考点03 二次根式（解析版）

考点03二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式a(a＞0)a(a=0)a(a＜0)等于其本身的数平方根0/0算术平方根0/0、1立方根0、1、-1【易错警示】正数和0有平方根、算数平方根、立方根；负数只有立方根1．下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为±．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（）A．5 B．﹣5 C． D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则a+b的值是（）A． B．+1 C．﹣1 D．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，∴（a+）2+|b﹣1|＝0，∴a+＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣，b＝1，∴a+b＝+1．故选：B．5．已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（）A．6 B．36 C．3 D．2【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n是完全平方数，∴正整数n的最小值是6，故选：A．2..同类二次根式与最简二次根式概念同类二次根式被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式最简二次根式满足以下两个条件的二次根式：①被开方数中不含分数，所含因式是整式；②被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；叫做最简二次根式【易错警示】二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，所以像、都是二次根式。1．以下各数是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；B、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；C、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意．故选：A．2．将化成最简二次根式为．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝＝．故答案为：．3．下列各式化简后能与合并的是（）A． B． C． D．【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念即可得出结论．【解答】解：A、＝与不能合并，故不符合题意；B、＝3与不能合并，故不符合题意；C、＝3与能合并，故符合题意；D、＝4与不能合并，故不符合题意．故选：C．4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则x的值是2．【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得x2+7＝4x+3，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴x2+7＝4x+3，∴x2﹣4x+4＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，故答案为：2．5．（1）把下列二次根式化为最简二次根式：①；②．（2）解方程：（3x﹣2）2﹣4＝0【分析】（1）依据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．将二次根式化为最简二次根式即可．（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．依据平方根的定义进行计算，即可得到x的值．【解答】解：（1）①＝＝；②＝＝＝．（2）（3x﹣2）2﹣4＝0，∴（3x﹣2）2＝4，∴3x﹣2＝±2，即3x﹣2＝2或3x﹣2＝﹣2，解得x＝或x＝0．考向二：二次根式的性质与化简【易错警示】在根据二次根式的性质化简时，前无“-”，化简出来就不可能是一个负数。1．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性质与化简，立方根以及算术平方根的定义即可判断出答案．【解答】解：A、＝，故此选项不符合题意；B、＝﹣2，故此选项符合题意；C、当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝﹣a，故此选项不符合题意；D、＝5，故此选项不符合题意；故选：B．2．若＝a﹣，则a的取值范围为（）A．a≥ B．0≤a≤ C．a≤ D．一切实数【分析】直接利用二次根式的性质得出a﹣的符号，进而得出答案．【解答】解：若＝a﹣，则a﹣≥0，解得：a≥．故选：A．3．＝8．【分析】先将被开方数进行计算，即可得出结论．【解答】解：＝＝8．故答案为：8．4．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（）A．2c﹣2b B．﹣2c C．﹣2a﹣2c D．0【分析】关键数轴得出c＜a＜0＜b，|a|＜|c|＜|b|，再根据二次根式的性质得出＝|a|﹣|a+c|﹣|c﹣b|﹣|﹣b|＝﹣a﹣（﹣a﹣c）﹣（b﹣c）﹣b，再求出答案即可．【解答】解：因为从数轴可知：c＜a＜0＜b，|a|＜|c|＜|b|，所以＝|a|﹣|a+c|﹣|c﹣b|﹣|﹣b|＝﹣a﹣（﹣a﹣c）﹣（b﹣c）﹣b＝﹣a+a+c﹣b+c﹣b＝2c﹣2b，故选：A．5．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下＝|＝．（1）结合以上化简过程，请你动手尝试化简．（2）善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若a+2＝，则有a+2，所以a＝m+n，b＝mn．若a+2，且a，m，n为正整数，m＞n求a，m，n的值．【分析】（1）根据4﹣2＝（﹣1）2，即可解决问题；（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．【解答】解：（1）＝＝＝＝﹣1．（2）∵a+2，∴a+2＝（m+n）+2，∴a＝m+n，mn＝17，m＞n，∵a，m，n为正整数，∴m＝17，n＝1，∴a＝17+1＝18．考向三：二次根式的运算二次根式加减法（1）把各二次根式化成最简二次根式；（2）根据合并同类项法则合并；二次根式乘除法分母有理化利用分式的基本性质将分母中的二次根式化成有数初中数学三个非负性概念：、、常见应用：以上三个概念，任意两个相加、或者三个相加=0，则各部分分别=0字母表达式为：公式①、②、③常用于以下两种题型：化简求值无理数比较大小常见比较大小的三种方式：利用近似值比较大小把系数移到根号内比较分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。1．下列各式中计算正确的是（）A．（﹣）2＝﹣2 B．＝±5 C． D．＝﹣9【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．2．计算+结果正确的是（）A． B．3 C．3 D．