(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．直线与曲线的公共点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知抛物线的焦点为，过抛物线上两点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足为，，且，当直线经过点且点到抛物线准线的距离为4时，直线的斜率为（）A． B． C． D．3．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，则线段的长为（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于、两点，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5．过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．6．已知分别为双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线的左支于两点，若，，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．7．已知是抛物线的焦点，若直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为，设圆与轴交于点，，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知两定点，，直线：，在上满足的点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或29．设F1，F2是双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是（）A． B．C． D．10．顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（）A．或 B．或C．或 D．或11．已知动点满足(为大于零的常数)﹐则动点的轨迹是（）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（）A．25 B．100 C．9 D．36二、填空题13．设是抛物线上的一个动点，若点为，则的最小值为________________．14．知直线m过抛物线的焦点，且交抛物线于A、B两点，交其准线l于点C.若，，则____________15．已知椭圆的左､右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的面积为___________.16．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为，上顶点为，分米，在它的内部放有一个半径为分米的球形灯泡，球心在轴上，且分米．已知球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为，则实数的取值范围是_______17．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且，过作交于点，点的坐标为，则椭圆的方程为_________．18．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于A,B两点，交准线于点C，若|BC|=2|BF|，则|AB|=_____.19．已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为_______.20．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为______．三、解答题21．椭圆上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足（O为坐标原点），则________．22．在平面直角坐标系中，已知直线被抛物线截得的弦长为，直线与抛物线相交于点，，点，且直线，的斜率之和为4.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标.23．已知椭圆的离心率为在椭圆C上，且异于点A．（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线的方程．24．荷兰数学家舒腾(，1615-1660)设计了一种画椭圆的工具，如图1所示，两根等长的带槽的直杆和的一端各用钉子固定在点和上(但分别可以绕钉子转动)，，另一端用铰链与杆连接，，和的交点为，转动整个工具，交点形成的轨迹为椭圆.以线段中点为原点，所在的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过点的直线交椭圆于不同的两点，设点为椭圆的右顶点，当的面积为时，求直线的方程.25．已知椭圆的离心率为，过左顶点与上顶点的直线与圆相切.（1）求椭圆的方程﹔（2）已知斜率为的直线在轴上的截距为，与椭圆交于两点，是否存在实数使得成立?若存在，求出的值，若不存在，说明理由.26．在平面直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于点、（其中点在第一象限），交直线于点，且点是的中点，求线段的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由于已知曲线函数中含有绝对值符号，将x以0为分界进行分类讨论，当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x<0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数.【详解】当时，曲线的方程为当时，曲线的方程为，∴曲线的图象如图，在同一坐标系中作出直线的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故选：C【点晴】本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据题意，求得，可得抛物线的方程，因为，所以，根据面积公式，结合抛物线定义，即可求得，不妨设的斜率为，可得直线AB的方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可求得的值，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】因为点到抛物线准线的距离为4，所以，所以，设抛物线的准线与轴交于点，因为，所以，因为，，，所以，则，显然直线的斜率存在，不妨设为，则，与抛物线联立可得：，从而，所以，解得.故选：B【点睛】解题的关键是根据面积的关系，得到，结合图象，可求得，再利用抛物线的弦长公式求解，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.3．D解析：D【分析】写出直线的方程，设点、，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得.