第一章函数与极限

第一章函数与极限

第一节函数

集合与区间

1.集合概念、表现方法'数集间的关系

2.区间

3领域U(〃,b)={xa—8<x<a+8}.

函数概念

1.定义、函数两要素、定义域的确定

2.几个特殊函数

(D符号函数(2)取整函数

(3)狄利克雷函数(4)取最值函数

三.函数的几种特性

有限性'单调性'奇偶性'周期性

四.反函数

定义3设函数y=/(x),xGD的值域为R,

如果对于每一个歹eR,根据关系y=/(x)能

确定唯一的XEO,则称得到的新函数x=O(x)

为，=/(%)的反函数.亦称歹=/@)与又=。@)

互为反函数.函数的反函数常记为y=f-1(x).

五.复合函数.初等函数

1.复合函数

2.基本初等函数：常数函数'幕函数'指数函数'对数函

数'三角函数'反三角函数

初等函数：基本初等函数经有限次四则运算和有限次复

合

第二节数列的极限

数列的极限

〃一1

例4证明lim------=1.

〃十1

证明：|匕―1|=^­=--：

71+171+1

22

任给£>0,要使忖一1<鸟只要----<邑或H——1,

2M+1£

所以，取、「=[——1],则当〃>沏，

£

就有±4一1<三即lim上口=1.

/14-1n-^x>fl4-1

注意：用定义证明数列极限存在时，关键是对

任给£>0,寻找N,但不是求最小的N

数列极限的性质

有界性定理1.收敛的数列必定有界。

三.小结

数列：研究其变化规律

数列极限：极限思想'精确意义'几何意义

收敛数列的性质：有界性

第三节函数的极限

自变量趋于有限值时函数的极限

1.集合解释'定义

2.单侧极限

左极限V£>0Tb>0,使当天—时，

恒有|/(x)

记作lim/(x)=A或f(x-)=A.

XTJCQ-0

(xTXp

右极限\/£>0,m5>0,使当叫)<X<xo4-瓯

恒有|/(X)—/1<£•

记作lim/(x)=N或/(/+)=4

X-»XQ-M)

(XT环)

+

定理：lim/(x)=A=f(x~)=/(x0)=A.

X—>XQ

自变量趋于无穷大时函数的极限

定义'集合解释'例题

三.函数极限的性质

定理.若lim/(无)=N,且.4>0,则存在U(戈0,5),

“f"(/v0)

使当X6力(干，5)时,/(戈)>0.(局部保号性)

(/(戈)<0)

推论.若在与的某去心邻域内/(刈之0,且

(/(x)<0)

lim/(x)=y4,则Z《0.

(屋0)

第四节无穷大与无穷小

一■无穷小

(D无穷小是变量,不能与很小的数混淆；

(2)零是可以作为无穷小的唯一的数

--无穷小与函数极限的关系

定理1lim/(x)=/<=>/(x)=A+a,

XT*

其中a是当xf与时的无穷小.

三.无穷小的运算性质

定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.

四.无穷大

注意(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆；

(2)切勿将1向/(刈=8认为极限存在.

无穷大与无穷小的关系：

定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的

无穷小的倒数为无穷大.

第五节极限运算法则

一.极限运算法则

定理设lim/(x)=41img(x)=6,则

(1)\im[f(x)±g(x)]=A±B;

(2)\im[f(x)g(x)]=A-B;

(3)山11里=士，其中6wO.

g(x)B

求极限方法举例

a.多项式与分式函数代入法求极限；

b消去零因子法求极限；

c.无穷小因子分出法求极限；

d.利用无穷小运算性质求极限；

e.利用左右极限求分段函数极限.

