网徘=TTX22+nX2XJ4+h2=4Tr+2n{d+h2；

由题意知，4n+2nAy4+卜2=164,解得〃=W/；

所以圆锥的高为4&.

故选：B.

【点评】本题考查了球和圆锥的表面积计算问题，是基础题.

7.（5分）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosC=b,则△ABC

的形状一定是（)

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【分析】根据正弦定理、内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式化简已知的式

子，由内角的范围即可判断出△ABC的形状.

【解答】解：'：h=2acosC,

由正弦定理得sinB=2sin4cosC>

(A+C),

sin(A+C)=2sio4cosC,

贝!]sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,

sinAcosC-cosAsinC=0>即sin(A-C)=0,

；A、C£(0,Tt),

.".A-CG(-n,TT),则A-C=0,

A=Ct

...△ABC是等腰三角形.

故选：C.

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用：边角互化，考查化简、变形能力，属于

中档题.

8.(5分)下列命题说法错误的是()

A.若a〃a,bVa,贝!I

B.若支〃0,any=a,0(~1丫=匕，则a〃6

C.若0〃0,a±a,则

D.若a_Ly，PJ-Y，贝a〃0

【分析】根据线线，线面，面面的有关判定，性质和结论即可判断各命题的真假.

【解答】解：对A,若a〃a,根据线面平行的性质定理，存在平面0,有“邙，an°=c,

使得a//c,

由于匕J_a,所以6J_c,即有〃_!_%,A正确；

对8,根据面面平行的性质定理可知，8正确；

对C,根据一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则它和另一个平面也垂直，C正确;

对。，若aJ_y,P±Y>则a与p可能平行，也可能相交，力错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查线线，线面，面面的有关判定，性质和结论的应用，属于基础题.

9.(5分)在△48C中，点。在边BC上，且满足AD=BD=2CD,3tan2B-2tanA+3=0,

则NB的大小为()

A.—B.—C.—D.5兀

63412

【分析】设CD=f,则AO=BD=2f,在△4OC中，运用正弦定理和三角函数的诱导公

式、和差公式和同角的商数关系，解方程可得所求角.

【解答】解：可设CD=t,则AD=BD=2t,在△AQC中，可得^——皿——=-^—=

sin(A-B)sinC

AD

sin(A+B)

可得----------=----------,即为sinAcosB+cosAsin8=2(sinAcosB-cosAsinB),

sin(A-B)sin(A+B)

化为sinAcosB=3cosAsinB,即有tanA=3tan5,

又3tan2B-2tanA+3=0,可得-6tan8+3=0,

解得tanB=1,

由B为三角形的内角，可得8=工，

4

故选：C.

【点评】本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力,

属于基础题.

二、多项选择题(本大题共3小题.每小题5分，共15分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得S分，选对但不全的得3分，有选错的得0分).

10.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为mb,c,根据下列条件解三角形,

有两解的是()

A.a=y[2>b=2,B=120°B.a=2,B=45°

C.b=3,c=V3>B=60°D,a=2«,b=710-B=60°

【分析】利用正弦定理求出对应角的三角函数值，结合大边对大角的定理，对选项中的

命题分析，判断解的个数即可.

【解答】解：对于A,：a=&,b=2,8=120°,ZVIBC是钝角三角形，只有一解；

对于B,4=2,b=M，B=45°,由正弦定理得」——,解得siM=坐，

sinAsin45愿

又a>b,且（0,n）,所以A有个值，三角形有两解；

对于C,b—3,c=J^，B=60°,由正弦定理得---------=A解得sinC=工，

sin600sinC2

由匕〉c,所以B>C,所以C=30°,三角形只有一解：

对于D,〃=2«,B=60°,由正弦定理得工—,解得sinA=—^,

sinAsin6071Q

又b〈a,所以A>60°,所以A有两个值，三角形有两解.

故选：BD.

【点评】本题主要考查了利用正弦定理求解三角形及解的个数判断问题，解题中要善于

结合大边对大角定理，是中档题.

II.（5分）已知直线/与圆C：/+y2+2r-4y+a=0相交于4,B两点、,弦AB的中点为M（0,

1）,则实数。的取值可为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由弦AB的中点为仞（0,1）可得点M在圆内，可得：-3+a<0,即。<3,故

选出答案.

