贵州名校2022届高三数学（理）上学期期末联考试卷附答案解析

贵州名校2022届高三数学（理）上学期期末联考试卷

一、单选题

1.已知集合4=,忆2_7*+6<0},3={可*>3},则4口3=()

A.{x[3<x<6}B,{x|x>6}C,{x|l<x<3}D.{x|x<3}

2.已知复数z满足z?=3+4i，则|z|=()

A.5B.4C.亚D.2

3.在等比数列{4}中，4%+%=8,%=2,则%=()

A.4B.8C.16D.32

4.某工厂为了检验一条生产线生产的某种零件的质量，从该生产线生产的这种零件中随机抽取2000个,

测量其长度（单位:厘米），将所得数据分成[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12]五组,得到如图所示

的频率分布直方图.已知零件长度在[6,10）内的是一等品，则该生产线生产的10000个零件中，估计一等

品的数量是（）

C.4250个D.6250个

5.函数〃x）=/菁的部分图象可能是

6.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对

称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶口直

径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是（）

慝源一

7.已知〃=2一如，b=1.2%c=log43,贝lj()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

8.已知等差数列｛%｝满足q+%+20=0,-21=0,数列也｝满足a=%。+「。”+2,记数列也｝的

前〃项和为S.,则当5“取得最小值时，”的值为()

A.4B.5C.6D.7

9.已知函数/(x)=gsin2x-2cos。，则下列结论正确的是()

A.的周期为万的奇函数B./(x)的图象关于点信1)对称

C.“X)在?，彳上单调递增D./(X)的值域是[-1,3]

OJ

22

10.已知椭圆CJ+方=1(">"0)的左、右焦点分别是再，尸2，直线y=H(Z*0)与椭圆C交于A,B

两点，若1•1=阳6|,且四边形A686的面积为d(C是椭圆C的半焦距)，则椭圆C的离心率是()

A.2B.逅C.-D.-

2334

11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，”等腰四面体''就是其中之一，它是三组对棱分别相等的

四面体.已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4,2石，2币,则该等腰四面体的体积是()

A.4右B.丑叵C.8君D.竺白

33

12.已知函数/(x)=e"-21nx-/+以，若f(x)>0恒成立，则实数。的取值范围为()

A.g+8)B.(1,+<»)C.]|'，+00)D.(e,+oo)

二、填空题

13.已知向量入B不共线，且(左2-44//(£一％®,则％=.

14.的展开式中-的系数是.(用数字作答)

2

15.很多购物网站都有手机验证码功能，这样可以保证购物的安全性.一般手机验证码由0,1,2,

9中的4个数字(数字可以相同)随机组成.已知某人收到一个四位数的手机验证码，则该验证码由3个

不同数字组成的概率是.

16.在三棱锥P-ABC中，底面是以A8为斜边的等腰直角三角形，AB=4,PA=PB=PC=4U,则三

棱锥P-ABC外接球的表面积为.

三、解答题

17.在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2c—a=20cosA.

(1)求角2的值；

⑵若a=8,点。是边BC的中点，且4。=仞，求b.

18.某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2,3,4的人数分别为1,3,2,

现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会.

(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X,求X的分布列和期望.

19.在四棱锥尸—ABCD中，平面4BCD,底面A8CD是直角梯形，BC//AD,AD±AB,E,尸分

别是棱A8,PC的中点.

(1)证明：EF〃平面以D.

(2)若PA=A8=BC,AD=2BC,求平面AEF与平面8尸所成锐二面角的余弦值.

20.已知抛物线。：/=2冲(0>0)的焦点为尸，点尸(/,2)在抛物线C上，。为坐标原点，△OPF是直角

三角形.

(1)求抛物线C的方程.

⑵若点尸在第一象限，直线/与抛物线C交于异于点尸的A8两点，以线段A8为直径的圆经过点P.直

线/是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由.

3

21.已知函数/(x)=ox2+cosx.

(1)当4=g时，讨论/(X)的单调性；

⑵当xNO时,/(%)>1,求a的取值范围.

X二-a3--风--Z,

22.在直角坐标系中，直线/的参数方程为2”为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正

尸？

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为「飞。$2。-4夕231)20-4=0.

(1)求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C交于P,。两点，点M(-3,0),求向+指的值.

23.已知函数f(x)=|2x+3|+|x-l].

⑴求不等式/(x)>6的解集；

(2)求直线y=6与函数/(x)的图象围成的封闭图形的面积.

