2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型6 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）（原卷版）

PAGE类型六二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求该抛物线的表达式；(2)点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0下方抛物线上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值及此时点SKIPIF1<0的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移SKIPIF1<0个单位，点SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0的对应点，平移后的抛物线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以SKIPIF1<0为腰的SKIPIF1<0是等腰三角形的点SKIPIF1<0的坐标，并把求其中一个点SKIPIF1<0的坐标的过程写出来．2．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，与y轴交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线交于B，C两点．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点SKIPIF1<0作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得SKIPIF1<0始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．3．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0SKIPIF1<0为抛物线上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0．

(1)直接写出抛物线和直线SKIPIF1<0的解析式；(2)如图2，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为等腰三角形时，求SKIPIF1<0的值；(3)当SKIPIF1<0点在运动过程中，在SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的三角形与以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的三角形相似（其中点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0相对应），若存在，直接写出点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且SKIPIF1<0．在y轴上是否存在点F，使得SKIPIF1<0为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与SKIPIF1<0轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBASKIPIF1<045°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作SKIPIF1<0轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

6.如图，已知二次函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴交于原点及点SKIPIF1<0．

（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点SKIPIF1<0的坐标及直线SKIPIF1<0的表达式；（3）判断SKIPIF1<0的形状，试说明理由；（4）若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，一动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段SKIPIF1<0匀速运动到点SKIPIF1<0，再以每秒1个单位长度的速度沿线段SKIPIF1<0匀速运动到点SKIPIF1<0后停止运动，求点SKIPIF1<0的运动时间SKIPIF1<0的最小值．7.如图，已知抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左边），与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为抛物线的顶点，连接SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．

（1）求抛物线的解析式；（2）点SKIPIF1<0是抛物线上的一点，当SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为腰的等腰三角形时，求点SKIPIF1<0的坐标；（3）点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一点，连接SKIPIF1<0，并延长SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在第一象限）．当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，求出点SKIPIF1<0的坐标．8.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．12.如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，，．①求点的坐标；②判断的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线SKIPIF1<0交x轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0