2024年中考数学二轮题型突破练习题型11 综合探究题 类型3 与折叠有关的探究题（专题训练）（教师版）

PAGE类型三与折叠有关的探究题（专题训练）1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线．如图2，将SKIPIF1<0的两个顶点B，C分别沿SKIPIF1<0折叠后均与点D重合，折痕分别交SKIPIF1<0于点E，G，F，H．

猜想证明：(1)如图2，试判断四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿SKIPIF1<0折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交SKIPIF1<0于点M，N，SKIPIF1<0的对应线段交SKIPIF1<0于点K，求四边形SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)四边形SKIPIF1<0是菱形，理由见解析(2)30【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到SKIPIF1<0，即可得出结论．（2）先证明四边形SKIPIF1<0为平行四边形，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，等积法得到SKIPIF1<0的积，推出四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，即可得解．【详解】（1）解：四边形SKIPIF1<0是菱形，理由如下：∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，∴SKIPIF1<0，∵将SKIPIF1<0的两个顶点B，C分别沿SKIPIF1<0折叠后均与点D重合，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同法可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是菱形；（2）解：∵折叠，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∵SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．2.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作SKIPIF1<0等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，得到折痕SKIPIF1<0，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，并使折痕经过点SKIPIF1<0，得到折痕SKIPIF1<0，同时得到线段SKIPIF1<0（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图13-3所示，试判定SKIPIF1<0的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0满足什么关系时，才能在矩形纸片SKIPIF1<0中剪出符（1）中的等边三角形SKIPIF1<0？【答案】(1)SKIPIF1<0是等边三角形，理由见解析；（2）SKIPIF1<0，理由见解析【分析】（1）连接SKIPIF1<0，由折叠性质可得SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后可得到SKIPIF1<0，即可判定SKIPIF1<0是等边三角形．（2）由折叠可知SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的三角函数即可求得．【详解】（1）解：SKIPIF1<0是等边三角形，证明如下：连接SKIPIF1<0．由折叠可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形．（2）解：方法一：要在矩形纸片SKIPIF1<0上剪出等边SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或（SKIPIF1<0）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边SKIPIF1<0．方法二：要在矩形纸片SKIPIF1<0上剪出等边SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键．3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点，将SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0．”小红：“若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，给出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长，就可求出SKIPIF1<0的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到．（1）如图1，当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成SKIPIF1<0的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0；问题2：SKIPIF1<0【分析】（1）根据等边对等角可得SKIPIF1<0，根据折叠以及三角形内角和定理，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据邻补角互补可得SKIPIF1<0，即可得证；（2）连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，勾股定理求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0即可求解；问题2：连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据已知条件可得SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是矩形，勾股定理求得SKIPIF1<0，根据三线合一得出SKIPIF1<0，根据勾股定理求得SKIPIF1<0的长，即可求解．【详解】（1）∵等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如图所示，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵折叠，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；问题2：如图所示，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是矩形，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4.（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试猜想SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点）所在直线折叠，如图②，点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将SKIPIF1<0沿过点SKIPIF1<0的直线折叠，如图③，点A的对应点为SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，折痕交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．该小组提出一个问题：若此SKIPIF1<0的面积为20，边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求图中阴影部分（四边形SKIPIF1<0）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】（1）SKIPIF1<0；见解析；（2）SKIPIF1<0，见解析；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）如图，分别延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点P，根据平行四边形的性质可得SKIPIF1<0，根据平行线的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得SKIPIF1<0，根据直角三角形斜边中线的性质可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0；（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=SKIPIF1<0，可得AG=BG；（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据SKIPIF1<0可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【详解】（1）SKIPIF1<0．如图，分别延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点P，∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，在△PDF和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△PDF≌△BCF，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．∵将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0所在直线折叠，点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，∴∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴∠FDC′=∠FC′D，∵SKIPIF1<0=∠FDC′+∠FC′D，∴SKIPIF1<0，∴∠FC′D=∠C′FB，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，DC=AB，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，∵SKIPIF1<0的面积为20，边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴BH=50÷5=4，∴CH=SKIPIF1<0，A′H=A′B-BH=1，∵将SKIPIF1<0沿过点SKIPIF1<0的直线折叠，点A的对应点为SKIPIF1<0，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，AB//CD，∴SKIPIF1<0，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：NH=2，∵SKIPIF1<0，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：MQ=SKIPIF1<0，∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=SKIPIF1<0A′B·MQ-SKIPIF1<0A′H·NH=SKIPIF1<0×5×SKIPIF1<0-SKIPIF1<0×1×2=SKIPIF1<0．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．5．（2023·广西·统考中考真题）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片SKIPIF1<0对折，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，展平纸片，得到折痕SKIPIF1<0；折叠纸片，使点B落在SKIPIF1<0上，并使折痕经过点A，得到折痕SKIPIF1<0，点B，E的对应点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，展平纸片，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

