07第二章-高中物理竞赛和高考力学习题解答

第二章高中物理竞赛和高考力学习题解答2．1一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a=gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为αABv0P图αABv0P图2.1将t=x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为，这是抛物线方程．2．2桌上有一质量M=1kg的平板，板上放一质量m=2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk=0.25，静摩擦因素为μs=0.30．求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以a=1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相NmfNmfmNMfMa（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm=mg=19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm=ma=2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：NM=(m+M)g=29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM=μkNM=7.35(N)．这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为NmfNMf`fFNmfNMf`fFa`可得a`=μsg．板的运动方程为F–f–μk(m+M)g=Ma`，即F=f+Ma`+μk(m+M)g=(μs+μk)(m+M)g，算得F=16.17(N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．2．3如图所示：已知F=4N，m1=0.3kg，m2=0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2=2a1，而力的关系为T1=2T2m2m2FT1a1m1T2a2f1f2图2.3T2-μm2g=m2aF–T1–μm1g=m1a可以解得m2的加速度为=4.78(m·s-2)，绳对它的拉力为=1.35(N)．2．4两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式；k1k2F(a)k1k2k1k2F(a)k1k2F图2.4(b)[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F=kx，其中k为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1=k1x1，F2=k2x2．（1）由于弹簧串联，所以F=F1=F2，x=x1+x2，因此，即：．（2）由于弹簧并联，所以F=F1+F2，x=x1=x2，因此kx=k1x1+k2x2，即：k=k1+k2．2．5如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即图2.5摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．图2.5（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1=b）；（5）以同样大小的加速度（b2=b），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力TmgmaθTmgmaθ（2）（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tanθ=ma/mg，所以θ=arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力：．TmgmaφTmgmaφθ（3）合力沿斜面向下，所以θ=φ；T=mgcosφ．（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边是mbcosφ，邻边是mg+mbsinφ，由此可得：TmgmbTmgmbφθφ（4）TmgTmgmbφθ（5）；而张力为．（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．2．6如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直mRωθrmg图2.1mRωθrmg图2.11[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F=mgtgθ．珠子做圆周运动的半径为r=Rsinθ．根据向心力公式得F=mgtgθ=mω2Rsinθ，可得，解得．2.7设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行.试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为.[解答]

2.8土星质量为，太阳质量为，二者的平均距离是.（1）太阳对土星的引力有多大？（2）设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度.[解答]（1）（2）2.9（1）一个球形物体以角速度旋转.如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转速为每秒30转的脉冲星的最小密度.这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果.（2）如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（~或~，为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？（3）若脉冲星的密度与核物质的相当，它的半径是多少?核密度约为.[解答]（1）以最外层任一质元计算：（2）（3）可求。2.10某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s,近日点的速度为80km/s若地球在半径为的圆周轨道绕日运动，速度为30km/s.求此彗星的远日点距离.[解答]又2.11考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半.求此行星极点处的粒子的逃逸速度.[解答]设粒子在极点处的逃逸速度为，由能量关系（1）根据重力的概念：其中为重力，为万有引力，为惯性离心力在赤道：（2）在极点：(3)(3)式比（2）式得：即：（4）（4）式代入（1）式得：2.12.已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2，围绕地球的大圆周长为，月球与地球的直径及质量之比分别为是和.试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度.[解答]设月球的逃逸速度为，无穷远处，引力势能为零。地球大圆周长为由能量关系，月球的逃逸速度满足：（m为逃逸质点的质量）（1）地球表面的重力加速度满足：（忽略地球自转影响）（2）（2）式代入（1）式有：（3）又有：（4）（4）式代入(3)式2．13用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？vxΔvvy[解答]球上升初速度为vxΔvvy其速度的增量为=24.4(m·s-1)．棒给球冲量为I=mΔv=7.3(N·s)，对球的作用力为（不计重力）：F=I/t=366.2(N)．2．14如图所示，三个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g=10m·s-2）CBA图2.15[CBA图2.15Mg–T=Ma，物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程：T=Ma，联立方程可得：a=g/2=5(m·s-2)．根据运动学公式：s=v0t+at2/2，可得B拉C之前的运动时间；=0.4(s)．此时B的速度大小为：v=at=2(m·s-1)．物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv=3Mv`，因此C开始运动的速度为：v`=2v/3=1.33(m·s-1)．2．15一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？v0θvv`v`v0θvv`v`45°v=v0cosθ，方向沿水平方向．根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得，所以v`=v/cos45°=．2．16如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？R45°mgNθFfR45°mgNθFfds图2.17ds=Rdθ．重力的大小为：G=mg，方向竖直向下，与位移元的夹角为π+θ，所做的功元为，积分得重力所做的功为．摩擦力的大小为：f=μkN=μkmgcosθ，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为，积分得摩擦力所做的功为．要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即，或者．拉力的功元为：，拉力所做的功为．由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．2．17如图所示，物体A的质量m=0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s=3m．弹簧的倔强系数k=400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程，整理和一元二次方程，解得=0.24(m)（取正根）．2．18一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．[证明]设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得p1pp1p2θp0即；根据动量守恒得：，其中各动量的大小为：p0=mv0、p1=mv1和p2=mv2，对矢量式两边同时平方并利用得：，即：化简得：，结合机械能守恒公式得：2v1v2cosθ=0，由于v1和v2不为零，所以：θ=π/2，即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．2．19如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．[解答]钢球下落后、碰撞前的速率为：．钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程l=0.8ml=0.8mm2m1O图2.21．整理得．将上式除以下式得：v1+v1`=v2`，代入整理的下式得，解得．碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为=0.36(m)．[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程，．同理可得．从而解得，或者；将下标1和2对调得，或者．后一公式很好记忆，其中代表质心速度．2.20质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率。求力T将木块自A拉至B点的速度。[解答]

