专题3.1 变量之间的关系【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

第=1+1页共sectionpages31页专题3.1变量之间的关系【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断常量与变量】 3【题型2根据表格确定自变量、因变量及变化规律】 5【题型3用关系式表示两个变量之间的关系】 8【题型4根据关系式求值】 10【题型5用图象法表示变量之间的关系】 11【题型6从图象中获取信息】 13【题型7利用图象解决几何图形问题】 17【题型8利用图象解决分段计费问题】 19【题型9利用图象解决行程问题】 22【题型10动点与图象】 26【知识点变量之间的关系】一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。3、求两个变量之间关系式的途径：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。四、图象1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。4、图象上的点：（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。5、图象理解（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。五、速度图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。六、路程图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。七、三种变量之间关系的表达方法与特点：表格法：多个变量可以同时出现在同一张表格中关系式法：准确地反映了因变量与自变量的数值关系图象法 直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势【题型1判断常量与变量】【例1】（2023上·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知一个长方形的面积为15cm2，它的长为acm，宽为bcm，下列说法正确的是（

）A．常量为15，变量为a，b B．常量为15，a，变量为bC．常量为15，b，变量为a D．常量为a，b，变量为15【答案】A【分析】本题考查了常量与变量，解题的关键是根据变量和常量的定义来解答．根据变量和常量的定义来选择．【详解】解：由题意得：ab=15，长方形的面积为15，始终不变为常量，长a和宽b的数值发生变化为变量，故选：A【变式1-1】（2023上·山东淄博·七年级统考期末）球的体积是M，球的半径为R，则M=43πA．变量是M，R；常量是43π B．变量是R，πC．变量是M，π：常量是3，4 D．变量是R，常量是M【答案】A【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，根据常量和变量的概念解答即可．【详解】解：M=43πR3中变量是M故选A．【变式1-2】（2023下·安徽蚌埠·七年级统考期末）小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是．

【答案】金额与数量【分析】根据常量与变量的定义即可判断．【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价6.48是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，∴变量是：金额与数量．故答案为：金额与数量．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．【变式1-3】（2023下·山东青岛·六年级统考期末）用黑、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案（如图），则第n个图案中白色地板砖的总块数N（块）与n之间的关系式是，其中常量是，变量是．【答案】N=4n+22，4N，n【分析】根据图形所呈现的规律得出白色地板砖的总块数N（块）与n之间的关系式，再确定自变量、因变量．【详解】由图①可得：N=1×6－（1－1）×2＝6；由图②可得：N=2╳6-（2-1）╳2=10；由图③可得：N=3╳6-（3-1）╳2=14；由上可得图形规律为：N=6n-2（n-1）=4n+2，常量为4，2；变量为白色地板砖的总块数N与n，故答案为：N=4n+2；4，2；白色地板砖的总块数N与n．【点睛】考查常量与变量以及图形的变化类，解题关键是发现图形所呈现的规律．【题型2根据表格确定自变量、因变量及变化规律】【例2】（2023上·广东茂名·七年级校考期中）填写下表，并观察表中两个代数式的值的变化情况．a12345678…5a+6…a…(1)随着a的值逐渐增大，两个代数式的值有什么变化？(2)估计哪个代数式的值先达到100；(3)在表左端的代数式中，哪些量是变量？哪些量是常量？【答案】(1)随着a的值逐渐增大，两个代数式的值也随着增大(2)a(3)在5a+6中，自变量为a，常量为5和6；在a2中，自变量为a【分析】本题考查了变量和常量．熟练掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量是解题的关键．（1）通过计算填表格，然后依据表格中的数值变化进行作答即可；（2）依据表格中的数值变化进行作答即可；（3）根据变量、常量的定义进行作答即可．【详解】（1）解：由题意，填表格如下：a12345678…5a+61116212631364146…a1491625364964…由表格可知，随着a的值逐渐增大，两个代数式的值也随着增大；（2）解：由表格可知，a2∴估计a2先达到100（3）解：由题意知，在5a+6中，自变量为a，常量为5和6；在a2中，自变量为a【变式2-1】（2023下·七年级单元测试）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：温度（℃）−20−100102030声速（m/s）318324330336342348下列说法中错误的是（

