高考数学复习 专题一 高频客观命题点 1.5 不等式与线性规划练习 文-人教版高三数学试题

1.5不等式与线性规划高考命题规律1.每年必考考题,以线性规划为主要考点.2.填空题或选择题,5分,难度中高档.3.全国高考有6种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1不等式的性质与解不等式8命题角度2均值不等式命题角度3简单的线性规划问题151414137751414151311命题角度4非线性规划问题命题角度5含参数的线性规划问题命题角度6利用线性规划解决实际问题16命题角度1不等式的性质与解不等式高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅰ·8)若a>b>0,0<c<1,则()A.logac<logbc B.logca<logcbC.ac<bc D.ca>cb答案B解析对于A,logac=1logca,log∵0<c<1,∴对数函数y=logcx在(0,+∞)上为减函数,∴若0<b<a<1,则0<logca<logcb,1logca>1lo若0<b<1<a,则logca<0,logcb>0,1logca<1lo若1<b<a,则logca<logcb<0,1logca>1lo故A不正确;由以上解析可知,B正确;对于C,∵0<c<1,∴幂函数y=xc在(0,+∞)上为增函数.∵a>b>0,∴ac>bc,故C不正确;对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=cx在R上为减函数.∵a>b>0,∴ca<cb,故D不正确.2.(2014四川·5)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.ac>bdC.ad>b答案D解析∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴0<1-即1-d>又∵a>b>0,∴a-d>b典题演练提能·刷高分1.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|y=lgx},则A∩B=()A.[-1,+∞) B.(0,1]C.[-1,0) D.(0,3]答案D解析由题意知A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},B={x|y=lgx}={x|x>0},∴A∩B={x|0<x≤3}=(0,3].故选D.2.已知a<b<0,则下列不等式中恒成立的是()A.1a>1C.2a>2b D.a3>b3答案A解析∵a<b<0,∴1a>1b,故A正确;-a>-b,故B不正确;函数y=2a是增函数,故2a<2b,故C不正确;函数y=x3是增函数,故3.实数x,y满足x>y>0,则()A.1x>1C.12x>12答案B解析选项A中,由x>y>0得1x-1y=y-xxy<0,所以1x<1y,故A不正确.选项B中,将不等式两边平方得x+y-2xy<x-y,整理得y<xy,所以y<x,由于x>y>0,所以上式成立,故B正确.选项C中,由x>y>0得12x<124.设全集U=R,集合A=xx+13-x≥0,B=x14≤2x≤8,则(∁UA)A.(-1,3) B.[-2,-1]C.[-2,3) D.[-2,-1)∪{3}答案D解析由题意得A=xx+13-x≥0={x|-1≤x<3},B={x|2-2≤2x≤8}∴∁UA={x|x<-1或x≥3},∴(∁UA)∩B={x|-2≤x<-1}∪{3}.故选D.5.已知c3a<cA.|b|>|a| B.ac>bcC.a-bc>0 D.ln答案D解析因为c3a<c3b<0,当c<0时,1a>1b>0,即b>a>0,∴|b|>|a|,ac>bc,a-b6.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.(-2,2] D.(-2,2)答案C解析当a-2=0,即a=2时,原不等式变为-4<0,显然不等式恒成立,此时符合题意.当a-2≠0,即a≠2时,因为对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,所以a解得a<2,-2<a综上可得-2<a≤2.故选C.命题角度2均值不等式高考真题体验·对方向1.(2019天津·13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2答案9解析(=2xy+5xy=2∵x+2y=4,∴4≥22xy∴2xy≤4.∴1xy∴2+5xy≥2+52.(2017江苏·10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.

答案30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,当且仅当x=900典题演练提能·刷高分1.函数f(x)=x2+4|A.3 B.4 C.6 D.8答案B解析f(x)=x2+4|x|=|x|+42.若lga+lgb=0且a≠b,则2a+1b的取值范围为A.22,+∞ B.22,+∞C.22,3∪(3,+∞) D.22,3∪(3,+∞)答案A解析∵lga+lgb=0且a≠b,∴lgab=0,即ab=1.∴2a+1b·ab=2b+a≥22ab=22,当且仅当a=2b=∴2a+1b的取值范围为22,+3.已知三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线,则1+2aa+2+bb(A.11 B.10 C.6 D.4答案A解析由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线得-21+b=-1+2a-1,∴2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba4.已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为.

