2020-2021学年重庆市铜梁区巴川中学八年级（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年重庆市铜梁区巴川中学八年级（下）期末数学试

卷

一、选择题（共12小题，每题4分，共48分）.

1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

2.将抛物线＞=（x-2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）

A.（2,4）B.（-1,1）C.（5,1）D.（2,-2）

3.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）

A.3、4、5B.5、12、13C.&、«、D.4、5、6

4.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均

数W（单位：千克）及方差俨（单位：千克2）如下表所示.今年准备从四个品种中选出

一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）

甲乙丙T

X24242320

S21.92.121.9

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.如图，△AEC是△ABC以点。为位似中心经过位似变换得到的，若AY：OA'=2：3,

则△ABC的面积与△ABC的面积比是（）

B

A.25：9B,9：4C.25：3D.5：3

6.用配方法解一元二次方程x2+8x-3=0,下列变形中正确的是（）

A.（尤-4）2=16+3B.（尤+4）2=16+3

C.（X+8）2=-3+64D.（x-8）2=3+64

7.下列说法错误的是（）

A.平行四边形对边平行且相等

B.菱形的对角线平分一组对角

C.矩形的对角线互相垂直

D.正方形有四条对称轴

8.已知二次函数y=ax2+4x+l的图象与无轴有公共点，则。的取值范围是（）

A.。＜4B.aW4C.。＜4且aWOD.aW4且aWO

9.AB两地相距20h〃，甲从A地出发向3地前进，乙从2地出发向A地前进，两人沿同一

直线同时出发，甲先以8初1//7的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两

人离A地的距离s（km）与时间f（人）的关系如图所示，则甲出发（）小时后与乙

10.如图，菱形ABC。的面积为24c"落对角线2。长6cm,点。为8。的中点，过点4作

AELBC交CB的延长线于点E,连接OE,则线段OE的长度是（）

C.4.8C7〃D.5cm

11.若整数a使得关于x的方程2-/=/一的解为非负数，且使得关于y的一元一次不

x-22-x

3y-2+2〉y-2

22

等式组4至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）

10

A.23B.25C.27D.28

12.如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移

OO

1个单位得到点3,点C（1,0）,则0B+C2的最小值为（）

A.6B.2V3C.亨D・乎

二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）

13.计算：（A）+IV6-3|+V24=---------------

14.已知正比例函数>=依（左W0）的函数值y随x增大而减小，则直线：>=-履+左不经过

第象限.

15.如图，在矩形ABCD中，DELCE,AE<BE,AD=4,AB=10,则DE长

16.如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线y=ox2+bx+c过点（-1,-4）,则下列结论:

①对于任意的x=m,均有atrr+bm+c^-6；②ac>0；③若点（w，yj,（

丫2）在抛物线上，则凶>小；④关于x的一元二次方程axi+bx+c=-4的两根为-5和-1；

⑤6-6“=0；其中正确的有（填序号）.

17.如图，正方形ABC。中，E是BC边上的一点，连接AE,将AB边沿AE折叠到AF延

长所交DC于G,点G恰为CD边中点，连接AG,CF,AC.若AB=6,则△APC的

面积为.

18.某手机生产商将推手机生产工作交由旗下A、B、C三个工厂完成，A、8两个工厂有半

自动、全自动、外包三种生产方式，C工厂只有半自动一种生产方式，且三个工厂同种

生产方式每天的生产量相等，全自动每天的生产量是外包每天的生产量的2.5倍，&C

两工厂生产总量相等，均比A厂多40%,A厂用3天进行半自动生产，2天进行全自动

生产，1天进行外包生产完成全部工作；3厂用2天进行半自动生产，3天进行全自动生

产，2天进行外包生产完成全部工作；则C厂需要天生产完成全部工作.

三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19.（1）用公式法解方程：x2-2x-6=0；

2

（2）计算：工二包+

20.如图，已知平行四边形ABCD

（1）用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE,使CE=CD,连接。E,作/ABC的

平分线2尸交AD于点E（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，证明四边形BEDE为平行四边形.

四、解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）

21.2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史

知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛

成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：

6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,10,10.

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数8.58.5

中位数a9

众数8b

优秀率45%55%

根据以上信息，解答下列问题.

(1)填空：a=；b=；

(2)估计该校七年级20名教师中竞赛成绩达到8分以上人数.

(3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异.