）A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，5s内声音可以传播1740mD．温度每升高10°C【答案】C【分析】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐项判定即可．【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A说法正确，不符合题意；∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快，∴选项B说法正确，不符合题意；由列表可知，当空气温度为20℃时，声速为342m/s，声音5s可以传播1710∴选项C说法不正确，符合题意；∵324−318=6m/s，330−324=6m/s，336−330=6m/s，342−336=6m/s，348−342=6m/s，∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s∴选项D说法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了自变量、因变量等知识点．熟练掌握自变量、因变量的定义是解题的关键．在一个变化过程种，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是因变量．【变式2-2】（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系如表：印刷数量x（张）…100200300400…收费y（元）…15304560…（1）表格体现了哪两个变量之间的关系?（2）直接写出收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系式；（3）若收费为300元，求印刷宣传单的数量．【答案】（1）上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；（2）y=0.15x；（3）花费300元时，印了2000张宣传单．【分析】（1）根据表格数据即可得到反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；（2）由表可知印刷数量每增加100张，收费增加15元，由此求解即可；（3）根据（2）可以知道y=0.15x，由此求解即可.【详解】解：（1）上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；（2）由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元．所以收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系式为y=0.15x（3）由（2）知y=0.15x，所以0.15x=300，解得x=2000所以花费300元时，印了2000张宣传单．【点睛】本题主要考查了用表格表示两个变量的关系，解题的关键在于能够准确根据表格找到对应的关系.【变式2-3】（2023下·河北沧州·七年级校考期中）声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度x(温度/°05101520声速/（m/s）331334337340343从表中可知声速y随温度x的增大而．在温度为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2s后，听到了枪声，则由此可知，这个人距离发令枪m．【答案】增大34.3【分析】从表格可以看到y随x的增大而增大；20°C时，音速为343米/秒，距离为【详解】解：从表格可以看到y随x的增大而增大，20°C时，音速为343米∴343×0.1=34.3米，∴这个人距离发令点34.3米．故答案为：增大，34.3．【点睛】本题考查变量之间的关系，能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键．【题型3用关系式表示两个变量之间的关系】【例3】（2023下·贵州毕节·七年级校联考期中）将一根长为10cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系式为．（不用写出自变量x【答案】y=−x+5/y=5−x【分析】根据长方形的周长得出关系式即可．【详解】解：由题意得：这个长方形的长y(cm)与宽x(cm即y=−x+5，故答案为：y=−x+5．【点睛】此题考查关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【变式3-1】（2023下·河南焦作·七年级统考期中）已知长方形的周长为20，设长与宽分别为x，y，则y与x的关系式为.【答案】y=10−x【分析】由题意知，2x+y【详解】解：由题意知，2x+y=20，整理得∴y与x的关系式为y=10−x，故答案为：y=10−x．【点睛】本题考查了用关系式表示变量间的关系．解题的关键在于理解题意．【变式3-2】（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）某超市“6.18”期间做促销优惠活动，凡一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按8.5折优惠．小字在此期间到该超市为单位购买单价为60元的办公用品x件x>2，则应付款y元（元）与商品件数x的关系式是．【答案】y=51x+15/y=15+51x【分析】根据题意可得y>100，所以应付货款超过100的部分按8.5折优惠，进行计算即可得到答案．【详解】解：∵x>2，∴y>100，∴y=100+0.8560x−100∴应付款y元（元）与商品件数x的关系式是：y=51x+15，故答案为：y=51x+15．【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．【变式3-3】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据图中的程序算法过程，可得y与x之间的关系式是．

