6.2.4-向量的数量积-高一数学考点讲解练(人教A版2019必修第二册)

6.2.4向量的数量积考点讲解考点1：平面向量的数量积运算1．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则（1）a·e＝e·a＝|a|cosθ.（2）a⊥b⇔a·b＝0.（3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).（4）|a·b|≤|a||b|.2．向量数量积的运算律（1）a·b＝b·a.（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.【例1】（1）已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．（2）如图，在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：①eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；②eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).【解析】(1)(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192.(2)①因为eq\o(AD,\s\up14(→))∥eq\o(BC,\s\up14(→))，且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up14(→))与eq\o(BC,\s\up14(→))的夹角是0°，所以eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝|eq\o(AD,\s\up14(→))||eq\o(BC,\s\up14(→))|·cos0°＝3×3×1＝9.②因为eq\o(AB,\s\up14(→))与eq\o(AD,\s\up14(→))的夹角为60°，所以eq\o(AB,\s\up14(→))与eq\o(DA,\s\up14(→))的夹角为120°，所以eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(DA,\s\up14(→))|·cos120°＝4×3×＝－6.【方法技巧】求平面向量数量积的步骤（1）求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．（2）分别求|a|和|b|.（3）求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．【针对训练】1．（1）已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．（2）设正三角形ABC的边长为eq\r(,2)，eq\o(AB,\s\up14(→))＝c，eq\o(BC,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a.【解析】(1)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝eq\r(,2)，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝eq\r(,2)×eq\r(,2)×cos120°×3＝－3.考点2：与向量模有关的问题【例2】（1）已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.（2）已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，求|b|.[思路探究]灵活应用a2＝|a|2求向量的模．【解析】（1）|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×eq\f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝eq\r(12)＝2eq\r(3).](2)[解]因为|2a＋b|＝eq\r(10)，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×eq\f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－3eq\r(2)(舍去)．【方法技巧】求向量的模的常见思路及方法求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．【针对训练】2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq\r(7)，则|b|＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(7),2)C．1D．2【解析】设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cosθ，又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq\r(7)，所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－eq\f(3,2)(舍去)或|b|＝1.故选C．考点3：与向量垂直、夹角有关的问题【例3】（1）已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．（2）已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．[思路探究](1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．（2）由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．【解析】（1）∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.](2)[解]由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，①,7a2－30a·b＋8b2＝0，②))②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).【变式探究】1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．【解析】∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq\f(π,3)”，求k的值．【解析】由已知得|e1＋ke2|＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋k2)，|ke1＋e2|＝eq\r(k2e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(k2＋1)，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则coseq\f(π,3)＝eq\f(e1＋ke2ke1＋e2,|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq\f(2k,1＋k2)，即eq\f(2k,1＋k2)＝eq\f(1,2)，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f(4±\r(12),2)＝2±eq\r(3).【方法技巧】1．求向量夹角的方法（1）求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求解．（2）用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．（3）借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ＞0时，θ∈；当cosθ＜0时，θ∈，当cosθ＝0时，θ＝eq\f(π,2).考点过关一、选择题1．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若a·b<0，则△ABC是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．任意三角形【解析】由a·b<0易知〈a，b〉为钝角.故选A2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确故选B．3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．2 B．4C．6 D．12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72．∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72．∴|a|2－2|a|－24＝0．又∵|a|≥0，∴|a|＝6．4．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)【解析】由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosa，b＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－2a2,4a2)＝－eq\f(1,2)，所以a，b＝eq\f(2π,3)，故选C．5．P是△ABC所在平面上一点，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心.二、填空题6．已知e1、e2是夹角为eq\f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为____.【解析】由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)coseq\f(2π,3)＝0，解得k＝eq\f(5,4).7．(2020·全国Ⅰ卷理)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝____.【解析】因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(2＋2a·b)＝1，解得2a·b＝－1，所以|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(3).8．已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝____.【解析】设向量b和a的夹角是α，因为|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝2－2eq\r(2)cosα＝0，所以cosα＝eq\f(\r(2),2)，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8＋4－4×eq\r(2)×2×eq\f(\r(2),2)＝4，故|2a－b|＝2．三、解答题9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）(3a)·；（3）(3b－2a)·(4a＋b).【解析】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60．(2)(3a)·＝eq\f(3,5)(a·b)＝eq\f(3,5)×(－60)＝－36．(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．10．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，m＝3a－2b，n＝2a＋kb.若m⊥n，求实数k的值.【解析】因为向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×＝－3．又m⊥n且m＝3a－2b，n＝2a＋kb，所以m·n＝(3a－2b)(2a＋kb)＝6a2＋(3k－4)a·b－2kb2＝0所以6×22＋(3k－4)·(－3)－2k×32＝0，所以k＝eq\f(4,3).11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．（1）求|a＋b|；（2）求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的长度.【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×－6)＝eq\r(13).(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b上的投影向量的长度为eq\f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).12．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))有最大值.【解析】∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(QA,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(A