数学建模课件

目录

数学建模第一单元：引言..........................................................1

第二单元初等数据分析方法......................................................9

第三章..................................................................37

应用积分思想建模.......................................................37

第四章初等代数、几何方法......................................................47

初等几何方法...........................................................58

数学建模第一单元：引言

报告标题

一何谓数学建模二确定性数学三不确定性数学四数

学与现实五数学建模与各学科六数学建模与各行业七

数学建模的多效性八变量识别

九数学建模的步骤十论文写作要求

L何谓数学建模

数学建模应用定量思维的方式探讨自然现象工程技术、社会

现象日常生活实际问题的过程建立变量之间定量关系称为数学

模型。

求解数学模型并解释、验证求解结果然后应用于实际.

一方面建立数学模型另一方面建立数学理论体系并逐步远离

背景问题的研究确定性数学方法不确定性数学方法

2确定性数学方方法

一、初等数学方法最简定量关系即

函数关系（相关性）建立函数关系的方法：数据散点图自然

定律观察并用初等方法建模拟合插值和回归初等分析方

法函数论理论体系比如：苹果从树上自然掉下来影响它

运动的就是重力作用位移与时间关系为s=lgt2

（1）数据拟合

（2）插值方法

（3）应用积分思想

（4）导数思想（变化率）

（5）初等优化方法（求极值）

变量之间呈现代数方程线性代数方程（组）（由投入

产出问题到填充问题）空间几何方法建立起非线性代数

方程

二、离散动力学方法变量间呈现周期

的递推关系差分方程方法变量间呈现函数方程的形式

三、连续动力学方法变量间呈现的函

数方程中还含有未知函数导数一微分方程含有偏导数的

方程称为偏微分方程

四、连续优化方法变量之间具有优化效应：变分法与最优控

五、离散优化方法线性规划建模整数规划模型非线性规划建

模动态规划模型图论模型

3.不确定性数学方法

一、概率与随机数学

概率论随机过程马氏链模型蒙特卡罗模拟排队论与随机排

队论存储论与随机存储论

二、统计方法

统计数据描述和分析参数估计假设检验回归分析：一元线性

回归多元线性回归逐步回归非线性回归方差分析：单因素方差

分析双因素方差分析方差分析的模型检验聚类分析判别分析主

成分分析因子分析对应分析典型相关分析时间序列分析季节模

型条件异方差模型

三、界限不分明的模糊性问题

模糊数学方法模糊关系模糊矩阵模糊聚类分析方法模糊模

式识别方法模糊综合评判方法灰色系统分析方法

微分几何在广义相对论中的应用拓扑学在大数据分析中的应

用偏微分方程在瓦斯爆炸的阻隔爆技术航空发动机推进技术

4.数学与现实数学面对现实的困惑

问题：（1）公司是否上市（2）什么因素障碍相同企业的发展（3）

如何确定航空公司在业内的份额如何确定航线大学数学课表：数

学分析1数学分析2数学分析3高等代数解析几何实变函数泛

函分析抽象代数微分几何运筹学概率论数理统计常微分方程偏

微分方程

结论：大学所学数学都是理论部分

数学跟现实世界最初这样：现实世界的问题大致三类自然现象

社会现象日常生活

数学家通过假设、简化、分析建立数学模型建立数学理论回

归现实解释预测后来数学家专著与理论研究不回归现实了为什么？

三次数学成为独立科学形式

主要根源：历史上三次重大的哲学思潮，三次重大分离：（1）

第一次：毕达哥拉斯的“万物皆数”形成了古希腊抽象数学体系；（2）

第二次：”文艺复兴”时期“科学的本质是数学”的哲学思想所主

宰，创建了微积分理论体系；（3）第三次：1900前后欧洲数学家信

奉自由建立纯粹数学结构的思潮，形成现代纯粹数学和应用数学体

系。

5数学建模与各学科0701数学0702物理学0703化学0704天文

学多体问题（manybodyproblem）0705地理学0706大气科学例如：

龙卷风县风和台风是如何形成？0707海洋科学例如：海啸是如

何形成的可以提前预测吗？0708地球物理学0709地质学例如：