【答案】y=−3x+2【分析】根据流程图的顺序列出式子，再化简即可．【详解】解：由题意可得：y=−x故答案为：y=−3x+2．【点睛】本题考查了程序框图和算法，解题的关键是根据所给顺序正确列式．【题型4根据关系式求值】【例4】（2023上·浙江·七年级专题练习）洲际弹道导弹的速度会随着时间的变化而变化，某种型号的洲际弹道导弹的速度v(km/h)与时间t(h)的关系是v=1000+50t【答案】1010【分析】直接将t=0.2代入v=1000+50t，计算即可求得该导弹的速度．【详解】解：∵导弹的速度v(km/h)与时间t(ℎ)的关系是∴当t=0.2时，v=1000+50×0.2=1010(故答案为：1010．【点睛】本题考查了根据关系式求值，把自变量的值代入关系式进行计算即可，比较简单．【变式4-1】（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）某品牌新能源汽车电池容量u（千瓦时）与使用时长t(小时)的关系可近似地用关系式u=100-8t2来表示，则当t=2时，汽车电池容量为千瓦时．【答案】68【分析】将t=2，代入关系式u=100-8t2，求值即可．【详解】解：当t=2时，u=100−8t故答案为：68．【点睛】本题考查根据关系式求值，把自变量取值代入关系式即可．【变式4-2】（2023下·七年级单元测试）农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，农村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工时间x（天）与铺设管道长度y（米）之间的关系用表格表示：时间（x/天）12345…管道长度（y/米）20406080100…则施工8天后，未铺设的管道长度为米．【答案】840【分析】先根据题意求出y=20x，进而求出x=8时，y=160，由此即可得到答案．【详解】解：观察表格数据可知：每增加1天，多铺设的管道20米，∴y=20x，当x=8时，y=160，∴未铺设的管道长度为：1000−160=840（米）．故答案为：840．【点睛】本题主要考查了根据关系式求值，正确理解题意列出y与x的关系式是解题的关键．【变式4-3】（2023下·七年级统考课时练习）刹车距离s(m)与刹车时的速度v(m/s)有如下关系：s=v210，小李以36km/ℎ的速度行驶在路上．突然发现前方8m【答案】否【分析】把v=36km/ℎ先换算单位为10m/s，再代入关系式即可求出s的值，然后与8米作比较即得答案．【详解】解：当v=36km/ℎ=10m/s时，s=10故答案为：否．【点睛】本题考查了已知自变量求因变量的值，属于基本计算题，先换算单位、再准确计算是解题关键．【题型5用图象法表示变量之间的关系】【例5】（2023下·山东青岛·七年级统考期中）在2022年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案【详解】解：足球守门员马丁内斯大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，即高度h先越来越大，再越来越小，故选：A．【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．【变式5-1】（2023下·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设开始工作的时间为t，剩下的水量为s，下面能反映s与t之间的关系的大致图像是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题目中抽水机的工作情况，判断随着开始工作的时间t的增加，剩下的水量s的变化情况即可．【详解】解：根据题意可知随着抽水机工作，剩下的水量越来越少．而且一台抽水机工作的效率比两台抽水机工作效率慢，所以两台抽水机工作时，剩下的水量减少的速度更快．故选：D．【点睛】本题考查用图像表示变量间的关系，正确理解题意是解题关键．【变式5-2】（2023下·重庆南岸·七年级校联考期中）上周上完体育课，小强从超市买来一瓶结了冰的矿泉水，还未来得及喝，就上课了，于是小强把矿泉水放在了书桌上，其水温与放置时间的关系大致图象为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同，不再上升，即可进行解答．【详解】解：根据题意：水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同，故选：B．【点睛】本题主要考查了用图象表示变量之间的关系，解题的关键是掌握水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同．【变式5-3】（2023·广西南宁·统考二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（

）

B．

C．

D．

【答案】D【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可．【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；符合上述分析过程的为：D．故选：D．【点睛】本题考查用图象表示变量之间的关系，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应图像变化.【题型6从图象中获取信息】【例6】（2023上·陕西榆林·七年级校考开学考试）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）

A．点P表示老刘出发5h，他一共骑行80km C．0~2h老刘的骑行速度为15km/h D．老刘的骑行在【答案】B【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．【详解】解：由图可知，点P所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意；∵2~3h∴老刘实际骑行时间为5−1=4h∵0~2h∴0~2h的速度为30∵3~5h骑行的路程为80−30=50∴3~5h的速度为50∵15<25，∴老刘的骑行在0~2h的速度比3~5故选：B．【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键．【变式6-1】（2023上·山东菏泽·六年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考期末）如图，一只兔子和一只小狗从同一地点出发．下面说法正确的是（）A．小狗的速度始终比兔子快B．整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同C．在前3秒内，小狗比兔子跑得快【答案】B【分析】由图可知：在前3秒内，小狗比兔子跑得慢，即可判定A、C，根据小狗与兔子同时出发，同时到达，即可判定B．【详解】解：由图可知：在前3秒内，小狗比兔子跑得慢，故A、C错误；由图可知：小狗与兔子同时出发，8分钟时都跑了8米，故整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同，故B正确，故选：B．【点睛】本题考查了利用图象解决问题，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式6-2】（2023下·七年级课时练习）如图，图象记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象，根据图中提供的信息，判断不符合图象描述的说法是(