八隼级教师竞赛西扇形统计图

分

月6

B7分

c8分

D9分

E0分

22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究

—X2-2(X<2)

函数性质的过程，以下是我们研究函数2、的性质及其应用的部分

l2-2lx-3l(x>2)

过程，请按要求完成下列各小题.

X.・・-4-3-2-1012345・・・

・・・・・・

y6a0-1.5-2-1.5020b

(1)表中a=：b=

(2)根据表中的数据画出该函数的大致图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质.

(3)已知直线y=咯乂看的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当》>/时直接

477

写出X的取值范围.(保留1位小数，误差不超过0.2)

23.火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月

第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌2套餐的总售价为1600元，其中

A套餐比B套餐每盒贵20元.

(1)求A套餐的售价是多少元；

(2)第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第

二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调“％,销售量比第一周的销售量增加了

当％,B套餐的销售价格比第一周的价格下调了4%,销售量比第一周的销量增加了140

桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求。的值.

24.一个三位自然数m满足各数位上的数字之和不超过10,我们称这个数为“完美数”.将

“完美数”。的个位数字与百位数字交换得到一个新数b,记G(a)=专.例如：a

=125,因为1+2+5=8<10,所以a为“完美数”，交换其个位数字和百位数字后得到6

125-521

=521,G(125)=-36.

(1)判断236是不是“完美数”，计算G(321)；

(2)已知两个“完美数=100a+10b+2,”=100c+30+d(0Wb<aW9,0WcW9,0W

1W9,a、b、c、”为整数)，若GGn)能被7整除，G(m)+G(w)=18(d-2),

求n.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6x+c经过A(0,-1),B(4,1).直线

交x轴于点C,尸是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作尸A3,垂足为£),

PE〃x轴，交AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当△2£>£的周长取得最大值时，求点尸的坐标和△2£>£周长的最大值；

(3)把抛物线丫=d+法+。平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点

备用图

五、解答题：(本大题1个小题，共8分)

26.已知四边形ABCO是平行四边形，在中，点E、F是动点，AE=EF,ZAEF=

90°.

(1)如图1,当点尸于点8重合时，连接CE交AB于点G,连接AC,若AB=BC,Z

540=120°,BE=2,求点£到3c的距离；

(2)如图2,当点尸在延长线上时，将△&即绕着点A逆时针旋转得到F',

使点尸落在CD边上，点E'在平行四边形ABCD的内部，过点C作C//LCD,连接

CH、DH,若AF=DH,ZAF'D=ZH,求证：2BE，+亚CH=«C。；

(3)如图3,AB=BC,ZBAD=120°,48=2近，点厂从2点出发沿射线BC运动，

求运动过程中士(OE+AE)2的最小值.

图3

参考答案

一、选择题(共12小题，每题4分，共48分).

1.下列式子中，属于最简二次根式的是()

A.-s/7B.79C.氓D.

解：夜是最简二次根式；

79=3,被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

78=272-被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

需被开方数含分母，不是最简二次根式，

故选：A.

2.将抛物线＞=(x-2)2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是()

A.(2,4)B.(-1,1)C.(5,1)D.(2,-2)

解：将抛物线》=(x-2)2+1向上平移3个单位，得＞=(%-2)2+1+3,即y=(x-2)

2+4,

顶点坐标为(2,4),

故选：A.

3.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是()

A.3、4、5B.5、12、13C.近、愿、旄D.4、5、6

解：A、(3)2+(4)2=(5)2,则能组成直角三角形，故此选项不合题意；

B、52+122=132,则能组成直角三角形，故此选项不合题意；

C、(亚)2+(F)2=(旄)2,则能组成直角三角形，故此选项不合题意；

D、42+5V62,则不能组成直角三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

4.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均

数彳(单位：千克)及方差窿(单位：千克2)如下表所示.今年准备从四个品种中选出

一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是()

甲乙丙T

X24242320

S21.92.121.9

A.甲B.乙C.丙D.丁

解：•••甲的平均数最大，方差最小，最稳定.

，应选的品种是甲.

故选：A.

5.如图，△A'BC是△ABC以点。为位似中心经过位似变换得到的，若A4'：0A'=2：3,

则AABC的面积与△AEC的面积比是（）

A.25：9B.9：4C.25：3D,5：3

解：•••△ABC是AABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，

•By_0Az_3

ABOA"一『

.SAABCAB.225

^AAZBZCZA'B'9

故选：A.

