第07讲 比例线段（4大考点）（原卷版）

第07讲比例线段（4大考点）考点考点考向一、成比例线段的概念1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．二、比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.三、黄金分割如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）四、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．五、平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF//BC．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做交AC于点，再证明与F重合即可．考点精讲考点精讲一．比例的性质（共7小题）1．（2022•鄞州区校级开学）已知＝5，则的值是（）A． B．﹣ C． D．2．（2022•萧山区二模）若2m＝3n，则的值是．3．（2021秋•丽水期末）已知2a＝3b，求下列各式的值．（1）；（2）．4．（2021秋•温州月考）计算：（1）已知3：x＝5：2，求x的值．（2）已知＝，y≠0，求的值．5．（2021秋•余杭区月考）已知，求的值．6．（2022•鄞州区校级开学）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．7．（2021秋•江干区校级期中）根据条件求值．（1）若，求的值；（2）若，求的值．二．比例线段（共7小题）8．（2021秋•宁波期中）下面四组线段中，成比例的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a＝9．（2021秋•西湖区校级月考）已知线段a是线段b，c的比例中项，b＝4cm，c＝9cm，则a为（）cm．A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣610．（2021秋•下城区校级月考）比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地间的图上距离为2厘米，则两地间的实际距离是（）千米．A．0.4 B．4 C．40 D．40011．（2022•钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于．12．（2021秋•衢江区期末）在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两地相距20cm，则它们的实际距离为．13．（2021秋•鹿城区校级期中）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．14．（2021秋•射阳县校级期末）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．三．黄金分割（共9小题）15．（2022•富阳区一模）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A． B． C．3﹣ D．﹣116．（2021秋•舟山期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（）米．A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.8217．（2021秋•嘉兴期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝4，则AP的值为．18．（2018秋•长兴县期末）若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm（结果保留根号）．19．（2021•金东区校级模拟）黄金比，这个比用四舍五入法精确到0.01的近似数是．20．（2022•西湖区模拟）已知线段AB＝2，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP﹣BP＝．21．（2021•西湖区校级三模）如图，已知矩形ABCD．（1）作出正方形ABFE，点E，点F分别在线段AD，BC上（尺规作图）；（2）若AD＝8，点E为线段AD的黄金分割点且AE＞ED，求AE的长．22．（2021秋•拱墅区校级期中）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c．（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．23．（2021•杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？四．平行线分线段成比例（共10小题）24．（2021秋•温州期末）如图，l1，l2，l3是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（）A． B． C． D．25．（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（）A． B． C． D．26．（2022•拱墅区校级开学）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，BD＝4，AE＝3，则AB的长为．27．（2022•镇海区校级开学）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为．28．（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为．29．（2021•西湖区校级三模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝；若∠CMF＝45°，则＝．30．（2021秋•拱墅区月考）如图，直线a∥b∥c，＝5，则＝．31．（2021秋•定海区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD＝AD：DB．32．（2021秋•下城区校级期中）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝10，EF＝9，求DE的长．33．（2021秋•嵊州市校级月考）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·温州市实验中学九年级月考）如图，已知AB∥CD∥EF且AC∶CE＝3∶4，BF＝14，则DF的长为（）A．8 B．7 C．6 D．32．（2021·温州市实验中学九年级月考）若＝，则的值为（）A． B． C． D．3．（2019·浙江温州·九年级期末）如图，在中，E，F，G依次是对角线上的四等分点，连结并延长交于点M，连结并延长交于点H．若，的长为（）A．4 B．6 C．7 D．84．（2020·浙江九年级期末）已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC•BAC． D．5．（2021·浙江九年级期末）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（）A． B． C． D．二、填空题6．（2021·杭州市采荷中学九年级二模）线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．7．（2021·浙江九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．8．（2021·浙江衢江·九年级期末）数2和8的比例中项是___．9．（2021·温州市实验中学九年级月考）若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．10．（2020·浙江拱墅·树兰中学九年级月考）如图，在中，是边上的一点，为的中点，联结并延长交于点，则__________11．（2021·浙江衢州·）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且，点E在AD上，，将这副三角板整体向右平移_______个单位，C，E两点同时落在反比例函数的图象上．三、解答题12．（2019·浙江温州·九年级期末）（1）已知，求的值．（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．13．（2021·浙江杭州·）如图，AD平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且．（1）求证：．（2）若，求BD的长．14．（2020·浙江九年级期末）已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接．（1）求证：；（2）求的值；15．（2021·浙江婺城·）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在图1中，过点B作AB的垂线．（2）在图2中，过点C作AB的垂线．16．（2021·浙江宁波·九年级一模）如图①，在的方格图中，矩形的顶点均在格点上，已知，，点为的中点，连结．（1）求的长；（2）请用无刻度的直尺在边上找一点，使得，并求的长；（3）如图②，在（2）的条件下，点为线段上一动点，过作，分别交，于点，，连结和，求的