【详解】抛物线的焦点，直线的方程为，设点、联立，可得，，所以，，由抛物线的焦点弦长公式得.故选：D.【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．4．C解析：C【分析】设双曲线的渐近线方程为，其中，利用勾股定理可求得的值，即可求得，再由双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的渐近线方程为，其中，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，，由勾股定理可得，即，解得，，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D【分析】设直线的斜率为()，直线方程为，，代入抛物线方程应用韦达定理得，，求出中点的坐标，写出的方程，由求得，然后由己知条件可求得斜率，得倾斜角．【详解】由题意，设直线的斜率为()，直线方程为，，由得，，，，，，即，直线的方程为，，∵，∴，整理得，∵，∴，∴倾斜角为．故选：D．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线垂线方程，求得，然后由已知条件求得结论．6．C解析：C【分析】设，利用双曲线定义求出，，利用余弦定理写出关系，推知焦点三角形是直角三角形，利用勾股定理求出关系式，从而求出离心率.【详解】设，则，则由双曲线定义有，，在中，由余弦定理有整理得，解得故，，故为直角三角形，在中，，则，故故故选：C【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7．B解析：B【分析】设设，的中点，直线：与联立可得，由韦达定理计算，，再求以为直径作圆的半径，求出圆心点横坐标，设的中点为，则，由圆的性质可得并求出其范围，进而可得的范围，再讨论斜率不存在时的值，即可求解.【详解】由抛物线可知，焦点，设，的中点设直线：代入可得，所以，，，所以，以为直径作圆的半径，圆心为的中点，设的中点为，则，则且，所以，当不存在时，，此时，，，，所以可得，所以的取值范围是故选：B【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出的范围，进而可计算的范围.8．B解析：B【分析】求出点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的点的个数．【详解】∵，，∴在以为焦点，为长轴长的椭圆上，由于，，又，因此，椭圆方程为，由，解得，∴点只有一个．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点的一个条件的轨迹方程，由方程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本思想．9．C解析：C【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理找出a,c的等量关系,从而可求a,b的比值，即可得出双曲线C的渐近线方程．【详解】解：因为F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理可得，即，所以3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，即.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理解三角形是解答本题的关键．10．D解析：D【分析】设出抛物线方程为或，代入点的坐标求出参数值可得．【详解】设抛物线方程为，则，，方程为，或设方程为，则，，方程为．所以抛物线方程为或．故选：D．【点睛】关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在轴和轴两种情况，焦点在轴上时可以直接设方程为，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在轴正半轴还是在负半轴，焦点在轴也类似求解．11．C解析：C【分析】由为大于零的常数，可知的最小值，再根据两点间距离公式得几何意义以及椭圆定义判断轨迹.【详解】的几何意义为点与点间的距离，同理的几何意义为点与点间的距离，且又由为大于零的常数，可知，当且仅当，即时取等，故，即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆，故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．12．A解析：A【分析】由椭圆与双曲线的定义得记，则（椭圆长轴长），，用余弦定理得出的关系，代入和与差后得的关系式，然后用基本不等式求得最小值．【详解】记，则（椭圆长轴长），（双曲线的实轴长），又由余弦定理得，所以，即，变形为，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，，在双曲线中，不能混淆．二、填空题13．5【分析】求出抛物线的准线方程把到焦点距离转化为它到准线的距离然后利用三点共线得最小值【详解】如图过作与准线垂直垂足为则∴易知当三点共线时最小最小值为∴的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线解析：5【分析】求出抛物线的准线方程，把到焦点距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线得最小值．【详解】如图，过作与准线垂直，垂足为，则，∴，易知当三点共线时，最小，最小值为．∴的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．14．3【分析】过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为根据结合抛物线的定义可得据此求出再根据抛物线的定义可求出【详解】如图：过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为因为所以因为所以所以所以在直角三角形中解析：3【分析】过、作准线的垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为，根据结合抛物线的定义可得，据此求出，再根据抛物线的定义可求出.【详解】如图：过、作准线的垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为，因为，所以，因为，所以，所以，所以，在直角三角形中，因为，所以，因为，且，所以，所以.故答案为：3【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义求解是解题关键.15．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去x求出|y1-y2|利用即可求出的面积【详解】由题意得:直线:设则有:消去x得:7y2+6y-9=0∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积解析：【分析】先求出直线的方程,与椭圆方程联立,消去x,求出|y1-y2|,利用即可求出的面积.