【冀教版】九年级上册数学：第23章 方差

23.3方差

学习目标：

1.理解方差的统计学意义并会计算方差.

2.能够运用方差的统计学意义解决实际问题.

学习重点：求一组数据中的方差.

学习难点：体会方差的统计学意义.

〉G习引灯《

【问题】农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳

定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块

自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：

品种各试验田每公顷产量（单位：吨）

7.657.507.627.597.65

甲

7.647.507.407.417.41

7.557.567.587.447.49

乙

7.587.587.467.537.49

（1）甜玉米的产量可用什么量来描述？

甲种甜玉米的平均产量：.

乙种甜玉米的平均产量：.

说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.可估计这个地区种植这两种甜

从图中我们可以看出：甲种甜玉米的产量波动;乙种甜玉米的产量波动.（填“大”

“小”）

（3）根据稳定性，种甜玉米适合推广.

【思考】我们在分析数据的特征时，仅仅考虑数据的平均数是不够的，还需要关注数据的波

动情况.如何用具体的数据反映出一组数据的波动大小？数据的波动大小与平均数有何关

系？

〉合作探究\

一、要点探究

探究点1:方差的计算

要描述一组数据波动性的大小，需要引入一个新的概念——方差.

【概念学习】设有n个数据X1,X2,…，Xn，各数据与它们的平均数嚏的差的平方分别是

（看刀尸，（々一元下，'（X产?,我们用这些值的平均数，即.

来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差.方差用S2来表示.

例1：以下有甲、乙、丙三组数据，

甲：23578

乙：102.103105107108

丙：46101416

（1）请分别计算出它们的平均数和方差.

（2）观察已知数据和平均数、方差的结果之间的关系，说一说他们之间有什么样的关系.

J

【方法归纳】若一组数据Xi,x2,•••,X”的方差为s,则①Xi+a,x2+a,…，x„+a的方差仍

为s'②ax”ax?,…，ax。方差为a2s2.

【针对训练】

1.一组数据-2,-1,0,1,2的方差是（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知一组数据10—8,9,x,5的众数是8,那么这组数据的方差是（）

A.2.8B.y.C.2D.5

3.求数据501,502,503,504,505,506,507,508,509的方差.

探究点2：方差的应用

问题：甲、乙两种,水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）

品种第1年第2年第3年第4年第5年

甲9.89.910.11010.2

乙9.410.310.8.9.79.8

经计算，x,=10,xz=10,试根据这组数据估计种水稻品种的产量比较稳定.

解：§甲=；$乙=■

•••吊4,种水稻的产量比较稳定.

【归纳总结】对于同类问题的两组数据，方程越大，数据的波动越，方差越小，数据的

波动越

【针对训练】

1.甲、乙两人5次射击命中的环数如下：

甲：79879乙：78988

计算得甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环，甲命中环数的方差为0..8,由此

可知（）

A.甲比乙的成绩稳定B.乙比甲的成绩稳定

C甲、乙两人成绩一样稳定D.无法确定谁的成绩更稳定

2.某公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核得分如下（每个月满分为10分）：

（1）分别求出甲、乙两人的平均得分；

（2）根据所学方差知识，请你比较谁的工作业绩较稳定.

3.甲乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:

甲：8,8,7,8,9；

乙：5,9,7,10,9.

（I）填写下表:

平均数众数中位数方差

甲8_______8

乙_______9_______

（2）由（1）中数据，教练根据这5次成绩，选择谁参加比赛？答：.

（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差________.（填“变大"''变

小”或“不变”）

二、课堂小结

计算公式意义

方衡量一组数据的波动大小，方程越大，

(1)s2=

差双姑rJ波切越一一，力卓越少，双跑

（2）若一组数据X1，X2，…，Xn的方差为的波动越_____.

s2,则①xi+a,X2+a,…,Xn+a的方差仍为

s2；②ax1，ax2，…，axn方差为a2s2.

当堂检测

1.已知甲、乙两组数据的平均数都是5,甲组数据的方差或，=上，乙组数据的方差修=木，

贝lj()

A.甲组数据比乙组数据的波动大

B.乙组数据比甲组数据的波动大

C.甲组数据与乙组数据的波动一样大

D.甲乙两组数据的波动大小不能比较

2.某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入

决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68

环，甲的方差是0.28,乙的方差是0.21,.则下列说法中，正确的是()

A.甲的.成绩比乙的成绩稳定

B.乙的成绩比甲的成绩稳定

D.无法确定谁的成绩更稳定

3.把一组数据中的每一个数据都减去100,得一组新数据，若求得新一组数据的平均数是4,

方差是4.则原来一组数据的方差为.

4.若甲、乙两个样本的数据如下：

甲：10,9,11,8,12,13,10,7

用计算说明哪个样本波动较小.

(1)分别求这两种水果销售量的平均数和方差;

(2)请你从以下两个不同的方面对这两种水果的销售情况进行分析:

①根据平均数和方差分析；

当堂检测参考答案：

l.B2.B3.4

4.先计算样本平均数，得X川=10,x乙=10.

sn.=1x[02+(-1)2+12+(-2)2+22+32+02+(-3)2]

O

=3.5r,

s2=《X[(-3)2+(-2)2+.(-1)2+02+12+12+22+22]=3,

O

•••s莅〉S3.,.样本乙波动较小.

5.(l)x吐.Mi荀=(4+8+5+8+10+13)+6=8,

222

S^；&M®=[(4-8)+(8-8)+-+(13-8)R6=9,

x哈密大华=(8+7+9+7+10+7)4-6=8,