2024年中考数学二轮题型突破练习题型11 综合探究题 类型4 与旋转有关的探究题（专题训练）（教师版）

PAGE类型四与旋转有关的探究题（专题训练）1．（2023·北京·统考中考真题）在SKIPIF1<0中、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点M，D是线段SKIPIF1<0上的动点（不与点M，C重合），将线段SKIPIF1<0绕点D顺时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0．

(1)如图1，当点E在线段SKIPIF1<0上时，求证：D是SKIPIF1<0的中点；(2)如图2，若在线段SKIPIF1<0上存在点F（不与点B，M重合）满足SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用三角形外角的性质求出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，等量代换得到SKIPIF1<0即可；（2）延长SKIPIF1<0到H使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，然后求出SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根据等腰三角形三线合一证明SKIPIF1<0即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即D是SKIPIF1<0的中点；（2）SKIPIF1<0；证明：如图2，延长SKIPIF1<0到H使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由旋转的性质得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．2.(2022·重庆市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．

(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；

(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求证：AM+AF=2AE；

(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B'EH，连接B'G，直接写出线段【答案】(1)解：如图1，连接CP，

由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°，

∴△FCG为等腰直角三角形，

∵点P是FG的中点，

∴CP⊥FG，

∵点D是BC的中点，

∴DP=12BC，

在Rt△ABC中，AB=AC=22，

∴BC=2AB=4，

∴DP=2；

(2)证明：如图2，

过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，

∴∠AEH=90°，

由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°，

∴∠FEG=∠AEH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，

∴∠H=90°−∠CAD=45°=∠CAD，

∴AE=HE，

∴△EGA≌△EFH(SAS)，

∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，

∴∠EAG=∠BAD=45°，

∵∠AMF=180°−∠BAD−∠AFM=135°−∠AFM，

∵∠AFM=∠EFH，

∴∠AMF=135°−∠EFH，

∵∠HEF=180°−∠EFH−∠H=135°−∠EFH，

∴∠AMF=∠HEF，

∵△EGA≌△EFH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵∠AGN=∠AEG，

∴∠AGN=∠HEF，

∴∠AGN=∠AMF，

∵GN=MF，

∴△AGN≌△AMF(AAS)，

∴AG=AM，

∵AG=FH，

∴AM=FH，

∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；

(3)解：∵点E是AC的中点，

∴AE=12AC=2，

根据勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，

由折叠直，BE=B'E=10，

∴点B'是以点E为圆心，10为半径的圆上，

由旋转知，EF=EG，

∴点G是以点E为圆心，EG为半径的圆上，

∴B'G的最小值为B'E−EG，

要B'G最小，则EG最大，即EF最大，

∵3.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是斜边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．

(1)将SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0旋转一周，请直接写出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距离的最大值和最小值；(2)将SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0（如图SKIPIF1<0），求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出SKIPIF1<0的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，根据旋转的性质求得SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，勾股定理解SKIPIF1<0，即可求解．【详解】（1）解：依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时，SKIPIF1<0的距离最大，最大值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0的距离最小，最小值为SKIPIF1<0；

（2）解：如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．4.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

（1）证明：SKIPIF1<0；（2）如图2，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．①证明：在点SKIPIF1<0的运动过程中，总有SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的长度为多少时，SKIPIF1<0为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当SKIPIF1<0的长度为2或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；（2）①由SKIPIF1<0，得AH=AG，再证明SKIPIF1<0，进而即可得到结论；②SKIPIF1<0为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）∵线段SKIPIF1<0绕点A逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴SKIPIF1<0；（2）①∵在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，AB=AC，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，∴AE=AF，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴SKIPIF1<0，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：SKIPIF1<0；②∵SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，SKIPIF1<0为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴点H是EF的中点，∴EH=SKIPIF1<0；（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，综上所述：当SKIPIF1<0的长度为2或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．5．（2023·辽宁·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上（不与点SKIPIF1<0重合），连接SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0，得到线段SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)如图，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，请直接写出线段SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0的数量关系；(2)如图，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，求证：SKIPIF1<0；(3)连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）可先证SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，根据锐角三角函数，可得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的数量关系，进而得到线段SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0的数量关系．（2）可先证SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，问题即可得证．（3）分两种情况：①点D在线段SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，利用勾股定理，可用含SKIPIF1<0的代数式表示SKIPIF1<0，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段SKIPIF1<0的延长线上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0，进一步证得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，利用勾股定理，可用含SKIPIF1<0的代数式表示SKIPIF1<0，根据三角形面积公式，即可得到答案【详解】（1）解：SKIPIF1<0．理由如下：如图，连接SKIPIF1<0．根据图形旋转的性质可知SKIPIF1<0．由题意可知，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0为等腰直角三角形SKIPIF1<0斜边SKIPIF1<0上的中线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（2）解：SKIPIF1<0为等腰直角三角形SKIPIF1<0斜边SKIPIF1<0上的中线，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（3）解：当点D在线段SKIPIF1<0延长线上时，不满足条件SKIPIF1<0，故分两种情况：①点D在线段SKIPIF1<0上，如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0；过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．根据题意可知，四边形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0为等腰直角三角形．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（2）证明可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．根据勾股定理可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0之比SKIPIF1<0②点D在线段SKIPIF1<0的延长线上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,由题意知，四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是矩形，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0而SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0之比SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．6.（2021·四川中考真题）在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一点（不与点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合），连结SKIPIF1<0．（1）如图1，若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为点SKIPIF1<0，结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________；（2）若SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．①在图2中补全图形；②探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并证明；（3）如图3，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，试探究SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间满足的数量关系，并证明．【答案】（1）30°；（2）①见解析；②SKIPIF1<0；见解析；（3）SKIPIF1<0，见解析【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0（3）先证明SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，从而证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，从而证明SKIPIF1<0【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴△ABC是等边三角形∴∠B=60°∵点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为点SKIPIF1<0∴AB⊥DE，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；（2）①补全图如图2所示；②SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系为：SKIPIF1<0；证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0为正三角形，又∵SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）连接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点7．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第SKIPIF1<0页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0的位置，那么可以得到：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（