TTABAABo做功为零由动能定理：式中利用积分公式：则上式注：关于T做功还有一种解法:其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。2.21质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度，求木块被拉至B时的速度。[解答]重力做功方向向上

2.22质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度向右运动。弹簧的劲度系数为，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为。求证物体能达到的最远距离为。[解答]由：所以：解一元二次方程：由舍去负号：

2.23坐标系与坐标系各对应轴平行。相对于沿x轴以作匀速直线运动。对于系，质点动能定理为，,沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于系，动能定理也取这种形式。[解答]∵∴∵∴由动能定理得：∴最后可得：说明相对于系，动能定理的形式不变。2.24轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。[解答]以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力，框架重力，轻绳拉力和作用在框架上的水平力。其中轻绳的拉力和不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和为零。质点组所力情况如图：根据质点组动能定理：（1）为圆柱体的绝对速度为框架的绝对速度。由于（见下图）将此式投影到图中所示的沿水平方向的ox轴上，得：带入（1）式中解得：

2.25二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数分别各为和。它们自由伸长的长度相差。坐标原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在和时弹性势能的表示式。[解答]弹性力外力为当时，无势能，只有有势能。外界压缩弹簧做功使势能增加。设原点处为势能零点，则：时：原点为势能零点对于：外力做功对于：外力做功2.25滑雪运动员自A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m。坡道在B点的切线方向与水平面成300角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽d，（[解答]（1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力不做功，所以机械能守恒。以B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：（2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以B、C的垂直高度（3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：

2.26装置如图所示：球的质量为5kg，杆AB长1cm，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。

[解答]包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：不做功。重力和弹性力为保守力（不计摩擦）系统机械能守恒设杆水平时势能为零

（1）∵（水平位置）（2）将（2）式代入（1）式2.27物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m，恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体Q的最大速度；（2）物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度。[解答]（1）取物体Q为隔离体在竖直方向上Q所受的力的矢量和为零。而在水平方向只受到弹力和光滑圆弧的水平方向的作用力作用，为保守力，不做功。所以机械能守恒。设弹簧势能零点为弹簧原点处：（B点速度最大）（2）在D点弹性势能为：因为所以2.28卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四倍）。[解答]设粒子的质量为4，氢原子的质量为；粒子的初速度为，氢原子的初速度为；正碰后，粒子的速度为，氢原子的速度为。由公式:将以上数据代入：入射粒子的能量：氢原子碰后的能量：则：

2.29m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率滑行并与m碰撞挂钩。挂钩后前进了距离s[解答]选取机车和车厢为质点组挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲击力大于阻力，可视为动量守恒。撞后：由动能定理

2.30两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为e。若球A自高度释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。[解答]（1）A球碰前的速度，由机械能守恒：（1）A与B发生非弹性碰撞（2）又知：（3）由（1）（2）（3）式得：（4）A球上升高度：机械能守恒（2）若两球发生完全弹性碰撞由（4）式再由（2）式即A球静止，B球以A球碰前的速度开始运动。当B球上升后（高度）又落下与A球再次发生完全弹性碰撞。，A球以速度开始向上运动。如此往复。

2.31质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg、用1m长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度。问摆沿铅直方向升起若干。[解答]第一阶段，动量守恒第二阶段，机械能守恒

2.31一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长10cm。今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落入框架。秋此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计。[解答]铅块下落到框底速度为（1）接下来，铅块与框架底发生完全非弹性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力，可视为动量守恒。（2）（由于碰撞时间短，下降距离为零）以后以共同速度下降：机械能守恒设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为，碰撞后质点移动的最大距离为。（3）依题意（4）（2）（4）式代入（3）式：舍去负号项，