【解答】解：由题意弦A8的中点为M（0,1）,则可得〃点在圆内，将点M坐标代入

圆的方程可得：-3+“<0,即a<3,

故选：AB.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，属于基础题.

12.（5分）如图，已知四棱锥P-ABC。中，B4_L平面A8CZ）,底面48CD为矩形，AP=6,

AB=a.若在直线BC上存在两个不同点。，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为工.则

3

实数a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由题意画出图形，求出使NPBA=9■的〃值，即可求得满足直线BC上存在两

不同点Q，使直线P。与平面ABCO所成角都为工的〃的范围，结合选项得答案.

3

【解答】解：如图，当/月m=工时，

3

由AB=a,得PB—2a,又雨=6,

2

4a=cr+3f）1即a=2^3-

若AB>2«,则直线BC上不存在点Q,使直线P。与平面ABC。所成角为工.

3

若AB=2我，则直线BC上存在唯一一个点。，使直线尸。与平面A8CD所成角为二.

3

若ABV2我，则直线BC上存在两不同点。，使直线PQ与平面A8CC所成角都为工.

3

结合选项可知，。的值可以是1,2,3.

故选：ABC.

【点评】本题考查空间中直线与平面所成角，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4,摸出黄球的概率为0.2,

则摸出红球或蓝球的概率为0.8.

【分析】利用互斥事件概率计算公式和对立事件概率计算公式能求出摸出红球或蓝球的

概率.

【解答】解：口袋中有若干红球、黄球与蓝球，

摸出红球的概率为0.4,摸出黄球的概率为0.2,

摸出红球或蓝球的概率为P=1-0.2=0.8.

故答案为：0.8.

【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式和对立事件概率计算公式等

基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.（5分）已知点A（l,3）与直线/：3x+y+4=0,则点A关于直线/的对称点坐标为（-

5,1)

【分析】设点A关于直线/的对称点坐标为Q（a,b）,可得3X31L+且3+4=0,^1

22a-1

=工，联立解得小b.

3

【解答】解：设点A关于直线/的对称点坐标为Q（a,b）,则3X311+^13+4=0,上3

22a-1

_1

3

联立解得a=-5,b—\.

...点A关于直线/的对称点坐标为（-5,1）.

故选：

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

15.（5分）如图，为测量两座山顶之间的距离A/C,已知山高8c=5'京机，MN=15km,

从观测点A分别测得M点的仰角NM4V=30°,C点的仰角NCAB=45°以及NK4C=

60°,则两座山顶之间的距离

【分析】由题意，可先求出AC、AM的值，从而由余弦定理可求MC的值.

【解答】解：在RtZ\ABC中，ZCAB=45°,BC=5-/^m,所以AC=10h".

在RtAAMN中，NMAN=30°,MN=1.5km,所以AM=15fon,

在△MCA中，AM=\5km,AC=l0km,NMAC=60°

由余弦定理得：MC2=AM2+AC2-2AAfACcos60°=225+100-2X15X10X工=175切？

2

...山顶间距MC=5y/7-

故答案为：5。^.

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了解三角形的实际应用，属于中档题.

16.（5分）如图，三棱锥B-4CD中，平面BCDJ_平面4CD,CD=6,N8OC=60°,若

AC^2AD,则该三棱锥的体积的最大值为』

【分析】由题意画出图形，结合已知求得△BC。为直角三角形，再由已知求得A点的轨

迹，得到A到C。距离的最大值，则答案可求.

【解答】解：如图，在△8C。中，设BD=m,则

222

又CZ>=6,ZBDC=60°,(^3m)=m+6-2*6,m*cos600,

即《?+3机-18=0,解得〃?=3或，〃=-6(舍).

：.BD=3,BC^373>8=6.

则81^+3^=CD2,即N。8c为90°.

在平面AC。中，以8中点为坐标原点，以C。所在直线为x轴，

以CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

贝I」C(-3,0),D(3,0),设A(x,y),

由AC=2AD,得J(x+3)2+丫2=闻6-3)2+y*

即(x-5)2+),2=]6,则A在以(5,0)为圆心，以4为半径的圆上.

