2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型9 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）（教师版）

PAGE类型九二次函数与菱形有关的问题（专题训练）1．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的解析式；(2)设点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上方抛物线上一点，求出SKIPIF1<0的最大面积及此时点SKIPIF1<0的坐标；(3)若点SKIPIF1<0是抛物线对称轴上一动点，点SKIPIF1<0为坐标平面内一点，是否存在以SKIPIF1<0为边，点SKIPIF1<0为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的最大面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，见解析【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，过点P作SKIPIF1<0轴于点D，交SKIPIF1<0于点E，得出SKIPIF1<0，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若SKIPIF1<0为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．【详解】（1）解：将点SKIPIF1<0代入解析式得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将点B、C代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，过点P作SKIPIF1<0轴于点D，交SKIPIF1<0于点E，如图所示：

∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（3）存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明如下：∵SKIPIF1<0，∵抛物线的解析式为SKIPIF1<0，∴对称轴为：SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为菱形的边长，菱形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0为菱形的边长，菱形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数SKIPIF1<0的图象交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，对称轴是直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上一动点，SKIPIF1<0轴，交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交抛物线于点SKIPIF1<0．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动（点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0不重合），求四边形SKIPIF1<0面积的最大值，并求出此时点SKIPIF1<0的坐标．(3)若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上运动，则在SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0，使以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0代入二次函数解析式中进行求解即可；（2）先求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；再由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0，此时点P的坐标为SKIPIF1<0；（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，SKIPIF1<0为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数SKIPIF1<0的对称轴为直线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵二次函数经过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴二次函数解析式为SKIPIF1<0；（2）解：∵二次函数经过点SKIPIF1<0，且对称轴为直线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵二次函数SKIPIF1<0与y轴交于点C，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0，∴此时点P的坐标为SKIPIF1<0；（3）解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0轴，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当SKIPIF1<0为对角线时，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0轴，即SKIPIF1<0轴，∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，∴点N的坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如图3-2所示，当SKIPIF1<0为边时，则SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如图3-3所示，当SKIPIF1<0为边时，则SKIPIF1<0，

同理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如图3-4所示，当SKIPIF1<0为边时，则SKIPIF1<0，

同理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0（舍去）；如图3-5所示，当SKIPIF1<0为对角线时，

∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0轴，这与题意相矛盾，∴此种情形不存在如图3-6所示，当SKIPIF1<0为对角线时，设SKIPIF1<0交于S，

∵SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，这与三角形内角和为180度矛盾，∴此种情况不存在；综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点SKIPIF1<0中恰有三个点在二次函数SKIPIF1<0（a为常数，且SKIPIF1<0）的图象上．①SKIPIF1<0________；②如图1，已知菱形SKIPIF1<0的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且SKIPIF1<0轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形SKIPIF1<0的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究SKIPIF1<0是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形SKIPIF1<0的顶点B、D在二次函数SKIPIF1<0（a为常数，且SKIPIF1<0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．【答案】(1)①1；②SKIPIF1<0；③是，值为1；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0不在二次函数图象上，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0值即可；②由①知，二次函数解析式为SKIPIF1<0，设菱形的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由菱形的性质得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由正方形的性质可知，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，计算求解即可1；（2）由题意知，分①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，三种情况求解；①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，SKIPIF1<0，同理（1）③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，求解过程同（2）①；③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴时，同理可求SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，由正方形、二次函数的性质可得，SKIPIF1<0．【详解】（1）①解：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0不在二次函数图象上，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：1；②解：由①知，二次函数解析式为SKIPIF1<0，设菱形的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由菱形的性质得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，∴菱形的边长为SKIPIF1<0；③解：如图2，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，

由正方形的性质可知，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是定值，值为1；（2）解：由题意知，分①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，三种情况求解；①当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，∵SKIPIF1<0，同理（1）③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧时，同理可求SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴时，同理可求SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧时，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，由正方形、二次函数的性质可得，SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的右侧），点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一动点，设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的解析式．(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，与拋物线交于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．(3)抛物线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为平面直角坐标系上一点，若以SKIPIF1<0为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点SKIPIF1<0的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0点为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点SKIPIF1<0的横坐标，表示出SKIPIF1<0的长，根据二次函数的性质求得SKIPIF1<0的最大值，根据SKIPIF1<0即可求解；（3）根据题意，分别求得SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0，②当SKIPIF1<0为边时，分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为：SKIPIF1<0；（2）解：∵抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的右侧）联立SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一动点，设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0最大，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面积的最大值SKIPIF1<0；（3）∵抛物线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的中点重合，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，②当SKIPIF1<0为边时，当四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的中点重合，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时；如图所示，即四边形SKIPIF1<0是菱形，

