第04讲 圆与图形的旋转（10大考点）（原卷版）

第04讲圆与图形的旋转（10大考点）考点考点考向一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.要点：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点：同圆或等圆的半径相等.三、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.五、旋转的概念一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.六、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.七、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.考点精讲考点精讲一．圆的认识（共2小题）1．（2021秋•余姚市期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021秋•越城区期中）如图中的数轴可以度量的直径，则圆形图片的直径是（）A．5﹣1 B．5﹣（﹣1） C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣（﹣1）二．点与圆的位置关系（共2小题）3．（2022•浦江县模拟）在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是（4，0），P点的坐标是（0，3），则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A外 C．点P在⊙A上 D．不能确定4．（2021秋•诸暨市期末）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（）A．3 B．4 C．5 D．6三．确定圆的条件（共2小题）5．（2021•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．① B．② C．③ D．④6．（2020秋•秀洲区月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．四．三角形的外接圆与外心（共5小题）7．（2021秋•新昌县期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．8．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在BC上取一点D使AD＝BD，连接AD，作△ACD的外接圆⊙O，交AB于点E．（1）求证：AE＝BE；（2）若CD＝3，AB＝4，求AC的长．9．（2020•柯桥区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，在BC上取一点D，连接AD，作△ACD的外接圆⊙O，交AB于点E．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）小明编制题目是：若AD＝BD，求证：AE＝BE．请你解答．（2）在小明添加条件的基础上请你再添加一条线段的长度，编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．（根据编出的问题层次，给不同的得分）10．（2021春•永嘉县校级期末）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．11．（2022•鄞州区校级开学）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），点P是△AOB外接圆上一点，且∠AOP＝45°，OP与AB交于C点．（1）求∠BAO的度数；（2）求OC及AC的长；（3）求OP的长及点P的坐标．五．生活中的旋转现象（共1小题）12．（2021秋•沙市区校级期中）以如图的右边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是（）A． B． C． D．六．旋转的性质（共3小题）13．（2022•鄞州区校级开学）如图，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度（0＜α＜180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α＝（）A．30° B．35° C．40° D．不能确定14．（2022春•海曙区校级期中）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE．将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG．若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，则DH＝．15．（2021秋•衢江区期末）如图，E是正方形ABCD的边AB上任意一点（不与点A，B重合），△DAE按逆时针方向旋转后恰好能够与△DCF重合．（1）旋转中心是，旋转角为．（2）请你判断△DFE的形状，并说明理由．七．旋转对称图形（共2小题）16．（2021秋•上城区期末）如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形17．（2020秋•沂南县期中）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转度后能与原来图形重合．八．坐标与图形变化-旋转（共2小题）18．（2021秋•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点在方格线的格点上，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P的坐标为（）A．（1，2） B．（1，4） C．（0，4） D．（2，1）19．（2021秋•鄞州区期末）如图，平面直角坐标系中有一点A（4，2），在以M（0，3）为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，则点P的坐标是．九．作图-旋转变换（共5小题）20．（2022•北仑区校级三模）如图，在5×5的方格纸中，有△ABC，请分别按要求作图．（1）在图1中，找到一格点D，使得与阴影部分组成的新图形为轴对称，但非中心对称图形（作出一个即可）；（2）在图2中，找到一格点D，使得与阴影部分组成的新图形为中心对称，但非轴对称图形（作出一个即可）．21．（2022•海曙区校级开学）在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）△ABC的三个顶点都在格点上．①在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；②在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．（2）如图3是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点P的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由．22．（2022•文成县一模）如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，按下列要求画格点三角形．