第六节极限存在准则、两个重要极限

极限存在准则

1.夹逼准则

准则I如果数列了“,y”及Z"满足下列条件：

⑴支“乙Az”(«=1,2,3•••)

(2)limy=a,\imz=a,

w—>oonn

那末数列*"的极限存在，且limx-a.

n—>oon

2.单调有界准则单调有界数列必有极限

二.两个重要极限

sinx

】•1“

lim------=1lim(l+—)=e

Xf0XXT8x

第七节无穷小的比较

无穷小的比较

(1)如果lim2=0,就说夕是比a高阶的无穷小，

a

记作/三义a为

(2)如果lim"=8,就说夕是比a低阶的无穷小.

a

(3)如果lim2=C。0,就说用与a是同阶的无穷小；

a-----------------

特殊地,如果lim"=1,则称夕与a是等价的无穷小；

a-----------------

记作a〜夕;

常用等价无穷小:当才70时，

x-sinx-tanx-arcsinx〜arctanx-ln(l+x)

x^ex—1,1—cosx-—x2,(l+x)“-1〜OV(QwO)

等价无穷小的替换(等价无穷小代换定理)

设a~a',0~0'且lim巧存在，则lim@=limj

aaa

切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代

数和中各无穷小不能分别代换.

第八节函数的连续性

函数连续性的概念

1.函数的增量

2.连续的定义

总结:函数在一点连续须满足：

1.在这一点有定义；

2.在这一点有极限；

3.极限等于这一点的函数值,即lim/(x)=/(x0).

3.单侧连续

定理函数/(刈在/处连续。是函数/住应与

处既左连续又右连续.

4.连续函数与连续区间

--函数的间断点

1.跳跃间断点

2.可去间断点

3.第二类间断点(无穷间断点'震荡间断点)

三.初等函数的连续性

1.四则运算的连续性

定理1若函数/(刈，双戈)在点.飞处连续，

则/(刈土g(x)，/(刈双刈，军(g(%)WO)

在点飞处也连续.

2.反函数与复合函数的连续性

定理4.单调的连续函数必有单调的连续反函数

反函数与原函数具有相同的单调性。

反三角函数在其定义域内皆连续。

3.初等函数的连续性

第九节闭区间上连续函数的性质

最大值和最小值定理

定理1（最大值和最小值定理）

在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

定理2（有界性定理）

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

二.介值定理

定理3（零点定理）设函数/（*）在闭区间［”,可

上连续，且/⑷与/（。）异号（即/⑷•/g）VO）,

那末在开区间内至少有函数"X）的一个零

点，即至少有一点4（“V自V。），使/化）=0.

定理4（介值定理）设函数f（x）在闭区间［a,b］

上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

f（a）=A及f（b）=B,

那末，对于A与5之间的任意一个数C,在开区间

（。2）内至少有一点酊使得/e）=C（a<^<b）.

第二章第一节导数概念

导数的定义

二.导数的几何意义（切线斜率）

三.函数的可导性与连续性之间的关系

定理：凡可导函数都是连续函数。（逆定理不成立）

若在一点不连续，则一定不可导！

不连续一定不可导.

判断可导性直接用定义；

连续

看左右导数是否存在且相等.

第二节求导法则

Q)[“(％)±1(%)]'=

[⑵[〃⑺y(%)]'=〃'(％)[(%)+〃(%)£(%)

r_________

u(x)uf(x)v(x)—u(x)vf(x)|(-「W6

(3)------=------------；---------------

v(x)v(x)

第三节反函数和复合函数的求导法则

一.反函数的导数

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例题.求函数y=log。*的导数.

复合函数的求导法则

链式法则：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求

导，乘以中间变量对自变量求导。

第四节高阶导数

高阶导数的概念

定义若函数J=/(X)的导数./=/'(x)可导,则称

/'(X)的导数为，G)的二阶导数，记作『”或上4,即

2dx-

*,,、，.d>ddy

y=(y)或--r=—(―)

dxdxdx

高阶导数的求法举例(参照课本例题)

第五节隐函数和参数方程确定的函数的导数

隐函数的导数

例4.求的导数.

解：两边取对数，化为隐式

Iny=sinx-Inx

求导

1>.sinx

—y=cosx-lnxd-------

/x

.，Sinxz.,sinx

:.y=x(cosx-Inx+------)

由参数方程所确定的函数的导数

在方程

3=如)

设函数工=次。具有单调连续的反函数

二/=必。，t=^(x)

再设函数x=。⑺,y=河，)都可导,且。'⑺。0,

由复合函数及反函数的求导法则得

dy

@=空包=@j_=为空=应

dxdtdxdtdx。，⑴&dx

dt~dt

dx283©

第七节函数的微分

微分的定义

设函数y=〃x)在某区间内有定义

占及*o+Ax在这区间内如果

Ay=/(x0+Ax)-/(x0)=A-Ax+o(Ax)

成立(其中4是与Ax无关的常数)，则称函数

y=/(X)在点与可微，并且称4,Ax为函数

y=/(x)在点/相应于自变■增3的微分，

记作办If或刈(/),即吼=f=A4.