答案2+3解析由3a+b=2ab得32b+12a=1,故(a+b)32b+15.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是元.

答案1600解析设长方体的底面的长为xm,则宽为4xm,总造价为y元,则y=4×200+2×100×x+4x≥800+400×x·4x=1600,当且仅当x=4x6.已知正实数a,b满足2a>b,且ab=12,则4a2+答案23解析由题意得2a-b>0,4a2+b2+12a-b=4a命题角度3简单的线性规划问题高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅲ·11)记不等式组x+y≥6,2x-y≥0表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,①p∨q②p∨q③p∧q④p∧q这四个命题中,所有真命题的编号是()A.①③ B.①② C.②③ D.③④答案A解析如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分.作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所以p真,q假,p假,q真,故①③真,②④假.故选A.2.(2019天津·2)设变量x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-A.2 B.3 C.5 D.6答案C解析画出可行域如图,平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,由x=-1,x-∴zmax=-4×(-1)+1=5.故选C.3.(2017全国Ⅲ·5)设x,y满足约束条件3x+2y-6≤0A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]答案B解析画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A(0·3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.4.(2019北京·10)若x,y满足x≤2,y≥-1,4解析作出可行域如图阴影部分所示.设z=y-x,则y=x+z.当直线l0:y=x+z经过点A(2,-1)时,z取最小值-3,经过点B(2,3)时,z取最大值1.答案-315.(2019全国Ⅱ·13)若变量x,y满足约束条件2x+3y-6≥0,x+答案9解析画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.6.(2018全国Ⅰ·14)若x,y满足约束条件x-2y-2≤0,x-y+1≥0答案6解析作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12作直线y=-32x显然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+0=6.7.(2018全国Ⅱ·14)若x,y满足约束条件x+2y-5≥0,x答案9解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.8.(2018全国Ⅲ·15)若变量x,y满足约束条件2x+y+3≥0,x-2答案3解析画出可行域,如图中阴影部分所示.又z=x+13y⇒y=-3x+3z∴当过点B(2,3)时,zmax=2+13×3=3典题演练提能·刷高分1.(2019四川内江高三三模)若x,y满足x+y≤1,x-yA.1 B.-1C.2 D.-2答案C解析画出可行域(如图),由z=x-2y,得y=12x-12由图可知,当直线l经过点A(0,-1)时,z最大,且最大值为zmax=0-2×(-1)=2.故选C.2.(2019天津和平区高三模拟)设x,y满足约束条件x-y-A.-13,1 B.[-3,1]C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.-37,1答案B解析画出不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数z=y+4x+6表示可行域内的点与点P(-6,-4)之间连线的斜率,数形结合可知目标函数在点C(-1,1)处取得最大值1+4目标函数在点A(-5,-7)处取得最小值-7+4-5+6=-3,故目标函数的取值范围是[-3,1]3.若实数x,y满足2x-y+1≥0,A.0 B.1 C.23 D.答案B解析作可行域如图,则|x-y|=y-x,所以直线z=y-x过点A(0,1)时,z取最大值1,故选B.4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且实数x,y满足y≥0,y≤x,x+y答案9解析∵a=(1,2),b=(x,y),∴z=a·b=x+2y.所以y=-12x+12z,作出不等式组y由y=x,x+y-3=0得此时(x+2y)max=32+2×35.若实数x,y满足不等式组y≥0,2x-y+3≥0,答案-3解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.①当x≥0时,z=2y-|x|=2y-x,可得y=x2平移直线y=x2+z2,结合图形可得当直线经过可行域内的点此时z取得最小值,且zmin=-1.②当x<0时,z=2y-|x|=2y+x,可得y=-x2+z2,平移直线y=-x2+z2,结合图形可得当直线经过可行域内的点A-32,0时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=-3命题角度4非线性规划问题高考真题体验·对方向1.(2016山东·4)若变量x,y满足x+y≤2,2x-3A.4 B.9 C.10 D.12答案C解析如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.由x+y=2,2x所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.2.