非线性物理单摆杜芬方程

关于非线性物理单摆杜芬方程第一节无阻尼单摆的自由振荡

1小角度无阻尼单摆2任意角度无阻尼单摆振动3无阻尼单摆的相图与势能曲线第2页,共30页，星期六，2024年，5月由牛顿第二定律：

非线性方程,式中角频率：1小角度无阻尼单摆数学表达式(1)(2)(3)第3页,共30页，星期六，2024年，5月

线性化处理忽略3次以上的高次项得线性方程(4)第4页,共30页，星期六，2024年，5月(5)该式是振幅为P，角频率为的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线l得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。第5页,共30页，星期六，2024年，5月引入代换得：一次积分后：

式中E为积分常数，由初始条件决定。把看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为，振动过程是一个代表点沿圆周转动。相图(6)第6页,共30页，星期六，2024年，5月相图

相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。第7页,共30页，星期六，2024年，5月能量方程右边第一项为系统动能K

，第二项为系统势能V，E是系统的总能量。运动过程中K和V两者都随时间变化，而系统总能量E保持不变。当K=V=0时，E=0，有，这时摆处于静止状态，为静止平衡。当E>0时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆(或椭圆)。同一圆周(或椭圆)上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E=0的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。第8页,共30页，星期六，2024年，5月周期与摆角无关？T0为零摆角极限下的周期看看实验结果：单摆周期2任意角度无阻尼单摆振动第9页,共30页，星期六，2024年，5月定性结论：1.周期随摆角增加而增加2.随摆角增加波形趋于矩形第10页,共30页，星期六，2024年，5月单摆周期数学表达式2

任意角度无阻尼单摆振动任意摆角单摆周期与摆角的关系可采用如下方法求得将方程(3)乘以，并对积分，得(7)在最大角位移处，，可求得积分常数因此由(7)式得(8)第11页,共30页，星期六，2024年，5月对(8)式积分，得(9)设t=0时，并设周期为T，则在t=T/4时应有，再利用三角函数公式可得(10)第12页,共30页，星期六，2024年，5月引入代换(11)则有进而可把(10)式变为式中(12)第13页,共30页，星期六，2024年，5月最后，可计算出(13)忽略高次项，可得(14)第14页,共30页，星期六，2024年，5月任意角度无阻尼摆轨线的数学表达式由机械能守恒定律可知单摆的能量满足关系式常量(15)对上式进行无量纲化处理(即把看作t)，可得常量(16)由此解得(17)第15页,共30页，星期六，2024年，5月1.坐标原点[]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道；2.平衡点[]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线;3.从[]到[]或相反的连线为分界线.在分界线内的轨线是闭合回线单摆作周期振动。分界线以外单摆能量E超过势能曲线的极大值，轨道就不再闭合，单摆作向左或向右方向的旋转运动单摆完整相图3

任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线第16页,共30页，星期六，2024年，5月相图横坐标θ是以2

为周期的，摆角是同一个倒立位置，把相图上G点与G

点重迭一起时，就把相平面卷缩成一个柱面。所有相轨线都将呈现在柱面上。因此，平面上的相轨线是柱面上的相轨线的展开图。柱面上的单摆相轨线3任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线第17页,共30页，星期六，2024年，5月第二节阻尼振子1阻尼单摆不动点2无驱杜芬方程第18页,共30页，星期六，2024年，5月1.阻尼单摆不动点无阻尼时：设阻尼力与摆的速度成正比：取β＝得：如果满足则有：数学表达式第19页,共30页，星期六，2024年，5月设解为得特征方程l为待定常数，特征方程解：故有：通解为最后有：小摆角阻尼单摆的解1.阻尼单摆不动点第20页,共30页，星期六，2024年，5月相轨线

吸引子1.阻尼单摆不动点对阻尼单摆解引入新变量(u,v)第21页,共30页，星期六，2024年，5月相轨线

吸引子1.阻尼单摆不动点

阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在[u,v]平面上是向内旋转的对数螺旋线簇。在[]平面内也与此类似。能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从哪点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为“吸引子”，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动点。第22页,共30页，星期六，2024年，5月1.整相平面被通过鞍点G与G

的轨线分成三个区域。2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似。3.鞍点的位置仍在原处。任意摆角下的相图1.阻尼单摆不动点第23页,共30页，星期六，2024年，5月运动

从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有高度。轨线从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破坏了。相流所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分别处在该图左(-2p)和右(+2p)两侧。第24页,共30页，星期六，2024年，5月2.

杜芬方程数学上将含有

三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：

例：弱非线性单摆属Duffing方程：取：得：杜芬方程第25页,共30页，星期六，2024年，5月研究无驱无阻尼杜芬方程：

积分得：由系统能量知：势能曲线2.

杜芬方程第26页,共30页，星期六，2024年，5月势能曲线2.

杜芬方程势能：

讨论：由知：1.当时有一个平衡点：2.当时有三个平衡点：3.平衡点为两个能量最小点第27页,共30页，星期六，2024年，5月相图2.

杜芬方程第28页,共30页，星期六，2024年，5月

从杜芬方程势能曲线，画出(）平面上的相轨线。1.对于，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道;2.对于,坐标原点是鞍点，邻近相轨线