I-5-I工田函数/(X)在点X。可徽的充要条件是函

贝EX^r：数/(X粒点看他可导,且A=

--基本初等函数的微分公式与微分运算法应=4“)3

1.基本初等函数的微分公式

d(C)=0d^)=\3Lx^dx

</(sinx)=cosxdxd(cosx)=-sinxdx

d(tanx)=sec2xdxd(cotx)=-esc2xdx

d(secx)=secxtanxdxd(escx)=-escxcotxdx

d(ax)=ax\nadxd(ex)=exdx

J(logx)=------dxJ(lnx)=­dx

flxln«

J(arcsinx)=,dxJ(arccosx)=——,dx

A/1-xA/1-x

J(arctanx)=------^dxd(cotx)=-^3dx

1+x

2.函数和'差'积'商的微分法则

设“(x),1(X)均可微，则

1.d(z/±v)=d«±dv2.d(Cu)=Cdu(C为常数)

3.d(z/v)=vdz/+udv4.d(—)=(y。0)

Vl广

第三章第一节中值定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数/(%)在

闭区间［a,W上连续,在开区间3。)内可导,那末在

(4,。)内至少有一点默“＜自＜力)，使等式

f⑹-f(a)=f'y)(D成立.

三.柯西中值定理

如果函数/(%)及尸(X)满足：

(1)在闭区间［。，加上连续

(2)在开区间(“，。)内可导

(3)在开区间(a,。)内F(x)w0

至少存在一点4£刀，使/(加一/(。)=也1

尸(»-尸⑷尸纭)

第二节罗比达法则

一、,型及8型未定式解法:洛必达法则

0oo

二、0•8,8-8,0°,18,8°型未定式解法

洛必达法则0°,1工8°型

第四节函数的单调性和曲线的凹凸性

--函数单调性的判定法

1.定理

设函数y=/(X)在切上连续，在内可

导.⑴如果在3,"内/'(x)>0,那末函数y=/(x)

在3句上单调增加；(2)如果在Q"内7(*)<0,

那末函数y=/(%)在W上单调减少.

2.单调区间求法(注意是闭区间)

曲线的凹凸性与拐点

f\x)递增了">0f\x)递减/"<o

推论如果/(x)在［明句上连续，在(%。)内具有

一阶和二阶导数，若在(％。)内

(1)广(x)>0,则/(x)在［afb］上的图形是凹的；

(2)f\x)<0,则/(x)在［a,b］上的图形是凸的.

曲线的拐点及其求法

1、定义

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.

2、拐点的求法

(1).求/”(x);

(2).解出了”(x尸0在区间内的所有实根；

(3).对于(2)中解出的每一个实根，判断其左，右两

侧广'(戈)的符号.

当/'”(")在根的两侧符号相反时，此点是拐点；

当了”(x)在根的两侧符号相同时，此点不尉?点;

第五节函数的极值和最大最小值

函数的极值

求法

(1)求导数/'(x)；

(2)求驻点，即方程/'(X)=0的根，以及不可导点.

(3)检查/'(x)在这些点左右的正负号,判断极值点；

/'(x)"左正右负”，则/(x)在X。取极大值.

/'(X)“左负右正”，则/(x)在勺取极小值；

(4)求极值.

定理3(第二充分条件)设/(x)在勺处具有二阶导致，

且/(勺)=0，/(勺)=0，那末

(1)当，(/)<0时，函数/(X)在X。处取得极大值；

⑵当/,(X。)>0时，函数/(x)在勺处取得极小值.

函数的最大最小值

求函数最值的步骤：

1.求驻点和不可导点；

2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大

小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最小值；

最大值

M=max{/(x1),/(x2),

最小值

/«=min{/(x1),/(x2)/(xm)/(a),/(6)}

第四章第一节不定积分的概念与性质

原函数与不定积分的概念

定义1.若在区间/上定义的两个函数尸(x)及/(x)

满足/*'(x)=/(X)或dF(x)=/(x)dx,则称F(x)为/•&)

在区间/上的日原函数.

