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构造函数方法在导数中的应用泉州现代中学高中数学组在导数的学习中,我们有时需根据对条件和结论的分析,构造一个恰当的辅助函数,通过导数知识对辅助函数的性质进行探讨,化难为易,从而使原问题得到解决.这种方法称为构造函数法,该方法在比拟大小、证明不等式、求参数的取值范围等问题中有着广泛的应用。证明不等式是导数的一个非常重要的应用，导数法解决这些问题的关键是根据不等式的结构特点，构造恰当的辅助函数，进而通过研究函数的单调性和最值，最终解决问题。运用构造函数法来解题是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。具体地说构造函数法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的函数，并借助它认识与解决原问题的一种思想方法。通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而到达解题目的。本文主要运用构造辅助函数的方法来比拟大小、证明不等式、求参数的取值范围等问题。构造函数比拟大小对任意，函数的导数存在，假设且，，那么的大小关系为解析：令，那么，所以在Ｒ上为增函数，因为，所以。故点评：此类问题，通常需要根据条件提供的与有关的不等式，结合需比拟大小的两个表达式的特征构造函数，利用所构造函数的单调性进行大小比拟。构造函数证明不等式例２：设函数,它们的图象在轴上的公共点处有公切线.求证:当解析：因为与轴的公共点为(1,0),的图象在轴上的公共点处有公切线.所以.故可得令,由所以,所以点评：在证明不等式时，通常根据要证明结论的特点合理的构造函数〔不一定要把不等式右边的项全移到左边〕，将问题转化为证明新函数的最大值非正或最小值非负的问题来解决。构造函数求参数值例3：函数假设方程有唯一解，试求实数的值。解析：原方程等价于令那么原方程因为且原方程有唯一解，所以函数的图象在右侧有唯一的交点。又所以当即故处取得极小值，此极小值也是最小值，因为当且原方程有唯一解，所以点评：对于方程解的个数问题，通常转化为函数图象交点的个数问题来处理，此时可构造适宜的新函数，利用导数知识探讨该函数的性质〔如单调性、极值情况等〕再结合函数图象来解决。构造函数求参数范围例4.函数。假设对于任意的都有成立，求实数的取值问题解析：对于任意的都有恒成立，等价于在上恒成立。令，那么，当时，即在上递增，故所以在上递增，，所以，即实数的取值范围是点评：对于含参不等式恒成立的问题，通常要先将参数从不等式中别离出来，通过构造新函数，将问题转化为使参数大于新函数的最大值或小于新函数的最小值的问题，再利用导数知识求解。总之，构造函数具有较强的灵活性和创新性，在解数学题时，观察题目的特

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