地质灾害如何形成的可以预测吗？0710生物学如何减少实验次数

0711系统科学早期从数学中分出。0712科学技术史0713生态学

数学生态学（mathematicalecology）0714统计学08工学09农学10

医学11军事学12管理学1201管理科学与工程1202工商管理1203

农林经济管理1204公共管理1205图书情报与档案管理13艺术学01

哲学02经济学03法学0301法学0302政治学0303社会学0304民族

学0305马克思主义理论0306公安学04教育学0401教育学0402心

理学0403体育学05文学0501中国语言文学0502外国语言文学0503

新闻传播学06历史学

6数学建模与各行业

国家标准（GB/T4754-2002）规定国民经济行业分20个门类（A）

农、林、牧、渔业；例如：中药种植业发展中的三个关键问题：中

药材资源的可持续发展中药材基地建设中药材规范化种植及GAP

认证；例如：造林和更新问题；例如：渔业养殖与捕捞问题；例如：

农业生产最佳灌溉系统问题。（B）采矿业；例如：烟煤和无烟煤开

采洗选合理配置问题；例如：对煤矿瓦斯气（煤层气）的开采问题

瓦斯爆炸的运动方程与预防（C）制造业；例如：加工过程中的最

佳方案问题等（D）电力、燃气及水的生产和供应业；例如：节能

问题污水治理问题；（E）建筑业；例如：建筑的抗震问题等；例

如：建筑设计中的问题伊拉克裔天才女设计师哈迪德最初选择学

习数学而不是建筑学（F）批发和零售业；例如：烟草制品批发与

零售的精准投放问题超市进货问题等；（G）交通运输、仓储和邮政

业；例如：物流公司的最佳运输路径问题最佳装载问题最佳仓储

问题等（H）住宿和餐饮业；

例如：酒店的评级问题；（I）信息传输计算机服务和软件业；例

如：计算机是数学家发明的高新技术的本质是数学数据处理存储服

务问题软件开发等（则）金融业；例如：金融保险证券行业定价

问题银行系统（理财、财务分析师）保险公司（精算）风险和损

失评估问题汇率问题等例如：金融衍生产品如何定价？如何估计

风险？金融危机与经济危机如何预测？Black-Scholes公式是一个

偏微分方程！

（K）房地产业；例如：房地产价格评估问题等；（L）租赁和

商务服务业；例如：2005年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题

目B题DVD在线租赁（M）科学研究

技术服务和地质勘查业；例如：自然灾害自然现象的

分析与预测（1）地震波的改变给我们什么信息？（2）台风、龙

卷风和县风是怎样形成的？能够运用流体运动特征描述并预测它

们吗？例如：工业与高新技术领域（1）石油开采模型（2）新材料的

合成（N）水利、环境和公共设施管理业；长江水质的评价和预测

（0）居民服务和其他服务业；例如：菜市场选址问题；例如：大

型超市应如何确定最佳进货；

（P）教育；例如：教育收费问题（Q）卫生、社会保障和社会

福利业；例如：眼科病床的合理安排例如：借助数学模型揭示

脂肪细胞形成的过程并解开肥胖之谜例如：如何准确预报天气或

者局部地区烟雾消散的预报？例如：人口问题例如：交通流问

题：例如：吸烟过程的数学描述：（R）文化、体育和娱乐业例

如：出版社的资源配置

（S）公共管理和社会组织；例如：统计局、规划局城市高温

屡屡刷新被忽略的城建

生态功能散热的数学问题例如：评估部门：评估（风险、教育

评估如高校评估）中心评估（房地产）所上市公司资产评估等大型

活动的评估国家或地区科技实力评估。例如：机场调度部门（如何

最优？）（T）国际组织。例如：政策研究部门美国新英格兰复杂系

统研究所和布兰代斯大学的科学家小组发明了一个数学模型，能

以90%的准确率预测何处可能发生不同种族或文化间的暴力冲突。

7数学建模的的多效性

人类的活动有两种思路：（1）学习前人经验、知识，从而解决问

题，这就是“类比”的方法；（2）从源头问题出发，创新思维。大数

据分析与建模因此，完成每一道案例分析

必须通过如下方式：（1）问题分析与识别识别出面前的问题；前

人有考虑过类似的问题吗？需要查阅资料。（2）前人采用的方法你

熟悉吗？（3）试给出你的独特想法这就是创新性思维。8变量识别最

重要的一步：识别变量影响事件发展的因素，数学上称为变量有哪

些？（1）所研究的现象或事件中所有变量明确，自变量和因变量都

明确，比如：苹果从树上掉下来，受地球引力作用开始自由落体，

掉落地点决定了重力加速度，另外掉落时间、

空气阻力、掉落立移等变量都明确；（2）因变量明确，但自变量

不明确.比如高校的学风好还是不好，决定学风的是什么自变量呢?