【详解】由题意得:直线:,设,则有:消去x得:7y2+6y-9=0,∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积:（1）直接求出弦长|AB|,利用;（2）利用.16．【分析】设出抛物线上任意一点的坐标根据两点间的距离公式求得球心到四周轮廓上的点的距离根据最短距离是在下顶点处取到结合二次函数的性质求得的取值范围【详解】建立如图所示直角坐标系其中为坐标原点得抛物线方解析：【分析】设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间的距离公式求得球心到四周轮廓上的点的距离，根据最短距离是在下顶点处取到，结合二次函数的性质，求得的取值范围.【详解】建立如图所示直角坐标系，其中为坐标原点，得抛物线方程，，设抛物线上任一点的坐标为，由两点距离公式得，令，则的开口向上，对称轴为，当对称轴时，在处取得最小值，此时的最小值为，当对称轴时，最小值在对称轴处取得，即的最小值小于，不符合题意.故由，解得.故答案为：【点睛】关于平面图形或者空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.17．【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率并写出直线方程联立直线与椭圆利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式再结合焦距的关系式解出即得方程【详解】依题意椭圆的焦距为即即由点的坐标为知直线OD的斜解析：【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率，并写出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式，再结合焦距的关系式解出，即得方程.【详解】依题意，椭圆的焦距为，即，，即，由点的坐标为，知直线OD的斜率，又，知直线的斜率为，即直线的方程为，即.设联立方程得，故，即，由知，，即，所以，又，消去得，，解得或（舍去），故，椭圆的方程为.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的直线垂直问题时，一般利用直线的斜率之积为-1，或者直线上的向量的数量积为0来处理，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出结果.18．【分析】分别过作准线的垂线利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离利用已知和相似三角形的相似比建立关系式求解可算得弦长【详解】设可知如图作垂直于准线分别于则又解得故答案为：【点睛】1本题体现了解析：【分析】分别过作准线的垂线，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解可算得弦长.【详解】设，可知如图，作,垂直于准线分别于，则，又，，，，，，解得故答案为：【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．19．【分析】根据数形结合分析可得并根据勾股定理可得计算离心率【详解】如图首先画出函数图象又且且根据椭圆的定义可知由勾股定理可知即整理为即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心解析：【分析】根据数形结合分析，可得，并根据勾股定理，可得，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，，，又，，且，且，，，根据椭圆的定义可知，由勾股定理可知，即整理为，即，.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O是直角三角形斜边的中解析：【分析】设左焦点为，根据椭圆的定义有，，且O是直角三角形斜边的中点，所以，离心率，由角的范围可求得离心率的最大值.【详解】因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，又因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以，所以，所以，由于，所以当时，离心率的最大值为：,故答案为：.【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于的等式或不等式.三、解答题21．2【分析】根据求出左焦点的坐标，然后设的坐标，根据两点间的距离公式求出到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得的坐标，由得到为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，利用两点间的距离公式求出即可．【详解】由椭圆得，，左焦点，设，则又解得或（舍去）；又在椭圆上，则将代入到椭圆方程中求出，所以点，；由点满足，则得为中点，根据中点坐标公式求得，所以故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．22．（1）；（2）直线过定点，定点坐标为，证明见解析.【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得，故可求定点坐标.我们也可以设，，用坐标表示斜率之和，再用该两点的坐标表示直线，化简后可得直线过定点.【详解】（1）由解得，，因为直线被抛物线截得的弦长为，所以，，解得，所以抛物线的方程为.（2）法一：设直线的方程为，，，由得，所以，，因为点，且直线，的斜率之和为4，所以，而，，化简得，所以，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，定点坐标为.法二：设，，因为点，且直线，的斜率之和为4，所以，即，①当时，直线的方程为即，所以直线过定点，定点坐标为；②当时，，所以，不满足题意.所以直线过定点，定点坐标为.【点睛】方法点睛：.直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题.23．（1）；（2）．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及列方程组解得得椭圆方程；（2）已知条件说明直线为线段的垂直平分线，直线方程为，这样可设直线方程为，代入椭圆方程，应用韦达定理得，即为的横坐标，求出中点横坐标，由直线得中点纵坐标，中点坐标代入直线方程可得参数，即直线方程．【详解】（1）依题意，解得．故椭圆C的方程为；（2）∵，∴直线为线段的垂直平分线，则直线的方程为，设直线的方程为，由，得：，，解得，设，由韦达定理得，设的中点为，所以；所以．又在直线上，代入得，解得，综上所述，直线的方程为．【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件得直线为线段的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线方程．即求出方程，由垂直设出直线方程，代入椭圆方程应用