6.用配方法解一元二次方程T+8x-3=0,下列变形中正确的是（）

A.（x-4）2=16+3B.（尤+4）2=16+3

C.（x+8）2=-3+64D.（x-8）2=3+64

解：方程尤2+8X-3=0,

移项得：x2+8x=3,

配方得：x2+8x+16=16+3,即（x+4）2=16+3.

故选：B.

7.下列说法错误的是（）

A.平行四边形对边平行且相等

B.菱形的对角线平分一组对角

C.矩形的对角线互相垂直

D.正方形有四条对称轴

解：A、平行四边形对边平行且相等，是真命题；

8、菱形的对角线平分一组对角，是真命题；

C、矩形的对角线互相相等，原命题是假命题；

D,正方形有四条对称轴，是真命题；

故选：C.

8.已知二次函数koxMx+l的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是()

A.a<4B.C.a<4且aWOD.aW4且aWO

解：,二次函数>=依2+标+1的图象与x轴有公共点，

/.A=42-4aX1^0,且aWO,

解得：aW4,且aWO.

故选：D.

9.AB两地相距20初7,甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一

直线同时出发，甲先以8h〃//i的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两

人离A地的距离s(km)与时间f(h)的关系如图所示，则甲出发()小时后与乙

解：甲减速后的速度为：(20-8)4-(4-1)=4(W/i),

乙的速度为：20+5=4{km/h'),

设甲出发x小时后与乙相遇，根据题意得

8+4（x-1）+4%=20,

解得x=2.

即甲出发2小时后与乙相遇.

故选：B.

10.如图，菱形的面积为24c/,对角线8。长点。为8。的中点，过点A作

AE±BC交CB的延长线于点E,连接OE,则线段OE的长度是（）

D

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

解：•・•四边形ABC。是菱形，

：.BD±AC,

*.*BD—6cm,S菱形ABCD=CXBD—24cm2,

.\AC—8cm,

•：AE_LBCf

：.ZAEC=90°,

OE=—AC=4cm,

2

故选：B.

H.若整数a使得关于x的方程2-三=导

-的解为非负数，且使得关于y的一元一次不

x-22-x

'3y-2+2〉v-2

22

等式组《乙'至少有3个整数解,则所有符合条件的整数。的和为（）

107

A.23B.25C.27D.28

解：分式方程去分母得：2(x-2)-3=-,b

整理得：2x-4-3=-a,

解得：X=。，

•••分式方程的解为非负数，且。为整数,

且^—^W2,即aW7且〃W3,

22

不等式组整理得：,即-2<yWa,

..•不等式组至少有3个整数解，

综上，。的范围为lWa<7,即。=1,2,4,5,6,7,

则满足条件的a之和为1+2+4+5+6+7=25.

故选：B.

12.如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y乎■上一动点，将点A向右平移

OO

1个单位得到点8,点C(1,0),则OB+CB的最小值为()

A.任B.2代C.吟D.乎

解：设£>(-1,0),作。点关于直线了正乂性巨的对称点£，连接。£，交直线于

33

A,连接AO,ED,作轴于S,

•：AB//DC,且A3=OO=OC=1,

四边形A8OO和四边形ABCO是平行四边形，

：.AD^OBfOA^BC,

：.AD+OA=OB+BC,

*：AE=AD,

AAE+OA=OB+BC,

即OE=OB+BC,

・・・08+C8的最小值为OE,

由尸返X士至巨可知/4尸。=3。°，/（-4,0）,

33

：.FD=3,ZFDG=60°,

13

.\£>G=—DF=—,

22

:,DE=2DG=3,

:瓜=立冬元=3区,DS=—DE=—,

2222

：.0S=—,

2

；•OE=、/os2-Es2=Via

J.OB+CB的最小值为J记，

二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）

13.计算：（［）+l^/g-3|

O

一］

解：（T）+|迎一3］+V^=-3+3-%+2捉=捉，

o

故答案为：

14.已知正比例函数〉=区（ZWO）的函数值y随x增大而减小，则直线：）=-辰+左不经过

第二象限.

解：・・,正比例函数>=履（左#0）的函数值y随%增大而减小，

k<0,

：.-k>0,

即直线：y=-fcv+Z中的-Z>0,左V0,

因此直线经过一、三、四象限，不过第二象限，

故答案为：二.