)A．20时的温度约为-1℃B．温度是2℃的时刻是12时C．最暖和的时刻是14时D．在-3℃以下的时间约为8小时【答案】B【详解】A选项，由图可知，20时的温度接近-1℃，所以A中说法正确；B选项，由图可知，温度为2℃的时刻是14时，所以B中说法错误；C选项，由图可知，温度最高的时刻是14时，所以C中说法正确；D选项，由图可知，温度在-3℃以下的时间从0时到8时，共计约8小时，所以D中说法正确；故选B.【变式6-3】（2023下·广东佛山·七年级统考期末）甲、乙两车沿同一条路从A地出发匀速行驶至相距300km的B地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开A地的距离skm与乙出发的时间thA．甲车的速度是60km/h B．乙车的速度是C．a的值为60，b的值为4 D．甲车出发2.3h【答案】D【分析】根据图象，列出关于a，b的方程，求出a，b的值，从而即可逐一判断各个选项．【详解】解：根据图象可知，（300-a）÷b=（240-a）÷3=a÷1，解得：a=60，b=4，甲车的速度=60÷1=60km/h，乙车的速度=300÷3=100km/h，故A，B，C正确，不符合题意；∵60÷（100-60）=1.5，1.5+1=2.5h，∴甲车出发2.5h故D错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了用图像表示的变量间关系，理解图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键．【题型7利用图象解决几何图形问题】【例7】（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线AB，线段BO，OA匀速运动到A，当点P运动的时间为t时，OP的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分别判断出点P在弧线AB上时，点P在线段BO上时，点P在线段OA上时，OP的变化情况，然后可得答案．【详解】解：点P在弧线AB上时，OP的长不变；当点P在线段BO上运动时，OP的长逐渐变小；当点P在线段OA上运动时，OP的长逐渐变大；所以D选项的图象符合．故选：D．【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系，理清点P在各边时OP长度的变化情况是解题的关键．【变式7-1】（2023上·浙江宁波·七年级统考开学考试）水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可．【详解】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意；选项D中容器下细上粗，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中得到水的高度随时间上升的快慢以及各容器的结构是解答的关键．【变式7-2】（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AC边上的高长为．【答案】4【分析】根据题意，当点P从B运动到A的过程中，BP由0开始增大，到C时最大为5；当点P从C运动到A的过程中，BP的长度先减小，当BP⊥AC时达到最小，最小值为4，然后又增大，进而可求解．【详解】解：根据题意，结合图1和图2，当点P从B运动到A的过程中，BP由0开始增大，到C时，BP最大为5；当点P从C运动到A的过程中，BP的长度先减小，当BP⊥AC时达到最小，最小值为4，然后又开始增大，则AC边上的高长为4，故答案为：4．【点睛】本题考查图象的理解和应用，把图形和图象结合理解得到线段长度的变化是解答的关键．【变式7-3】（2023下·山东青岛·七年级校考期中）如图1，在某个底面积为20cm2盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是cm3/s．【答案】40【分析】由图可知：5s时，水面刚好到达实心圆柱体铁块顶端，5s后水面高度不受实心圆柱体铁块影响，用接下来6s钟内注入水的体积除以时间即可求解．【详解】解：由图可知：5s时，水面刚好到达实心圆柱体铁块顶端，5s后水面高度不受实心圆柱体铁块影响，则水流速度为(15−11)×2011−5=80故答案为：403【点睛】本题考查了图象的理解和应用，从图像上正确获取信息是解题关键．【题型8利用图象解决分段计费问题】【例8】（2023下·四川雅安·七年级校考期中）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元．(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？(2)试写出y与x之间的表达式；(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？