点SKIPIF1<0的坐标即为四边形SKIPIF1<0为菱形时，SKIPIF1<0的坐标，∴SKIPIF1<0点为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0点为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键．5.（2022·湖南湘潭）已知抛物线SKIPIF1<0．(1)如图①，若抛物线图象与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交点SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点SKIPIF1<0是抛物线上一动点（与点SKIPIF1<0不重合），过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，与线段SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．是否存在点SKIPIF1<0使得点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点？若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，同时与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，以线段SKIPIF1<0为边作菱形SKIPIF1<0，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0轴的正半轴上，若该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)①SKIPIF1<0，②存在，点P坐标为(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0），理由见解析(2)b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．(1)①解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②解：存在，理由如下，设直线AB的解析式为y=kx+b，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线AB的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：m=2或m=SKIPIF1<0或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=SKIPIF1<0∴点P坐标为(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0）(2)解：把点D（-3，0）代入直线SKIPIF1<0，解得n=4，∴直线SKIPIF1<0，当x=0时，y=4，即点C（0，4）∴CD=SKIPIF1<0=5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴点E（5，4）∵点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴SKIPIF1<0，∵该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，分情况讨论当CE在抛物线内时52+5b+3b-9<4解得：b<SKIPIF1<0当CE在抛物线右侧时，3b-9>4解得：b>SKIPIF1<0综上所述，b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．6．（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数SKIPIF1<0的图象与x轴相交于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，与y轴交于点C．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）点SKIPIF1<0为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线SKIPIF1<0于点Q．①当SKIPIF1<0时，求当P点到直线SKIPIF1<0的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点SKIPIF1<0为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．【答案】（1）b=SKIPIF1<0，c=SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0；②不存在，理由见解析【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴b=SKIPIF1<0，c=SKIPIF1<0；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2SKIPIF1<0，设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），∵0<m<3，∴PQ=m-(m2-2m-3)=-m2+3m+3=-SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，∵-1<0，∴当SKIPIF1<0时，PQ有最大值，最大值为SKIPIF1<0；②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），∵PQ∥OC，当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，当点Q在点P上方时，∴PQ=SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，点P与点O重合，菱形不存在，当SKIPIF1<0时，点P与点B重合，此时BC=SKIPIF1<0，菱形也不存在；当点Q在点P下方时，若点Q在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1SKIPIF1<0OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．7.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形SKIPIF1<0为正方形，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且与直线SKIPIF1<0交于另一点SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）SKIPIF1<0为抛物线对称轴上一点，SKIPIF1<0为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是以SKIPIF1<0为边的菱形．若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由；（3）SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一点，过点SKIPIF1<0作抛物线对称轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．探究SKIPIF1<0是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是以SKIPIF1<0为边的菱形，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0存在最小值，最小值为SKIPIF1<0，此时点M的坐标为SKIPIF1<0．【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后把点B、D代入求解即可；（2）设点SKIPIF1<0，当以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是以SKIPIF1<0为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当SKIPIF1<0时，②当SKIPIF1<0时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0的值为最小，即SKIPIF1<0为最小，则有当点D、M、O三点共线时，SKIPIF1<0的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴OB=1，∴SKIPIF1<0，把点B、D坐标代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，抛物线解析式为SKIPIF1<0，则有抛物线的对称轴为直线SKIPIF1<0，∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，∴SKIPIF1<0，∴由两点距离公式可得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，当以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是以SKIPIF1<0为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当SKIPIF1<0时，如图所示：∴由两点距离公式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴点F的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，如图所示：∴由两点距离公式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴点F的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；综上所述：当以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是以SKIPIF1<0为边的菱形，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，DM=EM，∵过点SKIPIF1<0作抛物线对称轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形BOMP是平行四边形，∴OM=BP，∴SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0的值为最小，即SKIPIF1<0为最小，∴当点D、M、O三点共线时，SKIPIF1<0的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，设线段OD的解析式为SKIPIF1<0，代入点D的坐标得：SKIPIF1<0，∴线段OD的解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．8.（2021·山西中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧），与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的坐标并直接写出直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的函数表达式；（2）点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0下方抛物线上的一个动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线SKIPIF1<0，交线段SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．①试探究：在直线SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0的长．【答案】（1）点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的函数表达式为：SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0的函数表达式为：SKIPIF1<0；（2）①存在，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【分析】（1）分别令SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时即可求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的坐标，然后再进行求解直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的函数表达式即可；（2）①设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由题意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是菱形，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线SKIPIF1<0，由（1）可得直线SKIPIF1<0的函数表达式为：SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0的函数表达式为：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，然后可求得直线l的解析式为SKIPIF1<0，则可求得点SKIPIF1<0，所以就有SKIPIF1<0，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解．【详解】解：（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的函数表达式为SKIPIF1<0，代入点A、C的坐标得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的函数表达式为：SKIPIF1<0．同理可得直线SKIPIF1<0的函数表达式为：SKIPIF1<0；（2）①存在．设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是菱形，如图所示：∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为S