要使三棱锥的体积取最大值，则A到CD的距离最大为4.

...该三棱锥的体积的最大值为v=lx—X3X3V3X4=6/§-

故答案为：6^3-

【点评】本题考查多面体体积最值的求法，考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与

思维能力，是中档题.

四、解答题(本大题共6小题，计70分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cosACccosB+bcosC)=

a.

(1)求角A；

(2)若。=2仃，△ABC的面积为JE，求△4BC的周长.

【分析】(1)由已知结合和差角公式进行化简可求cosA,进而可求A；

(2)由已知结合三角形的面积公式可求be,然后结合余弦定理可求6+c,进而可求周长.

【解答】解(1)由已知及正弦定理得：2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=sinA,

2cosAsin(B+C)=sinA,

在△ABC中，sin(B+C)=sin(TT-A)=sinA,

2cos4sinA=siaA,

VsinA^O,

・41

,・cosA=q，

VAG(0,n),

,/兀

"可

⑵7SAABC^-besinA)

.171r-

•,ybcsin-^-^3'

：.bc=4,

由已知及余弦定理得：12=庐+02-2bccosA,

•">12=(b+c)2-2bc-2bccos^_,

；.b+c=2V^，

AABC的周长为2«+2A/6.

【点评】本题主要考查了和差角公式，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的

应用，属于中档试题.

18.(12分)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点E(1,0),AD边所在直线的方程为

2x+y+2=0.点F(2,-1)在AB边所在直线上.求：

(1)AB边所在直线的方程；

(2)8边所在直线的方程.

【分析】(1)由边AO所在直线方程及AOJ_AB,求得AB边所在直线当斜率，再由直线

方程的点斜式求AB边所在直线的方程；

(2)由AB〃CD,设直线C。的方程为x-2j+"?=0,再由E到AB与C。的距离相等列

式求得加值，则答案可求.

【解答】解：⑴•••ABC。为矩形，

••工。边所在的直线方程为：2x+y+2=0,所在直线的斜率为女妞=/.

VF(2,-1)在48边所在直线上，边所在直线的方程为：y+1=-l(x_2),

即x-2y-4=0；

(2)...A8CD为矩形，设直线CD的方程为x-2y+m=0.

由矩形性质可知点£到AB、CO的距离相等，明了』网.

VWVW

解得m=2或m=-4(舍).

・•・CD边所在的直线方程为x-2y+2=0.

【点评】本题考查直线平行、垂直与斜率的关系，训练了利用待定系数法求直线方程，

是基础题.

19.(12分)某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后

可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，

将他们按所打分数分成以下几组:第一组［0,20),第二组［20,40),第三组［40,60),

第四组［60,80),第五组［80,100］,得到频率分布直方图，如图所示.

(1)求所打分数不低于60分的患者人数；

(2)该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将

从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.

八频率

as

0.0175..................................................

0.01S0..............................................................

0.0123

0.0100---------------------------

0.0075

0.0050------------------

0.0025--------

20406080100分散

【分析】（1）由直方图知，求出所打分值［60,100）的频率，然后求解所打分数不低于

60分的患者的人数.

（2）根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2,则第二

组有2人，记为A,B；第三组有4人，记为a,b,c,d.列出从中随机抽取2人的所有

情况，两人来自不同组的情况，然后求解两人来自不同组的概率.

【解答】解（1）由直方图知，所打分值［60,100）的频率

为0.0175X20+0.0150X20=0.65,

人数为100X0.65=65（人）

答：所打分数不低于6（0分）的患者的人数为65人.

（2）由直方图知，第二、三组的频率分别为0.1和0.2,则第二、三组人数分别为10人

和20人，所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2,

则第二组有2人，记为A,B；第三组有4人，记为a,b,c,d.

从中随机抽取2人的所有情况如下：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bh,Be,Bd,ah,ac,

ad,he,hd,cd共15种.

其中，两人来自不同组的情况有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd共8种.•.两人来

自不同组的概率为且

15

答：行风监督员来自不同组的概率为旦.

15

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应

用问题，古典概型概率的求法，是基础题.