15.如图，在矩形A8C0中，DELCE,AE<BE,AO=4,AB=10f则OE长为2遥.

解：设AE=x,则BEnlO-x,

,••四边形4BC。是矩形，

：.CD=AB=1Q,ZA=ZB=90°,

：.AD2+A^^D^,BC+BE^uC区,

•：DE±CE,

:.NDEC=90°,

:.DE2+CE2=CD-,

：.AD^+AEr+BC^+BE2=CD2,

即42+X2+42+（10-x）2=102,

解得：尤=2或x=8（舍去），

：.AE=2,

:,DE=7AD2+AEJ=J,+22=2旄,

故答案为：2^/5.

16.如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线尸〃/+版+c过点（-1,-4）,则下列结论:

__RQ

①对于任意的x=m,均有«m2+Z?m+c^-6；②ac>0；③若点（-不，丫1），（U，

>2）在抛物线上，则川〉、2；④关于x的一元二次方程a^-+bx+c=-4的两根为-5和-1；

⑤6-6〃=0；其中正确的有①④⑤（填序号）.

解：:抛物线尸以2+云+。的顶点为（-3,-6）,

・•・当x=-3时,y最小值=-6,

J对于任意的x=m,其函数值励+c2-6,

因此①正确;

;开口向上,

.\a>0,

•・•抛物线与y轴交于负半轴，

〃cVO,

因此②不正确；

:点（得，yj，（2，J2）在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，y随x

的增大而增大，

因此③不正确；

•・•抛物线y=a^bx+c过点（-1,-4）,由对称轴为x=-3,根据对称性可知，抛物

线y=ox2+bx+c还过点（-5,-4）,

・・.当>=-4时，即方程*2+云+°=_4有两个不相等的实数根-1和-5,

因此④正确；

:对称轴X=--3,

2a

••b~6。—■0,

因此⑤正确；

综上所述，正确的结论有①④⑤，

故答案为：①④⑤.

17.如图，正方形A5CD中，E是边上的一点，连接AE,将边沿A石折叠到AE延

长所交OC于G,点G恰为CD边中点，连接AG,CF,AC.若A3=6,贝/。的

面积为3.6.

4________________D

BEC

解：•・•四边形ABC。是正方形，

C.AB^AD,N5=NO=90°,

・・・将AB边沿AE折叠到AF,

：.AB=AFfZB=ZAFB=90°,

在RtAABE和RtAAFB中，

fAE=AE

lAB=AF，

ARtAABE^RtAAFB(HL),

：.BE=EF,

同理可得：DG=FG,

・・,点G恰为CO边中点，

：.DG=FG=3,

设35=羽则CE=6-x,EG=3+x,

在RtZXCEG中，由勾股定理得：

(1+3)2=32+(6-x)2,

解得x=2,

：.BE=EF=2,CE=4,

.*.SACEG="X4X3=6,

VEF：FG=2：3,

212

SAEFC=MX6=—,

55

•*»S^AFC=S^AEC-S^AEF-S^EFC

1112

——X4X6X2X6-

225

-19a12

5

=3.6.

故答案为：3.6.

18.某手机生产商将推手机生产工作交由旗下A、B、C三个工厂完成，A、B两个工厂有半

自动、全自动、外包三种生产方式，C工厂只有半自动一种生产方式，且三个工厂同种

生产方式每天的生产量相等，全自动每天的生产量是外包每天的生产量的2.5倍，8、C

两工厂生产总量相等，均比A厂多40%,A厂用3天进行半自动生产，2天进行全自动

生产，1天进行外包生产完成全部工作；2厂用2天进行半自动生产，3天进行全自动生

产，2天进行外包生产完成全部工作；则C厂需要21天生产完成全部工作.

解：设外包每天的生产量为。，半自动每天的生产量是b,则全自动每天的生产量是2.5a,

则A厂的工作量为：2X2.5a+3b+a=6a+3b,

B厂的工作量为：3X2.5a+2b+2a=9.5a+2b.

；2厂生产总量比A厂多40%,

'.9.5a+2b=(1+0.4)(6。+36).

.'.a=2b.

.•.2厂的工作量为：9.5。+2b=214

设C厂完成全部工作需/天，

•••8、C两工厂生产总量相等，C工厂只有半自动一种生产方式，

.".mb=21b,

故答案为：21.