请完成：(1)观察图1中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的一点，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕SKIPIF1<0；折叠纸片，使点B，P分别落在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，展平纸片，连接，SKIPIF1<0．

请完成：(3)证明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条三等分线．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据题意可进行求解；（2）由折叠的性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0是等边三角形，进而问题可求证；（3）连接SKIPIF1<0，根据等腰三角形性质证明SKIPIF1<0，根据平行线的性质证明SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0．【详解】（1）解：由题意可知SKIPIF1<0；（2）证明：由折叠的性质可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）证明：连接SKIPIF1<0，如图所示：由折叠的性质可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵折痕SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条三等分线．【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，SKIPIF1<0是解题的关键．6.(2022·重庆市A卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；

(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN.在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ.在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出PQBC的值．

【答案】解：(1)如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，

在△BCE和△CBK中，

BC=CB∠BCK=∠CBEBE=CK，

∴△BCE≌△CBK(SAS)，

∴BK=CE，∠BEC=∠BKD，

∵CE=BD，

∴BD=BK，

∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，

∵∠BEC+∠AEF=180°，

∴∠ADF+∠AEF=180°，

∴∠A+∠EFD=180°，

∵∠A=60°，

∴∠EFD=120°，

∴∠CFE=180°−120°=60°；

(2)结论：BF+CF=2CN．

理由：如图2中，∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°，

∵AE=BD，

∴△ABE≌△BCD(SAS)，

∴∠BCF=∠ABE，

∴∠FBC+∠BCF=60°，

∴∠BFC=120°，

如图2−1中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ，

∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ，

∴△CNM≌△QNF(SAS)，

∴FQ=CM=BC，

延长CF到P，使得PF=BF，则△PBF是等边三角形，

∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，

∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，

∵PB=PF，

∴△PFQ≌△PBC(SAS)，

∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，

∴△PCQ是等边三角形，

∴BF+CF=PC=QC=2CN．

(3)由(2)可知∠BFC=120°，

∴点F的运动轨迹为红色圆弧(如图3−1中)，

∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，

此时tan∠APK=AOAP=23，

∴∠HPK>45°，

∵QK⊥PF，

∴∠PKH=∠QKH=45°，

如图3−2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，

7.(2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．

(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．

【答案】(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，

∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，

∴∠BFG=90°=∠C，

∵AB=BC=BF，BG=BG，

∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；

(2)解：延长BH，AD交于Q，如图：

设FH=HC=x，

在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，

∴82+x2=(6+x)2，

解得x=73，

∴DH=DC−HC=113，

∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，

∴△BFG∽△BCH，

∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，

∴BG=254，FG=74，

∵EQ//GB，DQ//CB，

∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，

∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736−73，

∴DQ=887，

设AE=EF=m，则DE=8−m，

∴EQ=DE+DQ=8−m+887=1447−m，

∵△EFQ∽△GFB，

∴EQBG=EFFG，即1447−m254=m74，

解得m=92，

∴AE的长为92；

(3)解：(Ⅰ)当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：

设DQ=x，QE=y，则AQ=6−x，

∵CP//DQ，

∴△CPE∽△QDE，

∴CPDQ=CEDE=2，

8.(2021·湖北省荆州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．

(1)如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH．

①求证：△CDG∽△GAH；

②求tan∠GHC．

(2)如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．

【答案】(1)如图1，

①证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠GAH=90°，

∴∠DCG+∠DGC=90°，

∵∠FGC=90°，

∴∠AGH+∠DGC=90°，

∴∠DCG=∠AGH，

∴△CDG∽△GAH．

②由翻折得∠EGF=∠EAF，

∴∠AGH=∠DAC=∠DCG，

∵CD=AB=2，AD=4，

∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，

∴DG=12CD=12×2=1，

∴GA=4−1=3，

∵△CDG∽△GAH，

∴CGGH=CDGA，

∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．

(2)不全等，理由如下：

∵AD=49.(2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．

(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；

(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；

(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC【答案】解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，

