第07讲 等可能条件下的概率（3大考点）（解析版）

第07讲等可能条件下的概率（3大考点）考点考点考向一．可能性的大小随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．二．概率公式（1）随机事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．三．几何概率所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P＝g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．考点考点精讲一．可能性的大小（共3小题）1．（2022•广陵区一模）下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（）A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．【解答】解：A．瓮中捉鳖，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；B．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；C．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．2．（2022春•武进区期中）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（）A．1 B．3 C．5 D．10【分析】摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．3．（2022•镇江模拟）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能；（2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．【解答】解：（1）列表：三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率＝＝；B采用的方案使自己乘上等车的概率＝＝，因为＜，所以B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大．【点评】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比．二．概率公式（共7小题）4．（2022•淮阴区校级一模）下列说法中，正确的是（）A．为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用抽查的方式 B．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 C．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件【分析】由调查的方法、方差的意义、概率公式以及随机事件的定义分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用普查的方式，故选项A不符合题意；B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故选项B不符合题意；C、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，故选项C符合题意；D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查的是概率公式、随机事件以及方差的意义等知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．（2022春•淮阴区期末）在﹣2、﹣1、0、1、2这五个数中随机取出一个数，取出的数是1的概率为．【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：从﹣2、﹣1、0、1、2这五个数中随机取出一个数，取出的数是1的概率为．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．6．（2022•海陵区二模）某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下（以下数据来源于国际航空飞行安全网）：信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图1；信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图2；根据以上信息，解决下列问题：（1）根据以上信息分析可知，A类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强；（填写字母）（2）近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的13.57%；（横线上的数精确到0.01）（3）记C类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，记E类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，则＞；（填“＞”、“＝”或“＜”）（4）请结合图1和图2的相关信息，给某航空公司提供一条关于预防飞行事故发生的具体措施．【分析】（1）分析条形统计图即可得出答案；（2）根据条形统计图进行计算即可得出答案；（3）应用方差的性质进行求解即可得出答案；（4）根据折线统计图和条形统计图进行分析即可得答案．【解答】解：（1）由条形图可知，A类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强．故答案为：A；（2）由条形图可知近百年来飞机发生事故总数为：2+8+1+205+25+24+5+131+7+2+26+1+85+8+93+27＝560，近百年来飞机发生重大事故总数为：2+1+25+5+7+1+8+27＝76，所以近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的≈13.57%；故答案为：13.57%；（3）由折线统计图可知，C类危险天气导致飞行事故的月频数的波动性大于E类危险天气导致飞行事故的波动性，所以＞；故答案为：＞．（4）在每年的1月份和12月份要关注天气变化预防C类危险天气导致飞行事故．【点评】本题主要考查了折线统计图和条形统计图及方差，熟练掌握折线统计图和条形统计图及方差的性质进行求解即可得出答案．7．（2022•高邮市模拟）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．先从袋子中取出m（0＜m≤4）个红球，再放入n个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是0.8，则m与n的关系为4m+n＝10．【分析】根据概率公式列式计算即可．【解答】解：根据题意得：＝0.8，整理得：4m+n＝10，故答案为：4m+n＝10．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2022•太仓市模拟）一个不透明的口袋中放入3个红球，2个黑球，它们除颜色外其他均相同．摇匀口袋后随机摸取一个小球是红球的概率为．【分析】直接根据概率公式求解．【解答】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．9．（2022•射阳县一模）袋中装有9个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸出一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有3个．【分析】根据概率公式列方程求得n的值即可．【解答】解：由题意得：＝，解得：n＝3，经检验n＝3是原方程的解，故答案为：3．【点评】本题考查了概率公式，用到知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D．（1）快递包装纸盒应投入A垃圾箱；（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是；（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为D）随机投放，求她投放正确的概率．【分析】（1）快递包装纸盒属于可回收物；（2）根据概率公式求解即可；（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）快递包装纸盒应投入A垃圾箱，故答案为：A；（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是，故答案为：；（3）画树状图如下：由树状图知，共有16种等可能结果，其中她投放正确的只有1种结果，∴她投放正确的概率为．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．三．几何概率（共10小题）11．（2022•徐州）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A． B． C． D．【分析】如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为＝，故选：B．