(2015全国Ⅰ·15)若x,y满足约束条件x-1≥0,x答案3解析画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使yx最大,则y-0x-0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点典题演练提能·刷高分1.(2019四川绵阳三诊)已知变量x,y满足x≥0,|y|≤1,xA.10 B.5 C.4 D.2答案A解析作出变量x,y满足x≥0由x+y-2=0,y=-1,解得A由数形结合可得最大距离为OA=32+(-1)2=故选A.2.已知实数x,y满足x-y+1≥0,x+yA.-∞,12 B.-∞,14C.(-∞,1] D.(-∞,2]答案A解析作出不等式组对应的平面区域如图,由图象知x≥0,由不等式kx-y+k≤1恒成立,得k(x+1)≤1+y,即k≤y+1设z=y+1x+1,则z的几何意义是区域内的点到定点D(-由图象知AD的斜率最小,由x+y-此时z的最小值为z=0+11+1=12,即即实数k的取值范围是-∞,12.故选A.3.已知变量x,y满足x-y≥2,x+2y+2≥0,2x-yA.45-455C.45+33答案B解析由题意,可作出约束条件的区域图,如图所示,由方程x2+y2+6y-k=0,得x2+(y+3)2=9+k,由此问题可转化为求区域图内的点到定点C(0,3)的距离最小时实数k的值,结合图形,点C到直线x+2y+2=0的距离d=|0-2×3+2|5=45为所求,则有9+k=4.(2019河南鹤壁高中模拟)已知A(2,1),设P(x,y)为可行域x≥0,3x+2y≤7A.-2 B.2 C.4 D.5答案C解析由题意作出其平面区域,由3解得M(1,2).OP·OA=z=2x+y,由线性规划知识知经过点M时,z取得最大值,此时x=1,y=2时,z=2x+y有最大值2×1+2=5.若x,y满足约束条件x-1≥0,x答案3解析作出可行域,如图△ABC内部(含边界),P(-1,0),A(1,1),C(1,3),yx+1表示可行域内点(x,y)与P(-1,0)的连线的斜率,kPC=3-01命题角度5含参数的线性规划问题高考真题体验·对方向1.(2015重庆·10)若不等式组x+y-2≤0,x+2A.-3 B.1 C.43 D.答案B解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.由x+y-2=0,x由x+y则B(1-m,1+m).同理C2-4m3,2+2m3因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=12·(2+2m)·(1+m)-2+2m3=(m2.(2014全国Ⅰ·11)设x,y满足约束条件x+y≥a,x-A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3答案B解析当a=0时显然不满足题意.当a≥1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,因此当直线y=-1ax+1az经过可行域中的Aa-12,a+12时,z当0<a<1时,画出可行域(如图(2)所示的阴影部分),显然直线y=-1ax+1a当a<0时,画出可行域(如图(3)所示的阴影部分),图(1)图(2)又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,显然直线y=-1ax+1az综上,a的值为3,故选B.图(3)典题演练提能·刷高分1.(2019湖南师范大学附中高三模拟)若x,y满足约束条件x+2y-2≥0,x-A.-2,12 B.-13,0∪0,12C.0,12 D.-13,1答案A解析如图,可行域为△ABC.当a=0时,符合题意;当a>0时,由z=ax+y变形得y=-ax+z,可知-a>-12,得0<a<12;当a<0时,由z=ax+y变形得y=-ax+z,可知-a<2,得-2<a<0.综上得-2<a<122.实数x,y满足x≤0,y≤0,x+A.c≤-1 B.c≥-1C.c≤-2 D.c≥-2答案A解析作出可行域,如图所示,令z=x-y,则y=x-z,当直线经过B(0,c)时,z=x-y取到最大值,∴0-c≥1,即c≤-1,故选A.3.已知x,y满足约束条件x-y+2≥0,x≤1,x+y+答案1解析画出不等式组表示的平面区域,如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值,所以zmax=1+3×3=10,zmin=1+3×(-1-k)=-2-3k,根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.4.(2019广东广州高三模拟)已知关于x,y的不等式组2x-y+1≥0,x+m≤0,y+2≥0,表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足答案-∞,43解析作出x,y的不等式组2x-交点C的坐标为(-m,-2),直线x-2y=2的斜率为12,斜截式方程为y=12x-要使平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则点C(-m,-2)必在直线x-2y=2的下方,即-2≤-12m-1,解得m≤2,并且A在直线的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m≥-12m-1,解得m≤43,故m的取值范围是-∞,4命题角度6利用线性规划解决实际问题高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅰ·16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

答案216000解析设生产产品Ax件,生产产品By件,由题意得1目标函数z=2100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z由5x+3所以zmax=2100×60+900×100=216000.2.(2017天津·16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为70该二元一次不等式组所表示的平