5【分析】根据二次根式的加法法则，先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：+＝．故选：C．3．计算：＝1．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×＝2＝2×＝1．故答案为：1．4．求值：（2﹣3）2022•（3+2）2023＝3+2．【分析】先根据积的乘方得到原式＝[（2﹣3）•（3+2）]2022×（3+2），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝（3﹣2）2022•（3+2）2023＝[（2﹣3）•（3+2）]2022×（3+2）＝（9﹣8）2022×（3+2）＝3+2．故答案为：3+2．5．发现①计算（）2＝2，（）2＝；②计算：＝2；＝；总结通过①②的计算，分别探索（）2（a≥0）与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；应用利用你总结的规律，结合图示计算++（）2的值．【分析】发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；②利用算术平方根的定义进行计算即可；总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．【解答】解：发现：①（）2＝2，（）2＝，故答案为：2，；②＝|2|＝2，＝|﹣|＝，故答案为：2，；总结：（）2＝a（a≥0），＝|a|＝；应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，答：++（）2＝8．6．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：＝＝，乙：＝＝．（1）甲、乙两种变形过程正确的是C；A．甲乙都正确B．甲乙都不正确C．只有乙正确D．只有甲正确（2）化简：．【分析】（1）根据分式的基本性质可判断甲同学的变形错误，理由平方差公式可判断乙同学的变形正确；（2）把分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）甲同学把分子分母有乘以﹣，而﹣可能为0，这不符合分式的基本性质，所以甲同学的计算错误；乙同学理由平方差公式变形，再约分，所以乙同学的计算正确；故选：C；（2）原式＝＝2．7．计算：（1）（+）×；（2）（+1）（﹣1）﹣（﹣1）2；（3）（﹣）÷﹣×．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝（3+4）×＝7×＝14；（2）原式＝3﹣1﹣（3+1﹣2）＝3﹣1﹣4+2＝﹣2+2；（3）原式＝（2﹣）÷﹣2＝﹣2＝﹣．AABC考向三：二次根式的应用1.图形的坡比：直线AB的坡比i=2.与其他几何图形结合的二次根式的应用此类问题多是在特殊几何图形的基础上进行的二次根式的计算，所以需要先考虑所结合的几何图形的性质，然后在进行二次根式的计算1．方程的解为（）A． B． C． D．【分析】两边同时除以后即可求得方程的解．【解答】解：方程两边同时除以得：x＝＝＝＝＝，故选：B．2．如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（）A．6cm2 B．21cm2 C．2cm2 D．4cm2【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣两个小正方形的面积即可得出答案．【解答】解：∵两个小正方形的面积为15和6，∴两个小正方形的边长为，，∵大正方形的边长为：+，∴阴影部分的面积＝（+）2﹣6﹣15＝15+2××+6﹣6﹣15＝6（cm2），故选：A．3．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2【分析】根据S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH＝HC2＝9（cm2），S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝MF2＝8（cm2），故HC＝3cm，LM＝LF＝MF＝2（cm），进而解决此题．【解答】解：如图所示：由题意知：S正方形ABCH＝HC2＝9（cm2），S正方形HCDG＝LM2＝LF2＝ME2＝8（cm2）．∴HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝2（cm）．∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE＝HL•LF+MC•ME＝HL•LF+MC•LF＝（HL+MC）•LF＝（HC﹣LM）•LF＝（3﹣2）×2＝（6−8）（cm2）．故选：D．4．直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（）A． B． C．1 D．2【分析】先根据勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：∵两条直角边的长分别是为和，∴斜边＝＝4，∴斜边上的中线＝2．故选：D．5．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S乙，有如下三个结论：①正方形ABCD的面积等于S甲的一半；②正方形EFGH的面积等于S乙的一半；③S甲：S乙＝9：10．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【分析】①分别求出正方形ABCD的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；②分别求出正方形EFGH的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；③结合①②进行求解即可．【解答】解：①S正方形ABCD＝42+22＝20，正方形网格的面积为：62＝36，∴，故①结论错误；②S正方形EFGH＝32+32＝18，正方形网格的面积为：62＝36，∴，故②结论正确；③由①得：，则，由②得：，则S乙＝2SEFGH，∴，∵正方形ABCD，EFGH的面积相等，∴，故③结论正确．故选：B．6．如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）【分析】（1）作DF⊥AB于点F，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；（2）作D′G⊥A′B于点G，求出CD′、A′B，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F，∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，在Rt△CEB中，tanα＝，∴BE＝＝5，∴AB＝AF+FE+EB＝（+5）米；（2）如图，作D′G⊥A′B于G，在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，∴梯形D′A′AD的面积＝×（0.5+1.5）×5＝5，答：横截面增加的面积为5平方米．1．下列结论正确的是（）A．有理数与数轴上的点一一对应 B．二次根式有意义条件是x＞0 C．立方根等于它本身是±1 D．如果a3＝b3，那么a＝b【分析】分别根据数轴与实数的关系，二次根式有意义的体积，立方根的定义以及乘方的意义逐一判断即可．【解答】解：A．实数与数轴上的点一一对应，原说法错误，故本选项不合题意；B．