（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'．（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）．23．（2022•舟山模拟）在8x5的网格中建立如图的平面直角坐标系，平行四边形ABCD的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），C（5，0）．解答下列问题：（1）点B坐标为；（2）仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，①将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；②在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°．（保留画图过程的痕迹）24．（2022•镇海区二模）如图，十个完全相同的小矩形拼成一个大矩形，点A、B、C落在小矩形的顶点处，请在大矩形中完成下列作图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹；③作出的点只能落在小矩形的顶点或边上．（1）连结AB，在图1中找到一个点D，使∠ABD＝45°；（2）连结BC，在图2中找到一个点E，使EC⊥BC；（3）在图3中找到一个点F，使以A、B、C、F四点组成的四边形为中心对称图形．一十．利用旋转设计图案（共2小题）25．（2021•奉化区校级模拟）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（）A． B． C． D．26．（2021•慈溪市模拟）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）巩固巩固提升一、单选题1．（2020·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定2．（2021·浙江）如图，将绕点A按顺时针旋转后，得到，连结，则的度数是（）A． B． C． D．3．（2020·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，当B，C，A′在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150° B．120° C．60° D．30°4．（2021·浙江）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于，两点，直线交于点，以为圆心，的长为半径所作的弧恰好经过点，连结，则为（）A． B． C． D．5．（2021·浙江）如图，在中，，，，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（）A． B．2 C． D．46．（2021·浙江杭州市·）如图，点、、在⊙O上，，，则的度数是（）A．110° B．125° C．135° D．165°7．（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知的半径为，若点P到圆心O的距离为，则点P（）A．在内 B．在上 C．在外D．与的位置关系无法确定8．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（）A． B． C． D．9．（2021·浙江九年级期末）在《几何原本》中，记载了一种将长方形化为等面积正方形的方法：如图，延长长方形的边到E，使，以为直径作，延长交于点H，则，则以为边的正方形的面积等于长方形的面积．若，点E是中点，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题10．（2020·浙江）如图，矩形ABCD中，，，矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度，得到矩形，则__________．11．（2021·浙江）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转度，得到，使得点，，在同一条直线上，则的值为________．12．（2021·浙江九年级专题练习）如图，在矩形中，，以顶点为圆心作半径为的圆．若要求另外三个顶点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是_______．13．（2020·浙江杭州·九年级期末）在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为______，最小为_______．14．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在中，已知，，点D在边BC上，BD＝2CD．现将绕着点D按顺时针旋转一定的角度后，使得点B恰好落在初始的边上．设旋转角为，那么＝_____．15．（2020·浙江）如图，等腰三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数为_____．16．（2020·浙江九年级期中）如图，有一表盘为圆形的时钟垂直放置在水平桌面上，表盘中心点为O，在分针的转动过程中，外端点A到桌面的最小距离为，最大距离为，现在时间是14点10分，则此时分针外端点A到桌面的垂直距离为_________．17．（2021·浙江浣江教育九年级期中）如图，直线l经过的圆心O，且与交于A、B两点，点C在上，且，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与相交于另一点Q，如果，则______．18．（2021·浙江杭州·）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是_____．19．（2021·浙江九年级期末）如图，在矩形中，．将矩形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为（），得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时，_____，当是线段的三等分点时，_____．20．（2021·诸暨市开放双语实验学校九年级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，AC=10，将绕点B逆时针旋转．得到△A’BC’．点是边BC的中点，点为边AC上的动点，在绕点B逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差为________________三、解答题21．（2020·浙江）如图，为上一点，按以下步骤作图：①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．22．（2019·浙江九年级期中）如图，已知弧，利用直尺和圆规作弧所在的圆的圆心O，（要求保留作图痕迹）23．（2020·浙江九年级期中）如图，在中，，，E为边上一点，连结，将点E绕点A逆时针旋转至点D，连结，，．（1）求证：．（2）若，，求的长．24．（2020·浙江杭州·）已知AB是的弦，点C为圆上一点．（1）用直尺与圆规作；（2）作以AB为底边的圆内接等腰三角形；（3）若已知圆的半径，求所作等腰三角形底边上的高．25．（2021·浙江九年级模拟预测）有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．求证：△