【答案】(1)小丽家该月应交煤气费76元(2)y=(3)小丽家4月份所用煤气量为90立方米【分析】（1）根据超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，列式计算即可；（2）根据收费标准，分x≤50和x>50两种情况，分别列出代数式即可；（3）设小丽家4月份所用煤气量为a立方米，先判断a是否大于50，然后代入对应的表达式中求解即可．【详解】（1）解：由题意得：0.8×50+1.2×80−50答：小丽家该月应交煤气费76元；（2）当x≤50时，由题意得：y=0.8x；当x>50时，由题意得：y=0.8×50+1.2x−50所以y与x之间的表达式为y=0.8x（3）设小丽家4月份所用煤气量为a立方米，因为0.8×50=40（元），而88元>40元，所以小丽家4月份所用煤气量超过50立方米，由（2）得1.2a−20=88，解得a=90，答：小丽家4月份所用煤气量为90立方米．【点睛】此题考查的是有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，正确理解收费标准是解决此题的关键．【变式8-1】（2023下·陕西西安·七年级校考期末）为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：月用水量水费不超过5t每吨2.4元超过5t超过的部分按每吨4元收费(1)该市某户居民5月份用水xt（x＞5），应交水费y元，写出y与x之间的关系式．(2)如果某户居民某月交了24元水费，你能算出这个月这户居民用了多少吨水吗？【答案】(1)y=4x−8(2)用了8吨水【分析】（1）根据5t按每吨2.4元收费，x−5（2）先判断出该户居民这个月用水量超过了5吨，再求出（1）关系式中，当y=24时，x的值即可得．【详解】（1）解：由题意得：y=5×2.4+4x−5即y=4x−8x>5（2）解：因为5×2.4=12<24，所以该户居民这个月用水量超过了5吨，由（1）已得：y=4x−8x>5当y=24时，4x−8=24，解得x=8，答：这个月这户居民用了8吨水．【点睛】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、求自变量的值，理解用水收费标准，正确求出关系式是解题关键．【变式8-2】（2023下·七年级课时练习）“十一”黄金周期间，欢欢一家随旅游团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人的，超过的部分每人10元．（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）（其中x≥20）之间的关系式．（2）利用（1）中的关系式计算：若欢欢一家所在的旅游团共54人，那么该旅游团购门票共花了多少钱？【答案】（1）y=10x+300（x为整数，且x≥20）；（2）购门票共花了840元．【详解】(1)当x≥20时，y=10(x−20)+20×25=10x+300(其中x是整数)；(2)当x=54时，y=10x+300=840(元)，答：购门票共花了840元．【变式8-3】（2023·云南昭通·统考一模）我市通过“互联网+”“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．(1)若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费元；若李先生也在该停车场停车，并支付了11元停车费，则该停车场是按小时（填整数）计时收费．(2)当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的关系式．【答案】(1)7；5(2)y＝2x+1【分析】（1）根据题意可知，停车2小时10分钟，则超出1小时的部分以2小时计算；支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），故停车场按5小时计时收费；（2）根据题意即可得出停车场停车费关于停车计时x（单位：小时）的关系式．【详解】（1）解：若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2×2＝7（元）；若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），∴停车场按5小时计时收费的．故答案为：7；5；（2）当停车计时x（单位：小时）取整数且x≥1时，此时需缴停车费为y＝3+2（x﹣1）＝2x+1．答：停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的关系式为y＝2x+1．【点睛】本题考查的是分段收费的理解，有理数的混合运算的实际应用，列利用关系式表示变量间的关系.【题型9利用图象解决行程问题】【例9】（2023下·广东深圳·七年级校考期中）甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行驶的路程y(千米)与时间x(小时)之间的关系图象如图所示，若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则在返回途中二人相遇时，他们俩从B地出发过去了小时．