4

解析

1.A

【分析】解一元二次不等式求集合A,再应用集合的交运算求ACIB即可.

【详解】由题意可得A={x[l<x<6},则Ac8={x|3<x<6}.故选：A

2.C

【分析】设z=a+0i(a,0eR),根据复数相等概念即可求解。力，从而解得模.

22

【详解】设2=。+历(a,beR),则z2=q2一从+2"i.因为z?=3+4i,所以'一—：b~=3、’

2ab=4,

解得/=4,从=1,贝生|=五2+从=6.故选：C

3.B

【分析】由等比数列的通项公式基本量求出首项和公比，进而求出答案.

【详解】设等比数列{叫的公比为4,则产解得：％=1，d=2,故％=*=,16=8.

%q=2,22

故选：B

4.D

【分析】根据频率分布直方图求出一等品的频率，从而可估计一等品的数量

【详解】由图可知一等品的频率是(0.18750+0.12500)x2=0.625,

则10000个零件中一等品的数量大约是10000x0.625=6250个.故选：D

5.A

【解析】由函数的奇偶性可排除B、C,再利用特殊值排除D

、sin九

【详解】由f(x)=MpxeR.

因为/(-力=弓中?=-格=-”9,所以为奇函数,图象关于原点对称，

故排除B、C,又由〃1)=答>0,排除D,故选:A

【点睛】本题考查函数的图像，考查函数的奇偶性的图像性质，考查特殊值法处理选择题

6.B

【分析】由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为=1(。>0*>0),代入建立方程组,

求解即可得双曲线的标准方程.

【详解】解：由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4,点(4,3)在该双曲线上.设该双曲线

22

的方程为£一方=l(a>0,6>0),

5

2。=4，22

则32解得4=2,b=6,故该双曲线的标准方程是鸟-4=1.故选：B.

--TT=h43

[ab-

7.D

【分析1根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为2T°'=我•<[,1.2°,>1,=log42<log43<log44<1,所以。>c>a.

故选：D

8.C

【分析】先求得数列｛%｝的通项公式，再根据数列也｝的正负项求解.

【详解】因为4+a5+20=。，«9-«2-21=0>所以q=T6,公差d=3,

所以4=3〃-19,

故在数列也｝中，4，b2,b｝,如"均小于0，也｝中其余项均大于0.

又因为4=8,%=-10,

所以当5“取得最小值时，〃的值为6.故选：C.

9.C

【分析1由题可得f(x)=2sin(2xq)-l,然后利用正弦函数的性质逐项判断即得.

【详解】由题意可得/(x)=gsin2x-cos2x-l=2sin(2x-7)-l.

因为f(-x)=2sin(-2x-')-l=-2sin(2x+d-lN-『(x),所以f(x)不是奇函数，故A错误；

因为总=2sin(2x/=卜=-1,所以“X)的图象不关于点、1,1)对称，故B错误；

2k7T-^<2x-^<2k/i+(Z;eZ),解得)%+,当2=1时，,则C

正确；

因为-14sin[2x-£|41,所以-242sin(2x-£|w2,所以-342sin(2x-^卜41,即〃x)的值域是

[-3,1],故D错误.故选：C.

10.B

【分析】由椭圆的对称性和|A3|=|耳闾，易知四边形4耳8曲为矩形,设|A周=加，|A段=”，利用椭圆

的定义，结合勾股定理和矩形的面积公式，即可求出结果.

【详解】由椭圆的对称性可知四边形AKB玲是平行四边形.因为|AB|=|6名|,所以平行四边形A耳8乙是

矩形.

6

m9+n~2=4c，~1,

设=|A居上〃，则m+〃=2a,整理得4c?+2c?=4〃，所以£=2,解得£=堂，故椭圆C的

2a~3a3

mn—c,

离心率为好.故选：B.

3

11.B

【分析】将等腰四面体ABC。补成长方体求解.

,将等腰四面体ABC。补成长方体,

，/+/=4,

设该长方体的长、宽、高分别是。，b,c,则、庐芯=2退，解得〃=26，b=2,c=4,

则该等腰四面体的体积为：

丫=2石x2x4」xk2Gx2x4x4=i^.故选：B

323

12.C

【分析】依题意可得e"+族〉f+21nx=e2m+21nx，进而可得a>•在xe((),”)上恒成立，构造函

数/?。)="，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.

X

【详解】f(x)>0等价于6"+以>¥+2山》=婢-*+2山底

令函数g(x)=e，+x,则g'(x)=e*+l>0,故g(x)是增函数.

