【新人教版高中数学选择性必修第一册课时作业】空间向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示

(45分钟100分)

一、选择题(每小题6分，共30分)

1.(2013•大理高二检测)在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)之间

的距离是()

A.V6B.6C.V3D.2

2.已知a=(入+1,0,2),b=(6,2PT,2人)，若a〃b,则入与U的值分别可以为

()

A.2,-B.-C.-3,2D.2,2

?37

3.(2013・金华高二检测)向量a=(-2,-3,l),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论

正确的是()

A.a//b,a±bB.a//b,a±c

C.a〃c,aJ_bD.以上都不对

4.设晶=(cosa+sina,0,-sina),BC=(0,cosa,0)则IAC|的最大值为()

A.3B.V3C.273D.3>/3

5.(2013・大连高二检测)已知向量a=(l,l,0),b=(-l,0,2),Kka+b与2a-b互

相垂直，则k的值是()

A.1B.-C.-D.-

555

二、填空题(每小题8分，共24分)

6.(2013•石家庄高二检测)已知0(0,0,0),A(1,0,0),B(0,-1,1),0A+入0B与0B

的夹角为120°,则人的值为.

7.(2013•杭州高二检测)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5),贝ijAB

与AC的夹角为.

8.已知a=(3,-2,-3),b=(-l,x-l,1),且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围

是.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3),b=(1,0,

-2),c=a+tb.

(1)当|c|取最小值时，求t的值.

(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.

10.(2013•衡水高二检测)如图，已知矩形ABCD所在平

面外一点P,PA_L平面ABCD,E,F分别是AB,PC的中点.

⑴求证:EF_LCD.

⑵若NPDA=45°,求EF与AP夹角的大小.

11.(能力挑战题)如图所示,ABCD-ABCD是正四棱柱.

⑴求证:BD_L平面ACCA.

(2)若二面角C-BD-C的大小为60°,求异面直线BG与AC所成角的余弦值.

答案解析

1.【解析】选A.解B=|AB|

=7(2-I)2+(1-0)2+(-1-1)2=V6.

2.【解析】选A.，.飞〃!)，...存在k,使得a=kb,即(入+1,0,2)=k(6,2u-1,2?O,

IA4-1=6k,(1(i

即。解得□

J=k(2p—l),u=£或2

(2=2kA,3=2=-3.

［变式备选］已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上，那么

()

A.a=3,b=-3B.a=6,b二一1

C.3:Z3,b—2D.3=:-2,b—1

［解析］选C.根据题意AB=(1,-1,3),AC=(a-1，-2,b+4),

—♦—+—♦—♦

TAB与AC共线，，存在入，使AC二入AB,

即(a-1,-2,b+4)=(入「入，3人)，

a-1=入，(a=3,

，—2=­A,解得b=2j

、b+4=3A,A=2.

3.【解析】选C.Va・b=0,Aa±b,又a士，...a〃c,故选C.

7

4.【解题指南】求出|品|的表达式，利用三角函数的有界性求其最大值.

［解析］选B.由题意知AC二AB+BO(cosa+sina,cosa,-sina),

IAC|=y(cosa+sina)2+cos2a+(—sina)2

二，sin2a+2,

sin2aG［-1,1］,|AC|max=VlT2=V3.

5.［解析］选C.ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).

(ka+b)±(2a-b),

(ka-b)•(2a-b)=3(kT)+2k-4=0,解得k=2

5

6.【解析】0A+入OB=(1,0,0)+(0,-入，入)=(1,一入，入)，

OB=(0,-1,1).据题意可得

_2入二△,解得人二一在(入二渔舍去).

历“+2入2266

答案:―-

7.【解析】易知赢(一2,-1,3),届(1,一3,2),

TT

•/\\厂、

..cos<AB,AC>=—AB—*A—C~—2+3+61

|AB||AC|V14XV147

又<人8,AO£[0,n],故<人8,AC>=-.

3

答案,

3

8.【解析】与b的夹角为钝角，.'.a•b<0,

/.3X(-1)+(-2)X(x-1)+(-3)X1<0,解得

x>-2.若a与b的夹角为n,则x=-,

3

Axe(-2,-)U(-,+oo)

33

答案：(-2,3)U(-,+oo)

33

【误区警示】解答本题时不要忽视把a与b的夹角为180°时的情况剔除.

9.【解析】9)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,

所以△=[一(t-2)]乙4(t2+3t+5)20,

即-4WtW-±.

3

又c=(7,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),

所以Ic|=7(-l+t)2+l2+(3-2t)2

=/5（t-；）2+?.

\J55

因为t£[-4,--]时，上述关于t的函数单调递减,

3

所以当t二-士时，|c|取最小值叵.

37

（2）当t=—士时,c二（二,1,兰），

323

b•c

所以cos<b,c>=\b\\c\

Q+02+(_2)2xJ(一32+m+(52

4141V1735

VI7351735'

【拓展提升】求向量模的最值

在向量的坐标运算中常出现求某向量模的最值的问题，解决这类问题首先要根

据向量的坐标运算求出待求模的向量的坐标，往往坐标内含有参数，再根据题目

条件求出参数的取值范围（本题中用△20求参数范围），最后写出模的表达式,

利用函数的性质求模的最值.

10.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设

AB=2a,BC=2b,PA=2c,

则：A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),

P(0,0,2c).

VE为AB的中点，F为PC的中点，

I.E(a,0,0),F(a,b,c).

(1)CD=(-2a,0,0),EF=(0,b,c),

CD•EF=(-2a,0,0)・(0,b,c)=0,，CD±EF,EF±CD.

(2)若ZPDA=45°，贝可有2b=2c,

即b=c,

/.EF=(O,b,b),AP=(O,0,2b),

Z.cos<EF,AP>=(二£

V2b-2b2

.,.<EF,AP>=45°,

即EF与AP的夹角为45°.

11.【解析】建立空间直角坐标系如图所示:

(1)设AD=a,D*b,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),G(0,a,b).

/.BD=(-a,-a,0),AC=(-a,a,0),Cg=(0,0,b),/.BD•AC=0,BD•CC^O,

.-.BD±AC,BD±CC1,

AC,CCu平面ACCA，且ACACG=C,

...BDJ■平面ACCA.

⑵设BD与AC相交于0点，则点0坐标为(-,0),

22

OC^C-ppb),连接0G,

ABD•OC]=0,

,

ABD•OC^O,..BD±C1O,又BD±CO,

...NCQC是二面角C-BD-C的平面角，

ZCi0C=60°.

tanZCQC=CCI-2一、”b居.

OCV2a*7