）”处应填理由：____________________；（2）如图，小王将一个半径为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0的扇形纸板SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0到达扇形纸板SKIPIF1<0的位置．

①请在图中作出点SKIPIF1<0；②如果SKIPIF1<0，则在旋转过程中，点SKIPIF1<0经过的路径长为__________；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等（2）①见解析；②SKIPIF1<0问题拓展：SKIPIF1<0【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①分别作SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可；问题拓展，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由旋转得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长，可以求出SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，即可求出最后结果．【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等

（2）①下图中，点O为所求

②连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0扇形纸板SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0到达扇形纸板SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在旋转过程中，点SKIPIF1<0经过的路径长为以点SKIPIF1<0为圆心，圆心角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为半径的所对应的弧长，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0经过的路径长SKIPIF1<0；

【问题拓展】解：连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如图所示

SKIPIF1<0．由旋转得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，

在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．8.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，得到矩形SKIPIF1<0[探究1]如图1，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0延长线上．若SKIPIF1<0，求BC的长．

[探究2]如图2，连结SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如图3），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在一定的数量关系，并加以证明．

【答案】[探究1]SKIPIF1<0；[探究2]SKIPIF1<0，证明见解析；[探究3]SKIPIF1<0，证明见解析【分析】[探究1]设SKIPIF1<0，根据旋转和矩形的性质得出SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0，得出比例式SKIPIF1<0，列出方程解方程即可；[探究2]先利用SAS得出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再结合已知条件得出SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0；[探究3]连结SKIPIF1<0，先利用SSS得出SKIPIF1<0，从而证得SKIPIF1<0，再利用两角对应相等得出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0即可得出结论．【详解】[探究1]如图1，设SKIPIF1<0．∵矩形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到矩形SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一直线上．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延长线上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不合题意，舍去）∴SKIPIF1<0．[探究2]SKIPIF1<0．证明：如图2，连结SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．[探究3]关系式为SKIPIF1<0．证明：如图3，连结SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．9．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形SKIPIF1<0中（顶点SKIPIF1<0按逆时针方向排列），SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0．

(1)如图1，求SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0的长．(2)SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一动点，点SKIPIF1<0同时绕点SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0．①如图2，当点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的长．②当SKIPIF1<0是直角三角形时，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)8(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）①先证明SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：SKIPIF1<0为直角顶点；第二种：SKIPIF1<0为直角顶点；第三种，SKIPIF1<0为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（2）①如图1，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．由旋转知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②由旋转得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．情况一：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，如图2．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0落在线段SKIPIF1<0延长线上．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情况二：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，如图3．

设SKIPIF1<0与射线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情况三：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的延长线上，不符合题意．综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．10.（2021·浙江中考真题）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是锐角，E是SKIPIF1<0边上的动点，将射线SKIPIF1<0绕点A按逆时针方向旋转，交直线SKIPIF1<0于点F．（1）当SKIPIF1<0时，①求证：SKIPIF1<0；②连结SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，延长SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点M，延长SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点N，连结SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0是等腰三角形．【答案】（1）①见解析；②SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0或2或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是等腰三角形．【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到AC是EF的垂直平分线，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据已知条件证明出SKIPIF1<0，算出面积之比；（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得到CE=SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得到CE=2；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得到CE=SKIPIF1<0．【详解】（1）①证明：在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（ASA），∴SKIPIF1<0．②解：如图1，连结SKIPIF1<0．由①知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

（2）解：在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是等腰三角形有三种情况：①如图2，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②如图3，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．③如图4，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上所述，当SKIPIF1<0或2或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．11.（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转，使点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0．当点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动时（点SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），判断SKIPIF1<0的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，已知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出SKIPIF1<0，即可证得结论；（2）由旋转的性质得SKIPIF1<0，从而利用等腰三角形的性质推出SKIPIF1<0，再结合正方形对角线的性质推出SKIPIF1<0，即可证得结论；（3）结合已知信息推出SKIPIF1<0，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．【详解】（1）证：∵四边形SKIPIF1<0为正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0为等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形；（3）解：如图所示，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不合题意，舍去），∴SKIPIF1<0．

【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键．12.在等腰△ABC中，AC＝BC，SKIPIF1<0是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝SKIPIF1<0∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的