三、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19.(1)用公式法解方程：-2x-6=0；

2

(2)计算：工二红+

x+2x+2'

解：(1)x2-2x-6=0,

这里。=1,b=-2,c=-6,

・.・A=b2-4ac=(-2)2-4XlX(-6)=4+24=28>0,

-b±Vb2-4ac212/7

.•・x==1土行，

2a2

解得：即=1+赤，X2=l-夜;

⑵原式=啥・5-(x+2)

x+2

_x(x-3).x+2

x+2-(x-3)

--x.

20.如图，已知平行四边形A3CD

(1)用尺规完成以下基本作图：在C3上截取CE,使CE=CZ),连接DE,作NABC的

平分线BF交AD于点F.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图形中，证明四边形3即尸为平行四边形.

E

(2)证明：・・•四边形A8CO为平行四边形，

：.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

•：CE=CD,

：.CE=ABf

•・,8/平分NA8C,

ZABF=ZCBF,

9：AF//BC,

：.ZCBF=ZF,

：.ZABF=ZF,

：.AB=AF,

：.CE=AF,BPCB+BE=AD+DF,

：.BE=DF,

*：BE//DF,

・・・四边形BED尸为平行四边形.

四、解答题(本大题5个小题，每小题10分，共50分)

21.2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史

知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩(竞赛

成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)，相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩(单位：分)：

6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,10,10.

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数8.58.5

中位数a9

众数8b

优秀率45%55%

根据以上信息，解答下列问题.

(1)填空：a=8；b=9；

(2)估计该校七年级20名教师中竞赛成绩达到8分以上人数.

(3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异.

八隼级教师竞赛西扇形统计图

分

月6

B7分

c8分

D9分

E0分

解：（1）•..七年级教师的竞赛成绩：6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,

10,10,10,10,10.

中位数4=8.

根据扇形统计图可知。类是最多的，故匕=9.

故答案为：8；9.

(2)该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为晋X100%X120

=102(人).

(3)根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%.

故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异.

22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究

12_Qp)

函数性质的过程，以下是我们研究函数y1=万、~的性质及其应用的部分

2-2lx-3l(x>2)

过程，请按要求完成下列各小题.

（3）已知直线丫2=咯乂-言的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当力〉”时直接

写出X的取值范围.（保留1位小数，误差不超过0.2）

解：（1）当x=-3时，M=[><（-3）2-2=25

・・a~~2.5,

当x=5时，y=2-2X|5-3|=-2,

:・b=-2,

故答案为：2.5,-2；

（2）画出函数图象如图所示：

由图象得：x<0时，>随x的增大而减小;

由图象可知，当力>”时，x的取值范围为：-2或1.5<x<5.

23.火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月

第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌8套餐的总售价为1600元，其中

A套餐比2套餐每盒贵20元.

(1)求A套餐的售价是多少元；

(2)第一周A套餐的销售量为800桌，2套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第

二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%,销售量比第一周的销售量增加了

套餐的销售价格比第一周的价格下调了去％，销售量比第一周的销量增加了140

桌，最终第二周A套餐的销售总额比2套餐的销售总额少了48000元，求a的值.

解：(1)设A套餐的售价是x元，则8套餐的售价是(x-20)元，

依题意得：5x+10(x-20)=1600,

解得：无=120.

答：A套餐的售价是120元.

(2)依题意得：(120-20)(1-2a%)X(1300+140)-120(1-a%)X800(1+—a%)

23

=48000,

整理得：3.2a2-80a=0,

解得：ai=25,02=0(不合题意，舍去).

答：。的值为25.

24.一个三位自然数a,满足各数位上的数字之和不超过10,我们称这个数为“完美数”.将

“完美数”a的个位数字与百位数字交换得到一个新数b,记G(a)=甘.例如：a

=125,因为1+2+5=8<10,所以。为“完美数”，交换其个位数字和百位数字后得到6

125

=521,G(125)=-521=-36.

(1)判断236是不是“完美数”，计算G(321)；

(2)已知两个“完美数”机=100a+10b+2,n=100c+30+d(00<aW9,0WcW9,OC

dW9,a、b、c、d为整数)，若G(W能被7整除，G(m)+G(n)=18(d-2),

求n.