泮+q>623+21nx等价于以>21nx(x>0),即。>生”.

X

八"皿、21nxE、2-21nx

令函数/z(x)=----,则〃。)=----7--

XX

当xc(O,e)时，hr(x)>0,入(X)单调递增：当xe(e,+8)时，”(幻<0,九(工)单调递减.

力(X)皿=/?(e)=|•故实数”的取值范围为1|，+8).故选：C.

13.±2

【分析】根据平面共线向量的性质进行求解即可.

7

【详解】因为向量2B不共线，且,£-昉）〃（£-朝卜

k=A,

所以有卜£-45）=几（£一比=则解得％=±2.故答案为:±2

-4=-U,

14.-448

【分析】利用二项展开式的通项公式即可.

【详解】（2五-£）7的展开式的第什1项为为J=C；（26厂卜£]'=（—1）'.2』3善.

7-3r

令一^—=2,得厂=1,贝|7；=—2'（12=-64'7》2=-448*2故答案为：-448

54

15.—0.432

125

【分析】利用分步相乘原理算出总数，再利用排列组合算出满足3个不同数字所组成的情况.

【详解】从0,1,2,9中随机取出4个数字（可以相同），共有10■1种情况；其中有3个不同数字的

情况为：先选出3个数字，然后其中一个需要用2次，对其全排列后再除去两个相同数子的顺序，即

C；）x3x%种

UXRXN10X9X8.Ix2x3x4S4

故所求概率p=">-A；=-]x2x3x-x=54.故答案为：—

―io3—u?—T25

,,169TI169

16.it

99

【分析】取AB的中点。可得由尸。2+82=小2得灯UCD,根据线面垂直的判断定理得

平面ABC,得三棱锥P-MC外接球的球心。在线段尸£>上，由史=（/>£>-。£>）2=。/）2+4£>2可得

答案.

【详解】如图，取A8的中点。，连接产。，CD.由题意可得AD=B£>=CD=2,

因为PA=PB,所以PZ5_LAB,

因为PA=Ji5,所以P£>=3,所以=pc2,所以ZPDC=90」,

即P£）_LC£>.因为ABnS=。，所以PD1,平面ABC,

设三棱锥P-ABC外接球的球心为0,

由题意易得三棱锥P-43c外接球的球心。在线段尸。上，如下图

8

则三棱锥P-ABC外接球的半径R满足R2=(P£>-On1=OD2+AD2,

解得0£>=二，所以R=3-3=*=苧：

66636

若三棱锥P-ABC外接球的球心。在线段PO的延长线上，如下图，

则三棱锥尸—ABC外接球的半径R满足齐=(PD+OD)1=OD2+AD2,

(3+OD)2=OD2+22,无解；所以，三棱锥P-45C外接球的表面积$=4兀店=等

,,L1697t

故答案为：—

17.(1)1(2)7

【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换即可求出；

(2)分别在△M。和4ABC中使用余弦定理即可求解.

【详解】(1)•:2c-a=2bcosA,2sinC-sinA=2sinBcosA,

又sinC=sin[7i-(A+8)]=sin(4+B),

2sin(A+fi)-sinA=2sinBcosAf/.2sinAcosB-sinA=0,

VsinA^O,；.cos8=L,又•.•()<兀，AB=

23

(2)在△ABD中，BD=ga=4,AD=E，B=],

由余弦定理得AD2=BD2+AB2-2BD-ABCOSB,

整理得C2-4C-5=0,解得C=5(c=—l舍去)

在△ABC中，由余弦定理得62=4+c2—2accos8,即尸=64+25-40=49,解得b=7.

4IQ

18.⑴行；(2)分布列见解析,—.

【分析】(1)利用古典概率公式即求；

(2)由题可知X的可能取值为5,6,7,8,然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.

9

【详解】(1)从这6人中随机选出2人，共有C：=15种选法，

其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有+=4种.，

4

故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为1.

⑵由题可知，X的可能取值分别为5,6,7,8,

P(X=5)=]=g,P(X=6)=管=；,P(X=7)=警=|,P(X=8)=[$

故X的分布列为：

X5678

21

p

53515

19.(1)证明见解析(2)立

6

【分析】(1)线面平行、线线平行、面面平行的判定和性质；

(2)向量法求二面角的余弦值.

【详解】(1)证明：取CO的中点G,连接EG,FG.

因为F,G分别是PC,CZ)的中点，FG是ACDP的中位线，所以FG〃尸。，又因为平面以。，PDu

平面以。，所以FG||平面尸4).

