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文档简介

上海交大南洋中学2023-2024学年高考数学一模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.函数的图象大致为()A. B.C. D.3.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.4.已知数列是公比为的正项等比数列,若、满足,则的最小值为()A. B. C. D.5.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为()A. B. C. D.26.已知为虚数单位,若复数,,则A. B.C. D.7.已知复数,满足,则()A.1 B. C. D.58.已知双曲线的右焦点为为坐标原点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点,则双曲线的方程为()A. B. C. D.9.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()A. B. C. D.10.要得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度11.已知为定义在上的偶函数,当时,,则()A. B. C. D.12.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.90二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.14.展开式中的系数为_______________.15.函数的极大值为______.16.设,若函数有大于零的极值点,则实数的取值范围是_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)[选修4-5:不等式选讲]设函数.(1)求不等式的解集;(2)已知关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.18.(12分)我们称n()元有序实数组(,,…,)为n维向量,为该向量的范数.已知n维向量,其中,,2,…,n.记范数为奇数的n维向量的个数为,这个向量的范数之和为.(1)求和的值;(2)当n为偶数时,求,(用n表示).19.(12分)在四棱锥中,底面是平行四边形,为其中心,为锐角三角形,且平面底面,为的中点,.(1)求证:平面;(2)求证:.20.(12分)已知椭圆的左右焦点分别是,点在椭圆上,满足(1)求椭圆的标准方程;(2)直线过点,且与椭圆只有一个公共点,直线与的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点的两点,与直线交于点(介于两点之间),是否存在直线,使得直线,,的斜率按某种排序能构成等比数列?若能,求出的方程,若不能,请说理由.21.(12分)选修4­4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.22.(10分)已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,求证:;(Ⅲ)若对于恒成立,求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).2、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性,计算时的函数值可排除三个选项.【详解】时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,,排除C,只有A可满足.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项.3、A【解析】

根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.4、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值.【详解】数列是公比为的正项等比数列,、满足,由等比数列的通项公式得,即,,可得,且、都是正整数,求的最小值即求在,且、都是正整数范围下求最小值和的最小值,讨论、取值.当且时,的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识,考查数学运算求解能力和分类讨论思想,是中等题.5、B【解析】

首先根据题中所给的三视图,得到点M和点N在圆柱上所处的位置,将圆柱的侧面展开图平铺,点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根据平面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征,将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为,故选B.点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.6、B【解析】

由可得,所以,故选B.7、A【解析】

首先根据复数代数形式的除法运算求出,求出的模即可.【详解】解:,,故选:A【点睛】本题考查了复数求模问题,考查复数的除法运算,属于基础题.8、C【解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程:,再将点代入可得,连接,根据圆的性质可得,从而可求出,再由即可求解.【详解】由双曲线,则渐近线方程:,,连接,则,解得,所以,解得.故双曲线方程为.故选:C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,需掌握双曲线的渐近线求法,属于中档题.9、D【解析】

首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,,,,∴.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.10、D【解析】

先将化为,根据函数图像的平移原则,即可得出结果.【详解】因为,所以只需将的图象向右平移个单位.【点睛】本题主要考查三角函数的平移,熟记函数平移原则即可,属于基础题型.11、D【解析】

判断,利用函数的奇偶性代入计算得到答案.【详解】∵,∴.故选:【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.12、A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.14、【解析】

把按照二项式定理展开,可得的展开式中的系数.【详解】解:,故它的展开式中的系数为,故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15、【解析】

先求函的定义域,再对函数进行求导,再解不等式得单调区间,进而求得极值点,即可求出函数的极大值.【详解】函数,,,令得,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,当时,函数取到极大值,极大值为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意定义域优先法则的应用.16、【解析】

先求导数,求解导数为零的根,结合根的分布求解.【详解】因为,所以,令得,因为函数有大于0的极值点,所以,即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题,极值点为导数的变号零点,侧重考查转化化归思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)零点分段去绝对值解不等式即可(2)由题在上有解,去绝对值分离变量a即可.【详解】(1)不等式,即等价于或或解得,所以原不等式的解集为;(2)当时,不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【点睛】本题考查绝对值不等式解法,不等式有解求参数,熟记零点分段,熟练处理不等式有解问题是关键,是中档题.18、(1),.(2),【解析】

(1)利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来,再做和;(2)用组合数表示和,再由公式或将组合数进行化简,得出最终结果.【详解】解:(1)范数为奇数的二元有序实数对有:,,,,它们的范数依次为1,1,1,1,故,.(2)当n为偶数时,在向量的n个坐标中,要使得范数为奇数,则0的个数一定是奇数,所以可按照含0个数为:1,3,…,进行讨论:的n个坐标中含1个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为;的n个坐标中含3个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为;的n个坐标中含个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为1;所以,.因为,①,②得,,所以.解法1:因为,所以..解法2:得,.又因为,所以.【点睛】本题考查了数列和组合,是一道较难的综合题.19、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】

(1)通过证明,即可证明线面平行;(2)通过证明平面,即可证明线线垂直.【详解】(1)连,因为为平行四边形,为其中心,所以,为中点,又因为为中点,所以,又平面,平面所以,平面;(2)作于因为平面平面,平面平面,平面,所以,平面又平面,所以又,,平面,平面所以,平面,又平面,所以,.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直,通过线面垂直得线线垂直,关键在于熟练掌握相关判定定理,找出平行关系和垂直关系证明.20、(1);(2)不能,理由见解析【解析】

(1)设,则,由此即可求出椭圆方程;(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程可求得,则直线斜率为,设其方程为,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理可得关于对称,可求得,假设存在直线满足题意,设,可得,由此可得答案.【详解】解:(1)设,则,,所以椭圆方程为;(2)设直线的方程为,与联立得,∴,因为两直线的倾斜角互补,所以直线斜率为,设直线的方程为,联立整理得,,所以关于对称,由正弦定理得,因为,所以,由上得,假设存在直线满足题意,设,按某种排列成等比数列,设公比为,则,所以,则此时直线与平行或重合,与题意不符,所以不存在满足题意的直线.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,考查计算能力与推理能力,属于难题.21、(1),(2)【解析】

试题分析:利用将极坐标方程化为直角坐标方程:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,即为x+y=1.再利用点到直线距离公式得:设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离试题解析:解:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,则直线l的直角坐标方程为x+y=1.设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离,dmax=.考点:极坐标方程化为直角坐标方程,点到直线距离公式22、(Ⅰ)函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)利用二次求导可得,所以在上为增函数,进而可得函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)利用导数可得在区间上存在唯一零点,所以函数在递减,在,递增,则,进而可证;(Ⅲ)条件等价于对于恒成立,构造函数,利用导数可得的单调性,即可得到的最小值为,再次构造函数(a),,利用导数得其单调区间,进而求得最大值.【详解】(Ⅰ)当时,,则,所以,又因为,所以在上为增函数,因为,所以当时,,为增函数,当时,,为减函

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