【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．12．（2022•苏州）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为＝，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，故选：A．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．13．（2022•丰县二模）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是．【分析】用白色区域的面积÷整个图形的面积即可得出答案．【解答】解：如图，设每个小正方形的边长为1，整个图形的面积＝4×4＝16，白色区域的面积＝×16＝8，P（白色区域）＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了几何概率，用白色区域的面积÷整个图形的面积是解题的关键．14．（2022•姜堰区二模）如图，一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的（若没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××2×1＝4，∴任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是．故答案为：．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．15．（2022•苏州一模）如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为．【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可求得概率．【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4（cm2），黑色部分的总面积为2cm2，∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了几何概率，解决本题的关键是掌握概率公式．16．（2022•工业园区模拟）如图，若随机向8×8正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．【解答】解：∵S总＝8×8＝64，由平移可得S阴影＝5×5＝25，∴针尖落在阴影部分的概率为25÷64＝．故选：D．【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．17．（2022•兴化市一模）如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据概率公式求解即可．【解答】解：观察图形可知，阴影部分是大圆面积的一半，则该点取自阴影部分的概率是．故选：D．【点评】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．18．（2022•亭湖区校级一模）为积极配合学校防疫工作，小明在纸上打印面积为100cm2的正方形核酸采样码，若黑色部分的总面积为70cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为．【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可得答案．【解答】解：∵打印面积为100cm2，黑色部分的总面积为70cm2，∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了几何概率，解题关键是掌握概率公式．19．（2022•工业园区校级模拟）汉代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．【解答】解：设两直角边分别为x，2x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，所以S大正方形＝5x2，S小正方形＝x2，则针尖落在阴影区域的概率为＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．20．（2022•苏州模拟）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是．【分析】直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出飞镖落在阴影区域的概率．【解答】解：（3+3+1）÷16＝．故飞镖落在阴影区域的概率是．故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·江苏）某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，恰好是男生的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据男女生人数代入概率公式求解即可．【详解】解：∵某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，∴任意抽一名学生干部去参加一项活动，恰好是男生的概率是：，故答案选：D．【点睛】此题属于简单事件的概率问题，根据人数代入公式求解即可，难度一般．2．（2021·江苏九年级期末）三（1）班有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【答案】C【分析】用女生人数除以总人数即可．【详解】解：∵三（1）班有男生30名，女生20名，∴三（1）班总人数为50名，∴从该班随机找一名学生是女生的概率为：，故选：C．【点睛】本题主要考查概率公式的简单运用，熟知概率计算方法是解题的关键．3．（2021·江苏海门市·九年级期末）一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外其它都相同，则事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的时间，即可得出答案．【详解】解：∵一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，∴事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件．∴从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球的概率是1故选D．【点睛】此题主要考查了利用必然事件求概率，正确掌握相关定义是解题关键．4．（2021·江苏海门市·九年级期中）一个口袋中装有2个红球，m个绿球，n个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出一个球是红球的概率是，则m＋n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据概率计算公式进行求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：随机摸出一个球是绿球的概率为，∴，∴故选C．【点睛】本题主要考查概率计算公式，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．二、填空题5．（2021·江苏泰兴市·九年级期末）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．【答案】【分析】用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率．【详解】解：S阴影＝π（32﹣22）＝5π（cm2），所以掷中阴影部分的概率是，故答案为：．【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．6．（2021·江苏玄武区·九年级期中）一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件A，摸出的球不是黄球记为事件B，若P（A）＝2P（B），则m与n的数量关系是________．【答案】m+n＝3【分析】根据概率公式求出摸到黄球和摸不到黄球的概率，再根据P（A）＝2P（B），列出关系式，然后求解即可得出答案．【详解】解：∵一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，∴任意摸出一个球，是黄球的概率P（A）＝，摸出的球不是黄球的概率P（B）＝∵P（A）＝2P（B），∴，∴m+n＝3，故答案为：m+n＝3．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式.7．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．【答案】3【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．【详解】解：（1）假设袋中红球个数为1，此时袋中由1个黄球、1个红球，搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．