解:(1)V2+3+6=ll>10,

•••236不是“完美数”，

：.G(321)=321-123=]8；

11

(2)'：G(m)+G(〃)

(100a+10b+2)-(200+10b+a)।(100c+30+d)-(100d+30+c)

99a-198।99c-99d

=C9a-18)+(9c-9J)

=9(〃+c-d-2)

=18(d-2),

可得a+c=3d-2,

又,:G(m)=99；；98是整数且0W6<a<9,

可得满足条件的。只有2或9,

当。=9时，相不是“完美数”；

当a=2时，机可以是“完美数”.

当a=2时，得2+c=3d-2,

即4+c=3”,

又由0WcW9,0WdW9,

•.•〃是完美数，

...必须满足c+3+dWlO,

即c+dW7,

只有c=2,d=2满足要求.

当c=2,"=2时，«=100X2+30+2=232.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+&v+c经过A(0,-1),B(4,1).直线

交无轴于点C,尸是直线下方抛物线上的一个动点.过点P作尸。，43,垂足为£),

PE〃尤轴，交AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值；

(3)把抛物线y=/+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点

的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

备用图

解：(1):抛物线y=x2+bx+c经过A(0,-1),B(4,1),

.fc=-l

116+4b+c=l'

\_7

Jb-T,

C=-1

该抛物线的函数表达式为尸/,Zx-1;

(2)如图1,设直线AB的函数表达式为>=依+小

VA(0,-1),5(4,1),

.Jn=-1

"l4k+n=l，

解得：\2,

n=-l

，直线A3的函数表达式为1,

令y=0,得ax-1=0,

解得：x=2,

：.C(2,0),

设尸(f,产-口-1),其中0</<4,

2

:点£在直线y=£x-l上，尸石〃x轴，

..r-----1-1=-x-1,

22

,\x=2t2-73

：.E⑵2-7/,1),

2

:・PE=t-(2i-7t)=-2好+8/=-2。-2)2+8,

*：PD±ABf

：.ZAOC=ZPDE^90°,

又・・,PE〃工轴，

：.ZOCA^ZPED,

：.APDE^AAOC,

•・・AO=1,OC=2,

AC=

•••△AOC的周长为3+疾,

令△POE的周长为/,则刍普=署，

：.1=3遥+5”-2(f-2)2+8]=-6遥+1°(,-2)2+24^+8,

555

.•.当/=2时，汨周长取得最大值，最大值为空后_+8.

5

此时，点P的坐标为(2,-4).

(3)如图2,满足条件的点M坐标为(2,-4),(6,12),(-2,12).

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为对称轴为直线尤=2,

①若AB是平行四边形的对角线，

当MN与43互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，

即经过A3的中点C(2,0),

:点N的横坐标为2,

...点M的横坐标为2,

.♦.点M的坐标为(2,-4),

②若是平行四边形的边，

I.当MN//AB且MN=AB时，四边形ABNM是平行四边形,

,：A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

，点加的横坐标为2-4=-2,

..,点M的坐标为(-2,12)；

II.当NM〃48且时，四边形A5MN是平行四边形,

VA(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

.••点M的横坐标为2+4=6,

...点M的坐标为(6,12)；

综上所述，点M的坐标为(2,-4)或(-2,12)或(6,12).

五、解答题：(本大题1个小题，共8分)

26.已知四边形ABC。是平行四边形，在尸中，点£、歹是动点，AE=EF,ZAEF=

90°.

（1）如图1,当点P于点8重合时，连接CE交于点G,连接AC,若A2=BC,Z

BAD=12.Q°,BE=2,求点E到BC的距离；

（2）如图2,当点尸在AB延长线上时，将△AEF绕着点A逆时针旋转得到△?!£'F',

使点P落在CO边上，点D在平行四边形ABCD的内部，过点C作CWLC。，连接

CH、DH,若AP=DH,ZAF'D=ZH,求证：2BE，+y0/=血0）；

（3）如图3,AB^BC,ZBAD=12Q°,AB=2近,点尸从B点出发沿射线BC运动，

求运动过程中J（DE+AE）2的最小值.

4

图1图2

解：（1）如图1,过点E作EKLC2于K,

•；AE=EF,ZAEF^90°,点/于点8重合，BE=2,

AB=AF=22=

VAE+BEV22+22=2V2>

:四边形ABC。是平行四边形，AB=BC,ZBAD=120°,

'.aABCD是菱形，

:.AB=BC=2近,ZBAC=^ZBAD^X120°=60°,

：.AABC是等