二次根式有意义条件是x≥﹣1，原说法错误，故本选项不合题意；C．立方根等于它本身是±1、0，原说法错误，故本选项不合题意；D．如果a3＝b3，那么a＝b，说法正确，故本选项符合题意．故选：D．2．下列式子是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B．是最简二次根式，故此选项符合题意；C．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D．，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．故选：B．3．下列计算中，正确的是（）A．+＝ B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4【分析】根据二次根式的运算法则可得答案．【解答】解：A：，不是同类二次根式，不能合并，故A错．B：4﹣＝3，合并同类二次根式，故B错．C：×＝，二次根式的乘法法则，故C正确．D：÷＝＝2，二次根式的除法法则，故D错．故选：C．4．下列各式中，与不是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式【解答】解：A、＝2，故A不符合题意．B、＝4，故B不符合题意．C、＝2，故C符合题意．D、＝3，故D不符合题．故选：C．5．如果＝3a﹣2，那么a的取值范围（）A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：3a﹣2≥0，∴a≥，故选：C．6．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（）A．14 B． C．16 D．【分析】将n＝代入计算n（n+1）的值，判断结果2+小于15，将n＝2+再代入计算，再判断计算结果是否大于15，即可得到答案．【解答】解：∵n＝时，n（n+1）＝×（+1）＝2+，且2+＜15，∴将n＝2+再次输入，n（n+1）＝（2+）（2++1）＝（2+）（3+）＝6+5+2＝8+5，∵8+5＞15，∴输出结果是8+5，故选：B．7．已知a+b＝﹣4，ab＝2，则＝2．【分析】根据配方法以及分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式的平方＝+2＝，当a+b＝﹣4，ab＝2时，原式＝+2＝8，由题意可知结果为正数，所以＝2故答案为：28．计算÷3×的结果是1．【分析】按从左往右依次计算，也可以把除法化为乘法计算．【解答】解：原式＝3÷3×＝×＝＝1．故答案为：1．9．不等式x﹣5＞2x的解集是x＜﹣5﹣10．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：x﹣5＞2x，移项得：x﹣2x＞5，合并得：（﹣2）x＞5，解得：x＜﹣5﹣10．故答案为：x＜﹣5﹣10．10．若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是﹣．【分析】根据满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式，列出式子，再分母有理化．【解答】解：∵M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式“，∴的“互为友好因式”：＝﹣，故答案为：﹣．11．已知y＝+﹣，则（x+y）2022（x﹣y）2023的值为2+．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x﹣2＝0且2﹣x＝0，∴x＝2，∴y＝0+0﹣＝﹣，原式＝[（x+y）（x﹣y）]2022（x﹣y）＝（x2﹣y2）2022（x﹣y）＝（4﹣3）×（2+）＝2+．12．计算（1）；（2）（2+3）（2﹣3）+2；（3）（1﹣）++（）﹣1；．【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后进行加法运算；（2）利用平方差公式计算；（3）先利用二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义运算，然后化简后合并即可；（4）先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝+2＝3+2×2＝7；（2）原式＝12﹣18+2＝﹣4；（3）原式＝﹣3+2+3＝3；（4）原式＝1﹣2+3﹣5﹣2＝﹣6．13．观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按上述规律，回答以下问题：（1）写出第5个等式：；（2）请写出第n个等式：an＝；；（3）利用上述的规律计算：a1+a2+a3+…+an．【分析】（1）根据题目的式子可以写出第5个等式；（2）根据题目的式子可以写出第n个等式；（3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可．【解答】解：（1）∵第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，∴第5个等式：，故答案为：；（2）由（1）的规律可得，，故答案为：；（3）a1+a2+a3+…+an＝＝＝．14．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（+1）m，宽为（﹣1）m．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（+）（m）；（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（+）＝2（9+8）＝34（m），答：长方形ABCD的周长是34（m）；（2）购买地砖需要花费＝50×[9×8﹣（+1）（﹣1）]＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）；答：购买地砖需要花费6600元．1．（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•大连）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A、＝﹣2，故A不符合题意；B、＝3，故B不符合题意；C、2+3＝5，故C符合题意；D、（+1）2＝3+2，故D不符合题意；故选：C．3．代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．4．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2 B．3 C．2 D．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．【解答】解：＝2，故选：A．5．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．6．（2022•朝阳）计算：÷﹣|﹣4|＝﹣1．【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可．【解答】解：原式＝﹣4＝3﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．7．（2022•广西）化简：＝2．【分析】应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．【解答】解：＝＝＝2．故答案为：2．