（2）假设袋中的红球个数为2，列树状图如下：由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，（3）假设袋中的红球个数为3，画树状图如下：由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，所以放入的红球个数为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题8．（2021·沭阳县修远中学九年级月考）4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆．将印有图案的一面朝下，混合均匀．（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为；（2）从中随机抽取两张，求抽到的图案都是中心对称图形的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为，故答案为：；（2）分别用A、B、C、D表示正三角形、菱形、正五边形、圆，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有2种情况，∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为＝．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成的事件，树状图法适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．9．（2021·江苏苏州工业园区·）某电影院有A、B、C三个不同出口，可随机选择其中的一个离场．（1）离场时，小马选择A出口的概率是________；（2）若小马与小明一起去看电影，请用列表或树状图的方法求出他们选择不同出口离场的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和小马与小明选择不同出口离场的情况数，然后利用概率公式即可求解．【详解】解：（1）A、B、C三个不同出口，随机选择其中的一个离场，则小马选择A出口的概率是；（2）根据题意列表如下：由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小马与小明选择不同出口的有6种，则他们选择不同出口离场的概率为=．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．10．（2021·江苏海门市·九年级期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，请用画树状图法求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）三辆车全部直行；（2）恰好只有两辆车向左转．【答案】（1），树状图见解析；（2）【分析】列举出所有情况．（1）看三辆车全部直行的情况占所有情况的多少即可；（2）看两辆车向左转的情况占所有情况的多少即可；【详解】解：（1）用树状图表示出三辆车经过该十字路口时所有可能出现的情况如图：由树状图可以看出，三辆车经过该十字路口时所有等可能出现的情况共有27种．三辆车全部继续直行的结果只有1种，所以P(三辆车全部继续直行)＝.（2）两辆车向左转的结果有6种，所以P(两辆车向左转，一辆车向右转)＝＝.【点睛】本题主要考查了用树状图法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解即可得到答案.11．（2021·江苏九年级期末）三张外形、质地相同的纸片，上面分别写着“都”、“梁”、“阁”三字．从三张纸片中分三次每次腿机抽取一张（抽取后不放回），依次放在桌上排列．（1）第一次抽到“阁”字的概率为；（2）用画树状图或列表等方法求三张纸片恰好组成“都梁阁”的概率．【答案】（1）；（2），图见详解．【分析】（1）第一次抽有三种情况，抽到“阁”字为其中的一种情况，故概率为；（2）树状图见详解，据此可都得到概率；【详解】解：法一：列树状图如下：根据树状图可知三张纸片恰好组成“都梁阁”的概率为；【点睛】此题考查利用树状图或列表法求概率，难度一般，弄清放回与不放回模型的区别是关键．12．（2021·江苏镇江·中考真题）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．【答案】【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图得：共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，所以这三人在同一个献血站献血的概率为．【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适台两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（2021·江苏海门市·九年级期中）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表：社团名称A（环保义工）B（绿植养护）C（酵素制作）D（回收材料）E（垃圾分类）人数4m16n4请你根据以上信息解答下列问题：（1）填空：m＝；n＝；p＝；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于度；（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团？（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．【答案】（1）12，4，10，36；（2）画图见解析，240名；（3）【分析】（1）根据B所占的百分比可求出，利用总人数减去其余人数可求出，利用总百分比减去其余占比可求出，根据所占圆的百分比可求出圆心角度数；（2）可由（1）中得到的数据作图，根据回收材料社团的百分比列式运算即可求得有多少名学生意愿参加回收材料社团；（3）列出树状图求解即可．【详解】（1）(人)(人)部分扇形的圆心角=故答案为：12,4,10,36（2）2400×10%＝240答：全校约有240名学生意愿参加回收材料社团．（3）从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有25种，并且发生的可能性相同，其中选择同一社团项目的可能性有5种，∴P（2人选择同一社团项目）＝【点睛】本题主要考查了统计图，树状图求概率等知识点，利用条形统计图统计图和扇形统计图获取相关信息是解题的关键．14．（2021·江苏九年级期中）有三张正面分别标有数字1，2，3的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为；（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．【答案】（1）；（2）两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率为．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和等于5的结果，再由概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为；故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字和等于5的结果有2个，∴两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．15．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级）一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出的球中有红球的概率（用树状图或列表法）；（2）若这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出的球中有红球的概率是（用含n的代数式表示）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意列出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）直接根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）记袋中的3个白球分别为白1，白2，白3，从袋中随机摸出2个球，共有6种等可能的情况，分别是（红，白1）（红，白2）（红，白3）（白1，白2）（白1，白3）（白2，白3），满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率是；（2）当袋子当中有个球时，摸出红球的概率是；当袋子当中有个球时，摸出红球的概率是；当袋子当中有个球时，摸出红球的概率是；当这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（2021·连云港市新海实验中学）阅读对话，解答问题：（1）试用树状图或列表法写出满足关于x的方程的所有等可能结果；（2）在（1）中方程有两个实数根的概率是．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）分2步实验列举出所有情况即可；（2）看△≥0的情况数占总情况数的多少即可．