2024年中考数学二轮题型突破练习题型11 综合探究题 类型2 与动点有关的探究题（专题训练）（教师版）

PAGE类型二与动点有关的探究题（专题训练）1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形SKIPIF1<0中（顶点SKIPIF1<0按逆时针方向排列），SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0．

(1)如图1，求SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0的长．(2)SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一动点，点SKIPIF1<0同时绕点SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0．①如图2，当点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的长．②当SKIPIF1<0是直角三角形时，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)8(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）①先证明SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：SKIPIF1<0为直角顶点；第二种：SKIPIF1<0为直角顶点；第三种，SKIPIF1<0为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（2）①如图1，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．由旋转知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②由旋转得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．情况一：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，如图2．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0落在线段SKIPIF1<0延长线上．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情况二：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，如图3．

设SKIPIF1<0与射线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情况三：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的延长线上，不符合题意．综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．2.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图1，求SKIPIF1<0的长；（2）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，M是高SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形SKIPIF1<0的边长为3，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形SKIPIF1<0，其中点F、G都在直线SKIPIF1<0上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0即可；（2）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，可证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在A处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．可得点SKIPIF1<0运动的路径的长SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，可证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．可求点SKIPIF1<0所经过的路径的长SKIPIF1<0；（4）连接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的SKIPIF1<0上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即，可求SKIPIF1<0，点G所经过的路径长为SKIPIF1<0长=SKIPIF1<0，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0．【详解】解:（1）∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在A处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．∴点SKIPIF1<0运动的路径的长SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，∴点SKIPIF1<0所经过的路径的长SKIPIF1<0；（4）连接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的SKIPIF1<0上运动，∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，∴∠COB=90°，设OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，点G所经过的路径长为SKIPIF1<0长=SKIPIF1<0，点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧SKIPIF1<0上运动，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长度，∵点G运动圆周的四分之一，∴点H也运动圆周的四分一，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长=SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．3．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知SKIPIF1<0是等边三角形，点SKIPIF1<0是射线SKIPIF1<0上的一个动点，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)如图1，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，猜测线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上时，①线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0，理由见解析(2)①成立，理由见解析②SKIPIF1<0【分析】（1）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得出结论．（2）①过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得出结论；②过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据已知条件推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的长，利用四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0进行求解即可．【详解】（1）解：SKIPIF1<0，理由如下：∵SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）①成立，理由如下：∵SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，

由①知：SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0②，联立①②可得：SKIPIF1<0（负值已舍去），经检验SKIPIF1<0是原方程的根，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形．4.（2021·浙江中考真题）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上的一点，连结SKIPIF1<0．（1）如图1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，如图2所示．若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（3）如图3，若SKIPIF1<0，是否存在实数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0？若存在，请直接写出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）见解析；（3）存在，SKIPIF1<0【分析】（1）先解直角三角形ABC得出SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0是等边三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的长，进而得出BC的长；（2）连结SKIPIF1<0，先利用AAS证出SKIPIF1<0，得出AE=2PE，AC=DE，再得出SKIPIF1<0是等边三角形，然后由SAS得出SKIPIF1<0，得出AE=BC即可得出结论；（3）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再证明SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．【详解】（1）解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）证明：连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）存在这样的SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，∵SKIPIF1<0，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，SKIPIF1<0，∴∠EAN=∠CBG∵AE=BC，AB=BA，∴SKIPIF1<0∴AC=BE，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．5．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点，将SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0．”小红：“若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，给出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长，就可求出SKIPIF1<0的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到．（1）如图1，当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成SKIPIF1<0的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0；问题2：SKIPIF1<0【分析】（1）根据等边对等角可得SKIPIF1<0，根据折叠以及三角形内角和定理，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据邻补角互补可得SKIPIF1<0，即可得证；（2）连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，勾股定理求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0即可求解；问题2：连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据已知条件可得SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是矩形，勾股定理求得SKIPIF1<0，根据三线合一得出SKIPIF1<0，根据勾股定理求得SKIPIF1<0的长，即可求解．【详解】（1）∵等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如图所示，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵折叠，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；问题2：如图所示，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是矩形，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．6.（2021·浙江中考真题）问题：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．答案：SKIPIF1<0．探究：（1）把“问题”中的条件“SKIPIF1<0”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）①10；②5；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可完成求解；

②证明出SKIPIF1<0即可完成求解；

（2）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及点C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【详解】（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．同理可得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0点E与点F重合，SKIPIF1<0．

②如图2，点E与点C重合，同理可证SKIPIF1<0，∴▱ABCD是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点F与点D重合，SKIPIF1<0．（2）情况1，如图3，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．情况2，如图4，同理可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．情况3，如图5，由上，同理可以得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上：SKIPIF1<0的值可以是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．7．（2023·重庆·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0．

(1)如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．(2)如图2，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0上方作等边SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．(3)在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0右侧作等边SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在直线上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0，请直接写出此时SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）解SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0即可求解；（2）延长SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0四点共圆，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，结合已知条件得出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得证；（3）在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意得出点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，SKIPIF1<0在半径为SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上运动，当SKIPIF1<0取最大值时，即SKIPIF1<0三点共线时，此时如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是矩形，得出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，同理可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，SKIPIF1<0是等边三角形，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理求得SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）证明：如图所示，延长SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0四点共圆，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：如图所示，

在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0∴点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0在半径为SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上运动，当SKIPIF1<0取最大值时，即SKIPIF1<0三点共线时，此时如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如图所示，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是矩形，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，同理可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是等边三角形，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．

【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．8.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFSKIPIF1<0AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．【答案】（1）见解析；（2）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtSKIPIF1<0CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtSKIPIF1<0APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝SKIPIF1<0cm即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EFSKIPIF1<0AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在RtSKIPIF1<0CDE中，DE＝SKIPIF1<0＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在RtSKIPIF1<0APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝SKIPIF1<0cm，∴菱形BFEP的边长为SKIPIF1<0cm；②当点Q与点C重合时，如图2：点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，如图3所示：点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．9．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0边上一点，且SKIPIF1<0（n为正整数），E是SKIPIF1<0边上的动点，过点D作SKIPIF1<0的垂线交直线SKIPIF1<0于点F．

【初步感知】(1)如图1，当SKIPIF1<0时，兴趣小组探究得出结论：SKIPIF1<0，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当SKIPIF1<0，且点F在线段SKIPIF1<0上时，试探究线段SKIPIF1<0之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段SKIPIF1<0之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为M．若SKIPIF1<0，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)①SKIPIF1<0，证明过程略；②当点F在射线SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，当点F在SKIPIF1<0延长线上时，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0即可解答；（2）①过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，根据（1）中结论可得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0；②分类讨论，即当点F在射线SKIPIF1<0上时；当点F在SKIPIF1<0延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；（3）如图，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的轨迹长度即为SKIPIF1<0的长度，可利用建系的方法表示出SKIPIF1<0的坐标，再利用中点公式求出SKIPIF1<0，最后利用勾股定理即可求出SKIPIF1<0的长度．【详解】（1）证明：如图，连接SKIPIF1<0，

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0证明：如图，过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据（1）中的结论可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故线段SKIPIF1<0之间的数量关系为SKIPIF1<0；②解：当点F在射线SKIPIF1<0上时，如图，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线，交SKIPIF1<0于点SKI