2.32质量为=0.790kg和=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率=100m/s沿水平方向射于内，问弹簧最多压缩了多少？[解答]第一阶段：完全非弹性碰撞（1）第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守恒。（2）（为共同速度）

再由机械能守恒：（3）有（1）（2）（3）式解出：2.33一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内。小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。[解答]第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞水平方向动量守恒：（为子弹、小鸟共同速度）第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动小鸟落地时间：水平距离：2.34在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度下滑，已知A、B两质点的质量分别为和。求至少发生两次碰撞的条件。[解答]分三个阶段：第一阶段，A第一次与B完全弹性碰撞。设，A撞前速度为，撞后速度为；B撞前速度为零，撞后速度为。由公式：得：要使质点返回，必须，即第二阶段，A返回上升到轨道某处，并再度下滑到平面轨道。由机械能守恒：（是再度下滑到平面轨道的速度）得第三阶段，A，B再次碰撞。要求，即将上面的，代入此式即这是A，B至少发生两次碰撞的条件。

2.35一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图示。CD长。铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至时开始做匀速直线运动。后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？[解答]选取铁箱和钢球为质点组，以地面为参考系，坐标系。第一阶段，钢球与AC发生完全弹性碰撞。设为铁箱碰撞前后速度，为小球碰撞前后速度。

由完全弹性碰撞：即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为。第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与BD相碰。取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑，所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间隔为2.36两车厢质量均为M。左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以运动。另一车厢以2从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为。求：（1）货箱与地板间的摩擦系数；（2）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。[解答]（1）第一步：两车厢完全非弹性碰撞，

第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系;（2）碰撞后系统在水平方向的动能守恒。系统的动量：系统总动量为零，质心不动。(常量)（1）（2）（3）解（2）（3）式得：

2.37质量为m的氘核的速率u与静止的质量为2m的粒子发生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成角散射。（1）求粒子的运动方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之几的能量由氘核传给粒子？[解答]（1）由动量守恒：

即：由（完全弹性碰撞）在方向上有关系式：

（3）（1）（2）式代入（3）式得：由（1）式动能比：2.38参考3.8.7题图。桑塔娜空车质量为，载质量为70kg一人，向北行驶。另一质量为的切诺基汽车向东行驶。而车相撞后连成一体，沿东偏北滑出d=16m而停止。路面摩擦系数为。该地段规定车速不得超过80km/。问那辆车违背交通规则？又问因相撞损失多少动能？[解答]碰后的共同速度（1）（2）（3）