【详解】（1）如图所示：所有可能结果为：−1，1；−1，2；1，−1；1，2；2，1；2，−1；∴①x2＋2x＋1＝0；②x2＋2x−1＝0；③x2＋x＋2＝0；④x2＋x−1＝0；⑤x2−x＋2＝0，⑥x2−x＋1＝0；（2）对于①△=4-4=0；对于②△=4+4=8；对于③△=1-8=-7；对于④△=1+4=5；对于⑤△=1-8=-7；对于⑥△=1-4=-3；共6种情况，其中①②④3个方程有解，所以概率为．故答案为：．【点睛】本题结合一元二次方程的解的问题考查概率问题；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．一元二次方程有解，根的判别式为非负数．17．（2021·苏州高新区第五初级中学校）为了培养学生的读书兴趣，进而养成终身阅读的良好习惯，最新语文统编教材在七至九年级安排了必读名著及选读名著书目，其中在九年安排的必读篇目为《艾青诗选》，《水浒传》、《儒林外史》、《简爱》，为了了解学生对这几本名著的喜爱情况，某校语文老师李老师在自己所教的九年级5班进行了调查，被调查的学生必须从《艾青诗选》（记为A），《水浒传》（记为B）、《儒林外史》（记为C）、《简爱》（记为D）中选择自己最喜爱的一本名著，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数；（3）若2021年中考名著考查篇目将从九年级必读的四本名著中随机选取两本，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到《水浒传》和《简爱》的概率．【答案】（1）60名；（2）统计图见解析，84°；（3）【分析】（1）由“A”的人数和所占的百分比求出共调查的学生；（2）求出“B”和“D”的人数，补全条形统计图，由360°乘以“D”所占的百分比求出D”所在扇形圆心角的度数；（3）画树状图，共有12个等可能的结果，刚好选到《水浒传》和《简•爱》的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）18÷30%=60（名），即在这项调查中，共调查了60名学生；（2）条形统计图中，“B”的人数为60×20%=12（名），“D”的人数为60-18-12-16=14（名），补全条形统计图如图：扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数为360°×=84°；（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，刚好选到《水浒传》和《简•爱》的结果有2个，∴刚好选到《水浒传》和《简•爱》的概率为=．【点睛】本题考查了用列表与树状图求概率问题；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．也考查了扇形统计图和条形统计图．18．（2021·江苏苏州工业园区·九年级月考）春节期间，波波和小言相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没·狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没·狂野大陆》表示为D．（1）波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是__________；（2）波波和小言制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），两人分别转动转盘一次，如果指针转到相同的区城，那他们就看这个区域所代表的电影．请用树状图或列表法表示两人观看同一部电影的概率是多少？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）共有四部电影，分别是《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没•狂野大陆》，则波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是.故答案为：；（2）列表如下：由表知共有16种等可能结果，其中两人观看同一部电影的有4种结果，所以两人观看同一部电影的概率为．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（2021·苏州市胥江实验中学校九年级月考）一个不透明的布袋里装有6个白球，2黑球和若干个红球．它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球的个数________；（2）小亮和小丽将布袋中的白球取出5个，利用剩下的球进行摸球游戏．他们约定：先摸出1个球后不放回，再摸出1个球，若两个球中有红球则小亮胜，否则小丽胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图说明理由．【答案】（1）1；（2）公平，理由见解析【分析】（1）设布袋里红球有个，根据“白球的概率为”可得关于的分式方程，解之可得答案；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）设布袋里红球有个，根据题意，得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，所以布袋里有1个红球；（2）列表如下：白黑黑红白（白，黑）（白，黑）（白，红）黑（黑，白）（黑，黑）（黑，红）黑（黑，白）（黑，黑）（黑，红）红（红，白）（红，黑）（红，黑）由表知，共有12种等可能结果，其中两个球中有红球的有6种情况，两个球中没有红球的有6种情况，∴P小亮胜=P小丽胜=，∴这个游戏公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（2021·江苏泰兴市·九年级期末）不透明的口袋里装有红、黄两种颜色的小球（除颜色不同外，其它都相同），其中红球2个，现在从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为．（1）求袋中有几个黄球？（2）第一次摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．【答案】（1）1个；（2）【分析】（1）设袋中黄球的个数为x个，由题意得出方程，解方程即可；（2）画树状图，共有6个等可能的结果，两次摸出的都是红球的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）设袋中黄球的个数为x个，由题意得：解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，答：袋中黄球的个数为1个．（2）画树状图如图：共有6个等可能的结果，两次摸出的都是红球的结果有2个，∴两次摸出的都是红球的概率为．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和画树状图求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21．（2021·江苏玄武区·九年级期中）甲、乙两名同学分别从《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影中随机选择一部观看．（1）甲同学选择《夺冠》的概率是；（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人选择同一部电影的情况，再利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）∵有三部不同的电影，恰好选择《夺冠》的有1种情况，∴甲同学选择《夺冠》的概率是；故答案为：；（2）《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影分别用A、B、C表示，画树状图如下：共有9种等可能的情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的有3种，则甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率是．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，正确列表或画出树状图，掌握概率公式是解题的关键．22．（2021·江苏南通市·南通田家炳中学九年级）某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A“立定跳远”、B“掷实心球”、C“耐久跑”、D“快速跑”四个．规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项C、D中随机抽取，每项10分，满分30分．（1）请用列表或树状图，求甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率；（2）据统计，九（1）班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7①这组成绩的中位数是_________，平均数是________；②该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C“耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为________；（3）九（1）班有50名学生，下表是单项目成绩统计，请计算出该班此次体能测试的平均成绩项目A立定跳远B掷实心球C耐久跑D快速跑测试人数（人）50502030单项平均成绩（分）9878【答案】（1）图表见解析，；（2）①7.5，7.5；