AAA

如引例中，一sin，的原函数有一一cos，，----cosZ+3,--

mntnt

定义2J。)在区间I上的原函数全体称为/(x)在/

上的不定积分,记作J/(x)dx淇中

J—积分号；一被积函数；

x—积分变量；/@)dx一被积表达式•

基本积分表

(1)m=#x+c(〃为常数)

(2)卜"必=焉》修+。(A*-l)

dx

G)J三=E|x|+C(P136导数公式)

dY

(4)f-------=arctanx+C或-arccotx+C

J1+广

dx

(5)[1_____=arcsinx+C或—arccosx+C

J\/l-X2

(6)Jcosxdx=sinx+C

(7)Jsinxdx=-cosx+C

dv

(8)f—；—=[sec2xdx=tanx+C

Jcos-xJ

znxrdx「工

(刃—=CSLxdx=-cotx+C

Jsin2^xJ

(10)jsecxtanxdx=secx+C

(11)jcscxcotxdx=-cscx+C

(12)jexdx=ex+C

(13)[axdx=+C

JIna

三.不定积分的性质

1.j4/(x)dx=zj/(x)dx(EO)I续西―

2.j[f(x)±g(x)]dx=j7(x)dx±Jg(x)dx

推论：若/(.*)=£叫〃x),则

i=l

Jf(x)dx=1与"(x)dx

i=l

第二、三节换元积分法、分部积分法

一.第一类换元法(配元法、凑微分法)

常用的几种配元形式：

1)J/(ax+6)dx=—Jf(ax+b)d(ax+b)

J/(x")x^dx=lj/(xM)dxw"万

2)

能

凑

x2

-xdx=—Jedx塞

法

3)J/(x-)ldx=lj/(x-)±dx-J

4)J/(sinx)cosxdx=J/(sinx)dsinx

5)J/(cosx)sinxdx=—J/'(cosx)dcosx

6)j/(tanx)sec2xdx=J/(tanx)dtanx

7)f/(e>xdx=J/(ex)deJC

8)j/(Inx)^-dx=J/(Inx)dlnx

第二类换元法

1.第二类换元法常见类型:

1)Jf{x,Va:—x1)dx,令x=asinf或K=acost

2.常用基本积分公式的补充

(14)ftanxdx=—In|cosx|+C

(15)jcotxdx=ln|sinx|+C

(16)jsecxdv=ln|secx+tanx|+C

(17)jcscxdx=ln|cscx-cotx|+C

r1,14x-

(18)I-......dx=-arctan--FC

Jar+£vaa

J乙d—nx—a

(19)+C

x+a

r1一・%.〃

(20)I,dx=arcsin—+C

Jy/a2-x2a

(21)fi,x=ln(x+yjx2+a2)+C

six'+a~

(22)f-.=-dx=InIx+->/x*—d"I+C

Vx2-fl2

有理函数:

OQX11+a1X"T+-•-+fl

P(x)n

K(x)=

Q(x)如产+***T+…+b1n

利<〃时，A(x)为假分式;

/〃>〃时，A(x)为真分式

三.分部积分法

解题技巧：反对塞指三

第五章第一节定积分的概念和性质

定积分的定义

定积分的性质

规定:J：f@)d"=-J：/(x)/(x)dx=0

性质1.J：dx=b-a

性质2.J)/(x)dx=kJ：/(x)dK(左为常数)

性质3.Jj/(x)±g(x)]d.x=J：/(x)dx土J：g(x)d.x

性质4.j：/(x)dx=J；/(x)dx+J：/(x)dx

性质5.若在[a,b]±/(x)之0,则J：/(x)dx>0.

性质6.设及"?分别是函数

/(X)在区间[a,川上的最大值及最小值，

则m(b—a)<|^f{x)dx<M(b—a).

性质7.积分中值定理

若/(x)GC[a,b],则至少存在一点<耳明句,使

h

cbf/(x)dx

J/(x)dx=/©("a)―=--------

b—a

推论1.若在[。，叫±/(x)Kg(x),则

J：/(x)dx«J：g(x)dx.

推论2.J：/(x)dx<J^|/(x)|dx(a</»)

三角函数公式

sina+sin)ff=2sin^—^cos―—―

22

sinsin0—[cos(cr+y0)-cos(a-/?)]sinQ-sin£=2cossin———