解得：切诺基超速。碰撞损失的动能：2.39一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：mMABmMABRvV图2.22（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；（3）物体到达B时对槽的压力．[解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得，根据动量守恒定律得：0=mv+MV．因此，解得，从而解得：．（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量．（3）物体在槽底相对于槽的速度为，物体受槽的支持力为N，则，因此物体对槽的压力为．2．40在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．[解答]当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得4mpv0-mpv0=(4mp+mp)v，因此v=3v0/5．质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得，lθm图lθm图2.24所以最近距离为：．2．41证明行星在轨道上运动的总能量为．式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．r1r2v1v2[证明]r1r2v1v2（1）和．（2）它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程mv1r1=mv2r2，即v1r1=v2r2．(3)将（1）式各项同乘以r12得：Er12=m(v1r1)2/2-GMmr1，(4)将（2）式各项同乘以r22得：Er22=m(v2r2)2/2-GMmr2，(5)将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得：E(r22-r12)=-GMm(r2-r1)，(6)由于r1不等于r2，所以：（r2+r1)E=-GMm，故．证毕．（三）刚体定轴转动2．42质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．R1R2OO`HR1R2OO`H图2.26V=π(R22–R12)h，体密度为ρ=M/V．在圆柱体中取一面积为S=2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为dV=Sdr=2πrHdr，其质量为dm=ρdV，绕中心轴的转动惯量为dI=r2dm=2πρHr3dr，总转动惯量为．2．43如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．OrRr图2.29[解答]OrRr图2.29质量的面密度为σ=M/S．大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM=MR2/2．小圆的面积为s=πr2，质量为m=σs，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC=mr2/2，根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为Im=IC+m(R/2)2．，剩余部分的转动惯量为．2．44飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．（1）设F=100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？[解答]设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，在力矩平衡时有：0.5N`–1.25F=0O0.50F0.75图2.3O0.50F0.75图2.30闸瓦对飞轮的压力为;N=N`=250(N)，与飞轮之间摩擦力为：f=μN=100(N)，摩擦力产生的力矩为：M=fR．飞轮的转动惯量为：I=mR2/2，角加速度大小为：β=-M/I=-2f/mR=-40/3(rad·s-2)负号表示其方向与角速度的方向相反．飞轮的初角速度为ω0=30π(rad·s-1)．根据公式ω=ω0+βt，当ω=0时，t=-ω0/β=7.07(s)．再根据公式ω2=ω02+2βθ，可得飞轮转过的角度为θ=-ω02/2β=333(rad)，转过的圈数为n=θ/2π=53r．[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．（2）当t=2s，ω=ω0/2时，角加速度为β=-ω0/2t=-7.5π．力矩为M=-Iβ，摩擦力为f=M/R=-mRβ/2=(7.5)2π．闸瓦对飞轮的压力为N=f/μ，需要的制动力为F=N/2.5=(7.5)2π=176.7(N)．2．45一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力F=98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I=0.5kg·m2，轴承无摩擦．求（1）飞轮的角加速度．（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．（3）将重力P=98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．[解答]（1）恒力的力矩为F=98NP=98NF=98NP=98Nm(a)(b)图2.31对飞轮产生角加速度为β=M/I=39.2(rad·s-2)．（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为θ=s/r=25(rad)，由于飞轮开始静止，根据公式ω2=2βθ，可得角速度为=44.27(rad·s-1)；飞轮的转动动能为Ek=Iω2/2=490(J)．方法二：用动力学定理．拉力的功为W=Fs=490(J)，根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．根据公式Ek=Iω2/2，得角速度为=44.27(rad·s-1)．(3)物体的质量为m=P/g=10(kg)．设绳子的张力为T，则P–T=ma，Tr=Iβ．由于a=βr，可得Pr=mr2β+Iβ，解得角加速度为=21.8(rad·s-2)．绳子的张力为=54.4(N)．张力所做的功为W`=Ts=272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能E`k．飞轮的角速度为=33(rad·s-1)．2．46一个轻质弹簧的倔强系数为k=2.0N·m-1．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1=80g的物体相连，如图所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r=0.05m，质量为m=100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h=0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑．m1m1mm1m1mhr图2.33，其中I=mr2/2，ω=v/r，可得2m1gh–kh2=m1v2+mv2/2解得=1.48(m·s-1)．2．47一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．（1）问它能上升多高？（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能．ωR图2.36[解答]（1）碎片上抛的初速度为ωR图2.36根据匀变速直线运动公式v2–v02=-2gh，可得碎片上升的高度为h=v02/2g=ω2R2/2（2）余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有，所以角动量为L=Iω=R2(M/2–m)ω．转动动能为．2．48两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA=60kg，mB=70kg，它们速率分别为vA=7m·s-1，vB=6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为1.5m．求该瞬时：vBrvvBrvAmAmBrArB（2）系统的角速度；（3）两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？[解答]（1）设质心距A的平行线为rA，距B的平行线为rB，则有rA+rB=r，根据质心的概念可得mArA=mBrB，解方程组得，．两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为=630(kg·m2·s-1)．（2）根据角动量守恒定律得L=(IA+IB)ω，其中IA和IB分别是两绕质心的转动惯量IA=mArA2和IB=mBrB2．角速度为ω=L/(IA+IB)=8.67(rad·s-1)．（3）两人拉手前的总动能就是平动动能=2730(J)；拉手后的总动能是绕质心的转动动能：=2730(J)，可见：这一过程能量是守恒的．[讨论]（1）角动量．根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为，角速度为可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．（2）损失的能量．两人的转动动能为，因此动能的变化量为ΔE=Ek2–Ek1简化得，负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则ΔE≠0，即能量不守恒．在本题中，由于mAvA=mBvB，所以能量是守恒的．2．49一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面v0ll/4Ol/4图2.38内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方v0ll/4Ol/4图2.38[解答]以O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为mv0l/4．在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为Iω0棒绕质心的转动惯量为Ic=ml2/12，根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为．根据角动量守恒定律得mv0l/4=Iω0所以角速度为2.50现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量.用轻线且尽可能润滑轮轴.两端悬挂重物质量各为，且.滑轮半径为.自静止始，释放重物后并测得内下降.滑轮转动惯量是多少？[解答]分析受力。建立坐标系，竖直向下为轴正方向，水平向左为轴正方向。轴垂直纸面向里。根据牛顿第二定律，转动定理，角量与线量关系可列标量方程组：已知求解上列方程组：2.51斜面倾角为，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩M，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为，求重物上滑的加速度.绳与斜面平行，不计绳质量.[解答]分析受力及坐标如图。轴垂直纸面向外。列标量方程组：（1）（2）（3）（4）解得：2.52利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的距离为r.为减小因不计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物，从距地面高度处由静止开始下落，落地时间为，然后悬挂质量较大的重物，同样由高度下落，所需时间为，根据这些数据确定轮盘的转动惯量.近似认为两种情况下摩擦力矩相同.[解答]分析受力及坐标如图。轴垂直纸面向里。列方程：解得即2.53用四根质量各为m长度各为的均质细杆制成正方形框架，可绕其一边的中点在竖直平面内转动，支点O是光滑的.最初，