8．（2022•青海）若式子有意义，则实数x的取值范围是x＞1．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x﹣1＞0，解得x＞1，故答案为：x＞1．9．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是2．【分析】根据的范围，求出3﹣的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴1＜3﹣＜2，∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2，故答案为：2．10．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于18．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．11．（2022•泰安）计算：•﹣3＝2．【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．【解答】解：原式＝﹣3×＝4﹣2＝2，故答案为：2．12．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是．【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵y＝++，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，y＝，则原式＝×＝＝，故答案为：13．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为3，最大值为75．【分析】先将化简为10，可得n最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则n越大，当＝2时，即可求解．【解答】解：∵＝＝10，且为整数，∴n最小为3，∵是大于1的整数，∴越小，越小，则n越大，当＝2时，＝4，∴n＝75，故答案为：3；75．14．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【分析】根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可以将所求式子化简．【解答】解：由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．15．（2022•河池）计算：|﹣2|﹣3﹣1﹣×+（π﹣5）0．【分析】先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．【解答】解：原式＝2﹣﹣2+1＝．16．（2022•甘肃）计算：×﹣．【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝﹣2＝﹣．17．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2＝6ab，∵a＝﹣，b＝+，∴原式＝6ab＝6×（﹣）（+）＝6．18．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）【分析】在Rt△BCD中，根据BC的坡度为i1＝1：1，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，根据AC的坡度为i2＝1：，可求出AD的长，然后利用AB＝AD﹣BD，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．1．（2022•兴庆区校级一模）下面等式：①，②，③（x﹣y）2＝x2﹣y2，④（m4）3＝m12，⑤（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y2，⑥，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用二次根式的混合运算以及幂的乘方运算法则、乘法公式分别判断得出答案．【解答】解：①3×4＝24，故此选项不合题意；②4﹣＝，故此选项不合题意；③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项不合题意；④（m4）3＝m12，故此选项符合题意；⑤（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，故此选项不合题意；⑥，故此选项符合题意．故选：B．2．（2022•南岸区校级模拟）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、＝|b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．3．（2022•西湖区校级二模）要使式子有意义，x的取值范围是（）A．x≤5 B．x≠5 C．x＞5 D．x≥5【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．【解答】解：依题意有：x﹣5≥0，解得x≥5．故选：D．4．（2022•武威模拟）下列计算正确的是（）A．＝﹣3 B．＝±3 C．+＝ D．＝3【分析】利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．5．（2022•夏邑县模拟）实数﹣的倒数是（）A． B． C． D．【分析】根据分母有理化以及倒数的定义即可求出答案．【解答】解：﹣的倒数是＝，故选：C．6．（2022•邯郸模拟）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【分析】根据二次根式的相应的运算法则进行求解，再对比题目中的运算顺序，可以发现哪位同学做错了．【解答】解：＝＝6＝5，故运算错误的是乙，故选：A．7．（2022•庆阳二模）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】先计算出各个选项中式子的结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：，故选项A错误，不符合题意，选项C正确，符合题意；+不能合并，故选项B、D均错误，不符合题意；故选：C．8．（2022•普陀区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B．x C．3 D．【分析】化简二次根式，然后根据同类二次根式的概念进行判断．【解答】解：A、＝，与是同类二次根式，故此选项符合题意；B、x与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；C、3与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；故选：A．9．（2022•阿城区模拟）计算：＝﹣．【分析】先化为最简二次根式，去括号，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝2﹣3﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．（2022•定远县二模）如果有意义，则x的取值范围为x≤2且x≠﹣1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．【解答】解：∵2﹣x≥0且x+1≠0，∴x≤2且x≠﹣1．故答案为