因为3C〃A£>,且E、G分别是棱A8,CD的中点，EG是梯形ABCD的中位线，所以EG〃A。，又因为

召Ga平面附。，A£)u平面孙。所以见川平面249.

因为EG,FGu平面EFG,且EGflFG=G,所以平面EFG||平面尸4。.

因为EFu平面EFG,所以EFP平面PAZ).

⑵解：以A为原点，分别以通，AD，丽的方向为x,y,z轴的正方向，

如下图所示，建立空间直角坐标系A—xyz.

设AB=2,则A(0,0,0),C(2,2,0),。(0,4,0),E(1,0,0),P(0,0,2).

因为「是棱PC的中点，所以尸(1,1,1),所以通=(1,0,0),赤=(1,1,1),

CD=(-2,2,0),CF=(-1,-1,1).

1I>7.ApY=01

设平面AEF的法向量为〃=(芭,加4)则｛一=1:_仆，令y=1，得〃=(0,1,-1).

设平面CQF的法向量为正=伉，必必)，

10

inCD=-2X+2y=0,

22令W=l,得利=(1,1,2).

tn-CF=-x2-y24-z2=0

1=6

设平面AEF与平面CDF所成的锐二面角为巴则cose=|cos^/n,4=二=

m\\nR*4一6

20.⑴/=8y；(2)过定点(T10).

【分析】(1)当/OPF为直角时，由七°/叩=-1和P在抛物线上可构造方程组求得?<0,不合题意；

当NOFP为直角时，由=2可求得P,从而得到抛物线方程；

(2)设/：>=丘+机，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由⑸.丽=0,根据向量数量积的坐标运

算，代入韦达定理的形式进行整理化简可得加=4女+1()或m=TA+2,代回直线验证即可得到所求定点坐

标.

【详解】(1)由题意知：/尸。/不是直角.

z-

①当NOP尸为直角时，kOP-kPF=-\,则2i即/=p-4.

----------------——1

tt

•••点P(r,2)在抛物线C上，：.t2=4p,:Ap=p-A,解得：p=-^<0,

与p>0矛盾，不符合题意；

②当NO卬为直角时，1=2,解得：p=4,符合题意.

抛物线C的方程为:x2=8y.

⑵设直线/：丫="+相，A(x，yJ,8(马,必)，

联立仁,。整理得：*2一86一8机=0,则4=64父+32机>0,即公>-：〃？，

[x-=8y2

则x,4-x2=Sk,x}x2=一8〃？.

由(1)可知：2(4,2),则向=&-4,乂-2),丽=(%-4,%-2).

,•,以线段A8为直径的圆经过点P,r.R4_LPB,即丽.厢=0，

11

则a—4)(出-4)+(x-2)(%-2)=0,

2

即(&2+1)中2+(切?'—2/一4)(3+x2)+m-4m+20=0.

2

将Xi+々=8%,x,x2=-Srn代入得：,+1)-(—8>n)+(km—2^—4)-8^+/n—4m+20=0,

整理得：16A:2+32k=-12m+20>即16(Z+1)~=(m—6)~,

解得：m=4Z+10或0j=TZ:+2.

当加=4+10时,直线/:y=A(x+4)+10,过定点(T,10),

经验证此时A>0,符合题意；

当m=YZ+2时，直线/：y=A(x-4)+2,此时点P在直线/上，则点尸与点A或点8重合，与A8异于点

P矛盾，不符合题意.

综上所述：直线/过定点(T/0).

【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思

路如下：

①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；

④根据直线过定点的求解方法可求得结果.

21.⑴在(9,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增⑵；,+8)

【分析】(1)研究当。时〃x)的导数的符号即可讨论得到,f(x)的单调性；

(2)对原函数求导，对。的范围分类讨论即可得出答案.

［详解］(1)当a=g时，f'(x)=x-sinx,

令g(x)=x-sinx,贝ijg，(x)=l-cosxNO,所以g(x)在R上单调递增.

又因为g(0)=0,所以当x<0时，r(x)<0,当x>0时，r(x)>o,

所以〃x)在(y,o)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

⑵/'(x)=2o¥-sinx,且/(())=1.

①当azg时，由(I)可知当x20时/''(xhx-sinxNO,所以在(0,+8)上单调递增，则

/(x)可(0)=1,符合题意.

②当时,/图="曰<1,不符合题意，舍去.

12

③当0<〃<；时、4*F(x)=2ar-sinx,则F\x)=2a-CQSX,

则孙£（0