【答案】5【分析】首先求出甲、乙两人的上下坡的速度，上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设x小时乙追上甲．列出方程即可解决问题．【详解】解：乙上坡的速度是：6÷35=10下坡的速度是：10÷(1110−甲的速度是：16÷43=12上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设x小时乙追上甲．则有：12x=10+20(x−1)，解得：x=5故答案为：54【点睛】本题考查速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式9-1】（2023上·浙江宁波·七年级统考开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y

(1)甲、乙两地之间的距离是___________千米．(2)求慢车和快车的速度．【答案】(1)900(2)慢车速度是75km/h，快车速度是150【分析】（1）根据快慢车0h相距900（2）根据慢车12h内行驶900【详解】（1）解：由图像可得，快慢车0h相距900故答案为：900km（2）解：由图像可得，慢车总的走了12h∴慢车的速度为：90012快车速度是：(900−4×75)÷4=150km/h答：慢车速度是75km/h，快车速度是150【点睛】本题考查行程问题中的相遇问题，解题的关键是看懂图像．【变式9-2】（2023下·江西吉安·七年级统考期中）某校为了选拔百米运动员，让学生进行百米比赛，小明和小亮同时起跑，比赛情况如图所示，其中横轴表示时间ts，纵轴表示距起跑点的距离s

(1)小明和小亮的百米成绩各是多少？(2)两人的速度各是多少？(3)当小明到达终点时，小亮所跑的路程是多少？(4)小明和小亮到达终点后如果各自继续以原速度往前跑，他们能否相遇？【答案】(1)小明的百米成绩是12s，小亮的百米成绩是(2)小明的速度253m(3)小亮所跑的路程为96(4)不能相遇，理由见解析【分析】（1）根据两人到达终点时横轴对应的时间可得答案；（2）根据速度=百米距离÷时间可求解；（3）用小明到达终点的时间乘以小亮的速度求解即可；（4）根据图象向右上方延伸没有交点可得结论．【详解】（1）解：根据图象，小明百米成绩是12s，小亮百米成绩12.5（2）解：小明的速度为100÷12=253m（3）解：当小明到达终点时，用时12s，此时小亮所跑路程为8×12=96（4）解：不能相遇，因为两人原速度往前跑，且小亮比小明速度慢，两图象向右上方延伸没有交点，故不会有相同时间和相同路程，所以两人不会相遇．【点睛】本题考查图象的读图能力，理解题意，从图象上获取所需信息是解答的关键．【变式9-3】（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：

(1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒；(2)a表示的数字是____________；(3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米．【答案】(1)6，2(2)小明和妈妈相遇时距起点的距离(3)小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米【分析】（1）小明在前70秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离除以所用时间即可；（2）两图象的交点处表示两人相遇．因此，a表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离；（3）两人有可能三次相距60米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后且t≤70、70≤t≤110时，分别讨论计算即可．【详解】（1）解：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米，∴小明前70秒的速度是420÷70=6（米/秒）．妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是420−200=220（米)，∴妈妈的速度是220÷110=2（米/秒）．故答案为：6，2．（2）解：两图象的交点处表示两人相遇，∴a表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离．故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离．（3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离s1与小明出发的时间t之间的关系式为s当0≤t≤70时，设小明距起点的距离s2与小明出发的时间t之间的关系式为s①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得2t+200−6t=60，解得t=35；②在第一次相遇后且t≤70，当两人第二次相距60米时，得6t−(2t+200)=60，解得t=65．③当70≤t≤110时，两人第三次相距60米时，得420−(2t+200)=60，解得t=80．综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米．【点睛】本题考查用关系式表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系、一元一次方程的应用，从图象上获取有用的信息是解答本题的关键．【题型10动点与图象】【例10】（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=AD=15cm，BC=20cm．动点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿CB方向匀速运动，当点P运动到点A时，P，Q两点同时停止运动，连接AC

(1)当t为何值时，BP=BQ？(2)设三角形APC的面积为Scm2，求S与(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S三角形APC:【答案】(1)10(2)S=−10t+150(3)存在，t=【分析】（1）由题意可得BP=tcm，BQ=20−tcm，由BP=BQ（2）由BP=tcm，AB=15cm得到AP=AB−BP=15−tcm，又由（3）假设存在2S三角形APC=S【详解】（1）解：由题意可得BP=tcm，BQ=由BP=BQ得到t=20−t．解得t=10．∴当t=10时，BP=BQ；（2）∵BP=tcm，AB=15∴AP=AB−BP=15−t∵BC=20cm，∠B=90°∴S=1∴S与t之间的关系式为S=−10t+150；（3）假设存在2S则2−10t+150解得t=15∴存在，当t=154时，使【变式10-1】（2023下·河北沧州·