20.（12分）如图，在直三棱柱A5C-Ai81cl中，AC=8C=CG=2a,点O

2

为BC中点,连接4C、AC1交于点E,点F为。。中点.

（1）求证：EF〃平面A8C；

（2）求证：平面4CBJ_平面AC1。；

（3）求点C到平面AGO的距离.

【分析】(1)证明四边形ACC14为平行四边形，推出EF//AD,然后证明EF〃平面ABC.

(2)证明A1C_LACi.CiC_L平面ABC,推出CiC±BC,8C_LAC,证明BCL平面ACCAi.得

至结合4CJ_ACi,证明ACiL平面ACS,然后证明平面AC1O_L平面4cB.

(3)法一：连接。E,设点C到平面AGO的距离为人通过力,_=Vr_4r亦转化

1I

求解点C到平面A。。的距离.

方法二：作CGLAZ),垂足为G,连接CiG,作CHLCiG,垂足为H.推出CHJ_平面

AC\D,CH为点C到平面4。。的距离，通过求解三角形求解即可.

【解答】解：(1)证明：：直三棱柱ABC-AiBCi,.•.四边形4CC1A1为平行四边形，

...E为4cl的中点，

：尸为OC1的中点，EF//AD,

又EFC平面ABC,AOu平面ABC,

；在〃平面ABC.

(2):四边形ACC1A1为平行四边形，AC=CC1,

•••平行四边形ACC14为菱形，即AiCLACi.

:三棱柱ABC-AiBiCi为直三棱柱，

.•.CiCJ_平面ABC,

BCu平面ABC,；.CiClBC,

・・/jr

•ZACB=-^->

.'.BC-LAC,

VBCICiC,CiCClAC^C,

CiC,ACu平面ACC14,

，BC_L平面4CC1A1.

YACiu平面ACCiAi,ABClACi,

VAiCXACi,BCHA\C=C,

BC,AiCu平面AiCB,...ACi，平面4CB,

YACiu平面AC13,...平面AC1OJ_平面A\CB.

（3）法一：（等体积法）连接OE,设点C到平面AC1O的距离为人,

臼

・・・C1CJ_平面ABC,CA,COu平面ABC,

ACiClCA,CiC±CD,CiC为三棱锥G-AC。高，

在直角△C1C4中，AC=CC\=2a,/.=2^2

在直角△ClCZ）中，CD=a,CC1=2〃，-*•QJ）:=\^5a

在直角△ACC中，CD=a,AC=2a,：.AD=V5a./.c；AACD=a2

在等腰△AC。中，DA=D"=^a,ACi=2企a，

..DE=V3a1••S=V6a2,,V_=V_

ADACcACDCACD'

11

2灰

.112aXa

幡XC/XSAO号XhXSgDhqhTa，

.•.点C到平面A。。的距离为逅a-

3a

方法二：（综合法）作CG，A。，垂足为G,连接CiG,作C//LC1G,垂足为

K

AB

CiCJ_平面ABC,AQu平面4BC,

：.C\C±AD,

,：CG±AD,CGCCiC=C,CG,CiCu平面CiCG,

平面CCG,

；CHu平面CiCG,：.ADLCH,

:CHLCiG,ADClCiG=G,C\G,AOu平面AC1£）,

CH_L平面AC\D即CH为点C到平面ACiD的距离，

在直角△AC。中，CG华；在直角aCiCG中，cC=2a,CG二算，

V51v5

.cJlCXCG2ax,逅

%G二信a''

.•.点C到平面A。。的距离为返a-

3

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应

用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及逻辑推理能力.

21.（12分）如图，我炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设于C,D.已知△4CO为正

三角形.当目标出现于8时，测得BC=1千米，BO=2千米.

（1）若测得NQBC=60°,求的面积；

（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？

【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求；

（2）由已知结合余弦定理及正弦定理可表示AB,然后结合辅助角公式进行化简后，利

用正弦函数的性质可求.

【解答】解（1）在△BCD中，根据余弦定理得：CD'BCZ+BD2-2BD・BC・cosNDBC,

5=1+4-2=3,

VBD2=CD2+BC^,

../BCD丁,

・17—/兀兀、

,,S^ABC

(2)设/CBC