16.1 第1课时 二次根式 教学设计

人教版八下16.1.1二次根式（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用二次根式是初中阶段“数与式”的重要内容之一，也是勾股定理和一元二次方程的基础．本节课的主要内容是二次根式的概念．通过本节课的学习，使学生对二次根式的定义及其双重非负性有较深刻的认识，为学习二次根式的其它性质和运算打下基础．概念解析由于学生已经学习过算术平方根的相关内容，所以二次根式的概念对于学生而言并不是一个全新的概念，二次根式是在算术平方根的基础上进行抽象得到的，把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号．在数学中，一旦对于一个旧事物给予一个新定义以后，就会产生一个新的体系．所以二次根式是脱胎于算术平方根的数学新概念．本节课的核心是让学生从解决实际问题的需要和抽象表示一类式子对二次根式的概念进行学习和掌握．思想方法数学抽象是数学的重要素养．数学概念的产生需要数学抽象．本节课遵循数学概念产生和发展的一般路径，借助实际问题，通过概括算术平方根这一类事物的特性，引出二次根式的定义，经历从特殊到一般的概念产生过程．知识类型二次根式的概念是概念性知识．由知识类型决定，教学中需要通过丰富的实例对一类问题进行概括．在数的扩充过程中，“引入一种新的数，就要研究它的运算，就要研究它的运算律”，这是研究数的一般路径．为此我们要从运算的角度提出学习任务，在分析开方运算的意义中使得学生认识被开方数为非负数的合理性，并在认知策略上需要学生养成“看到根号就要注意被开方数的符号”的习惯．教学重点二次根式的概念．教学目标解析教学目标1.在实际问题中经历二次根式概念的形成过程；2.了解二次根式的概念并会用数学符号正确表示；3.利用二次根式的非负性正确判断被开方数中字母的取值范围．目标解析达成目标1标志是学生能通过实际问题并利用算术平方根的表示形式列出式子；达成目标2标志是学生会正确识别二次根式，并正确使用数学符号表示二次根式；达成目标3标志是学生会利用二次根式的非负性正确判断被开方数为何值时，二次根式在实数范围内有意义．教学问题诊断分析具备的基础学生已较系统地学习了平方根和算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；知道了乘方和开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根；学习了整式和分式的相关概念、性质和运算．与本课目标的差距分析本节课将研究二次根式的概念和性质，目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进一步学习对数字、符号进行运算的方法，进而培养符号意识和运算能力．存在的问题本节课可能存在的问题是学生在对二次根式的理解中容易忽略对被开方数是否为非负数的判断．同时二次根式有意义即被开方数的非负性与分式有意义即分母的非零性这二者也容易混淆．应对策略1.先从实际问题出发，让学生感受到研究二次根式是实际的需要，其非负性是与实际生活密切联系的．接着由已学的平方和开平方的互逆关系出发理解被开方数只能是非负数，并通过与算术平方根的相关知识进行联系从而帮助学生对二次根式的双重非负性的理解．再通过对二次根式被开方数中字母的取值范围的讨论，加深学生的二次根式中被开方数的非负性的理解．2.将二次根式是否有意义与分式是否有意义的问题进行类比，加深学生对二者的区别．教学难点二次根式的概念以及开方式中字母的取值范围．教学支持条件分析本节课的学习内容主要是二次根式的概念，二次根式概念的学习需要类比算术平方根和字母表示数的有关知识．因此可以借助希沃授课助手、智慧教室等师生互动平台，通过不断展示学生的思维过程、概括抽象出二次根式的概念．教学过程设计课前检测1．判断下列说法是否正确：（1）－9的平方根是－3;

（）（2）49的平方根是7

；

（）（3）(－2)2的平方根是±2;

（）（4）0的平方根是

0

；

（）2．13的平方根是___________；7的算术平方根是___________．3．解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上.（1）（2）设计意图：本节课前测所必须掌握的平方根和算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根；知道了乘方和开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根；会解不等式和不等式组．新课引入1．实际出发，新课引入问题1：请根据图中所示的正方形、长方形和圆的条件，你还能求出哪些相应图形的其它相关数量？师生互动设计：学生独立思考并展示，可得到的结果有：正方形的边长cm；长方形的另一边长cm；

圆的半径cm．若结果不完整由教师提示补充．设计意图：通过具体实例让学生感知开平方运算是被广泛运用的一种运算．问题2：，，，，中，哪些式子是我们已学习的，并说出名称．师生互动设计：学生独立思考并回答是整式中的单项式，是分式．教师补充强调中m≠1．设计意图：让学生归纳概括出带有二次根号的一类代数式．问题3：观察，，有什么共同的特征？师生互动设计：学生相互交流并给出初步答案，这些式子都有．教师小结：我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根，因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数．这就是我们今天学习的二次根式，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．显然在实际几何图形中线段长度和面积已具有非负性，因此，，，这些式子都是二次根式．由此我们知道中a可以是数、还可以是一个字母或式子，而a≥0，≥0，为此二次根式具有双重非负性．设计意图：(1)借组实际几何问题，引出二次根式的定义．设置实际问题的目的是让学生感受到研究二次根式与研究整式、分式类似，都是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密．教学时，也可根据学生的实际情况，选择其它有趣的实际问题引入，以调动学生的学习兴趣．(2)对于二次根式的定义，应侧重让学生理解开方数是非负数的要求．此处从实际几何图形中线段长度和面积的非负性的同时引导学生回忆平方根的意义和特征两方面帮助学生理解这一要求．形如a(a≥0)1.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是一个字母或式子；3.形式上含有二次根号

；4.a≥0,a≥05.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.2．巩固概念问题4：根据你对二次根式的理解，请你任意选用下列数或字母构造二次根式：2，x．2，x，2x，x2，2x，x+2，x-2，2-x，x问题5：请同学们小组交流，再次判断上列式子中哪些是二次根式，哪些不是，并说明理由．问题6：若x是二次根式，显然要满足x≥0．思考：当x是怎样的实数时，x-2在实数范围内有意义？由x-2≥0，得x≥2．当x≥2时，x-2在实数范围内有意义．问题7：当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？（1）-2x；（2）2-x；（3）2x巩固概念学以致用3．学以致用，巩固提高问题8：自我挑战，完成下列问题：（1）当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？①；②；③（2）已知，求x+y的值．师生互动设计：学生独立完成，并展示．教师讲评．其中（1）③可进行相应变式“”让学生再次回答；（2）的讲解注重对二次根式双重非负性的归纳．设计意图：(1)巩固练习，通过对二次根