∵BC=2AB，

∴BF=2AB，

∴∠AFB=30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠AFB=∠CBF=30°，

∴∠CBE=12∠FBC=15°；

(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，

又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠AFB=∠DEF，

∴△FAB∽△EDF，

∴AFDE=ABDF，

∴AF⋅DF=AB⋅DE，

∵AF⋅DF=10，AB=5，

∴DE=2，

∴CE=DC−DE=5−2=3，

∴EF=3，

∴DF=EF2−DE2=32−22=5，

∴AF=105=25，

∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．

(3)过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF=AN+FD，

∴NF=12AD=12BC10.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

(1)求证：△ABF∽△FCE；

(2)若AB=23，AD=4，求EC的长；

(3)若AE−DE=2EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

由翻折可知，∠D=∠AFE=90°，

∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠CEF=90°，

∴∠AFB=∠FEC，

∴△ABF∽△FCE．

(2)设EC=x，

由翻折可知，AD=AF=4，

∴BF=AF2−AB2=16−12=2，

∴CF=BC−BF=2，

∵△ABF∽△FCE，

∴ABCF=BFEC，

∴232=2x，

∴x=233，

∴EC=233．

(3)∵△ABF∽△FCE，

∴AFEF=ABCF，

∴tanα+tanβ=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=11.已知：在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一个动点，将矩形SKIPIF1<0折叠，使点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处，折痕为SKIPIF1<0．（1）如图1，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，则线段SKIPIF1<0_______________，SKIPIF1<0_____________；（2）如图2，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均不重合时，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接并延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形：②当SKIPIF1<0时，求四边形SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）2，4；（2）①见解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）过点F作FH⊥AB，由翻折的性质可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根据平行线的性质和等量代换可得∠CFE＝∠FEC，由等角对等边可得：CF＝CE，设AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；（2）①根据折叠的性质可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，根据已知条件可得SKIPIF1<0，从而易证SKIPIF1<0，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；②连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又由①知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，继而易证∠MAD＝PAB，接根据三角函数求得PB，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解．【详解】解：（1）SKIPIF1<02，SKIPIF1<04；过点F作FH⊥AB，∵折叠后点A、P、C重合∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∵CD∥AB∴∠CFE＝∠FEA，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE＝AE，设AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：x＝4，即AE＝CE＝CF＝4∴BE＝2、DF＝2，∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°∴四边形DAHF是矩形，∴FH＝SKIPIF1<0、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2在Rt△EFH中，由勾股定理可得:SKIPIF1<0＝4（2）①证明：如图2，∵在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由折叠（轴对称）性质，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形：②如图2，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又由①知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，若设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．12.（2021·湖南中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为斜边SKIPIF1<0上一动点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折叠，使得点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如图①，若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．（2）如图②，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．（3）如图③，若SKIPIF1<0，是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．若存在，求此时SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）存在，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）先根据平行线的判定与性质可得SKIPIF1<0，再根据折叠的性质可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，然后根据平行线的判定可得SKIPIF1<0，最后根据菱形的判定与性质即可得证；（2）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，先证出SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，根据线段的和差可得SKIPIF1<0，代入可求出SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0中，解直角三角形可得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，根据余弦三角函数的定义即可得；（3）如图（见解析），设SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，分①点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的左侧；②点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的右侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折叠的性质得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0；（2）如图，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折叠的性质得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由折叠的性质得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意，分以下两种情况：①如图，当点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的左侧时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0（等腰三角形的三线合一），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②如图，当点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的右侧时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，由折叠的性质得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上，存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．13.（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：SKIPIF1<0．（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段DE的长．（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值（用含k的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根据ASA证明SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，由折叠得SKIPIF1<0，进一步证明SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得SKIPIF1<0，代入相关数据求解即可．【详解】（1）如图，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0折叠得到，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0四边形ABCD是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）如图，连接SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折叠得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）．（3）如图，连结HE，由已知SKIPIF1<0可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可令SKIPIF1<0，①当点H在D点左边时，如图，同（2）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折叠得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）．SKIPIF1<0②当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点右边时，如图，同理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）．SKIPIF1<0【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14.（2021·湖北中考真题）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合的一点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0．（1）如图1，若点SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，SKIPI