比如：上课迟到、早退、缺席以及上课玩手机的人数多，还有吗？

似乎我们说不全.（3）自变量明确，但因变量不明确.比如：一个

人每天上网浏览他喜欢的内容或者留言，从这些能得出这个人的什

么结论？这类问题特别普遍.（4）因变量和自变量都不明确.比

如：侦察机在高空侦查，看到形形色色的事件，我们只能抽取军事

或者商业方面的信息，其他信息不得不过滤.因此，我们的建模问

题就从变量的识别开始.比如：（1）单种群的总量增长.（2）怎样

设计一个供大班级用的演讲厅？（3）《海峡导报2013年6月21日》

上的新闻：这些年，为何总有“怪风”来袭？说的是厦门同安莲花

后埔村遭受冰雹和与别的地方不太一样的威力不小的“怪风”袭击。

媒体希望揭开“怪风”之谜。你认为应该怎样研究这个问题？能否

迅速把握问题的理想状态？

9数学建模的步骤：

第1步问题分析：抓住事件本质想象“理想状态”确定主要

变量做出合理假设如何确定主要变量，三点：（1）抓住事件本质揭示

“理想状态”确定主要变量。⑵页着主要因素找出相应的其他因

素把这些因素作为变量列出来完善变量体系。（3）忽略某些自变量:

首先，与其他因素相比，影响要小一点。其次，这个变量以几乎相

同的方式影响其他各种因素，那么这个因素可以忽略，即使这个

因素对所研究的行为有很重要的影响。考虑将大房间设计成报告厅

的问题。显然黑板的立置投影仪的立置与清晰度前后排座立的高低

差安全通道显然是重要因素。照明是关键因素，但可能会以几乎同

样的方式影响所有可能的形状。因此可以不在此考虑，而是当报告

厅的形状确定后，在照明效果一致的情况下，使得成本最低的子模

型。

第2步模型构建根据所作的假设，分析事件的内在规律

第3步求解或解释模型理论与Matlab和R软件的使用

第4步模型检验（1）数学关系的正确性；（2）是否会有多解或

无解的情况出现；（3）数学方法的可行性以及算法的复杂性。该模

型在实际意义下有用吗？我们确实能收集到必要的数据来运作该模

型吗?再次，该模型有普遍意义吗？

最后，进行误差分析和灵敏度分析

第5步模型的改进

第6步论文写作

第7步应用模型解决实际问题

10论文写作要求学建模的论文当做科技论文的要求来撰写,

数学建模的训练过程就是一次科研训练的过程1、摘要2、问题的

重述3、问题的分析4、问题的假设与符号5、问题的解答6、结论7、

参考文献8、附录程序以及某些图表可以放在附录。

第二单元初等数据分析方法

1数学建模方法论：类比、创新

2最简定量关系：人类建立起来的变量之间最简单最直观的定

量关系就是函数关系

⑴函数概念的力学来源.⑵1637年笛卡尔的《几何学》首次涉

及到变量，也引入了函数思想.⑶1667年英国数学家格雷果里被

认为是函数解析定义的开始⑷公认最早提出函数概念的是17世纪

德国数学家莱布尼茨.（5）为了得到变量之间的函数关系需要采集数

据，于是提出三个问题：（6）如何采集数据？采集什么数据？如何

分析数据

3建立函数关系的方法

由此产生建立变量之间函数关系三种基本方法观察法：利用数

据的比例性质拟合方法、插值方法统称初等数据分析方法

数据及其品质⑴有的提供数据：2008年“奥运场馆设计〃⑵有

的不给数据：2010年世博会的影响力⑶有的问你需要什么数据：

2008年重金属污染源头问题⑷有的需要你自己判明应该采集什么

数据才能说明这件事情：2015年“出租车〃试建立合理的指标并分析

不同时空出租车资源的“供求匹配”程度因此，需要评估数据的精

确性，由于收集数据时精确度不高比如记录或报告一个数据时的人

为错误，或测量精度限制等多种情况。比如在绘制地图时是按比例

缩小的但测量时总有误差在分析一个数据集合时，可能遇到的问题

是：（1）根据收集的数据进行建模.要么数据具有明显特征要么插值⑵

按照选出的一个或多个模型（函数）类型对数据进行拟合.⑶从已经

拟合模型中选取最合适的例：判断指数与多项式模型哪个拟合更好

4观察法和初等数学方法

通过大量数据利用变量之间的比例性质得到自然规律：

⑴Kepler（开普勒）第三定律开普勒曾帮第谷（TychoBrahe）收集了13

年火星的相对运动的观察资料到1609年开普勒已经形成了头两条

定律：a）每个行星都沿一条椭圆轨道运行太阳在该椭圆的一个焦点

处.b）对每个行星来说，在相等的时间里该行星和太阳的联线扫

过相等的面积.开普勒花了许多年来验证并形成了第三定律T=

3

CR5其中T是周期（天数）而R是行星到太阳的平均距离他建立了轨

道周期与从太阳到行星平均距离之间的关系.如表2.1中的数据

表2.1

周期（天数）平均

星距离（百

万英里）

88.036

星

224.767.2

星5

365.393

球

687.0141.

星75

4331.8483.

星80

10760.0887.

任取过原点的这条直线上的两点，易估计其斜率（比例常

夹八

数:A斜'l率=-9-0-4-6-6.-8-—-8-8«0.441.0c

，220869.1-216

3

估计其模型为T=0.410R2

⑵（波义耳定律（Boyle'slaw）1662年）一定量的理想气体的压强P

体积V和绝对温度T之间具有关系P=与R是普适气体常量.

⑶(虎克定律(Hooke)1678年)一个线性弹簧的形变(x)与弹力(F)

之间的关系F=-Kx负号表示形变的方向与弹力方向相反.

⑷(牛顿(Newton)万有引力公式1687年)两个物体之间相互作用

F=kmm

时的相互吸引「2

来表示吸引力与其他因素之间的规律.

⑸(欧姆定律(Ohm'slaw)1826年)在同一电路中，通过某一导体

的电流跟这段导体两端的电压成正比跟这段导体的电阻成反比

/=与U=IRfR=U

I：(电流)的单位是安培(A)U：(电压)的单位是伏特(V)

R：(电阻)的单位是欧姆(Q).

观察法与初等数学知识结合：案例2.L：：半径为1的轮子置

于平地上轮子边缘一点4与地面相接触。求当轮子滚动时，4点

运动的函数表示.

解：建立坐标系Oxy,设轮子滚动时4点的坐标为4(x,y),当

轮子滚动到P点着地时，线段0P的长度等于圆弧AP的长度，也

等于轮子转过的角度(以弧度为单位).令参数t表示轮子转过的角度,

得至|J（X=t-sint,y=1-cost.此即为旋轮线的参数表示.

案例2.2：：：一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距

s（千米），水速为常数p（千米/时），船在静水中的最大速度为q（千米/

时一，其中q>p）,已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在水

中的速度v（千米/小时一）的平方成正比，比例系数为k.

⑴将全程燃料费用V（元）表示为船在静水中的速度也千米/小时）

的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程燃料费用最少，

船的实际前进速度应为多少？

解：⑴由题意知，船由甲地逆水匀速行驶到乙地，且水速p,

而船在静水中的速度v.因此，船在实际前进时的速度v-p为变

量，

再由船在静水中的最大速度q为常量，知v的范围是p<v<q,

由此，船由甲地均匀行驶到乙地。所用的时间为

由于每小时燃料费用为，=股2（其中k为常数）.因此，所求全程

燃料费用函数为：

y=As•当ve（p,q）

（2）将船的实际前进速度v-p用m表示，则由£（p,q）可知，

mG（0,q-p）>v=p+m,得到

V=ks,/=ks（m+需+2p）

由题意可知，k,s,m都是正数，由算术平均值不小于几何平

均值得：y2ks（2p+2P）=4ksp当且仅当71唧m=p时取等号.

①当p（0,q-p],0<pWq-p,0<2pWq,即q22p,

即当m=p时，全程燃料费用y最少.

②当pe/(O,q-p],即q<2p,设"ks•嚼或=，⑺)先

证明当mG(0,q-p]时，全程燃料费用函数y=/(m)是减函数.

设0<g<m2<q-p,有f(mJ-f(m2)

=ks.(m+py

mimi

=+P2m2-TU1期-p2mi)

=^；(m2-mi)(p2-7nlm2)

2

由0<nh<m2<q-p且q-p<p得：m2-mt>0,p-

mig>0

=尚(m-m)(p、m]g)>°所以故y=f

(m)在区间(0,q-p)上是减函数.当q<2p时有f(m)>/(q-p),当

且仅当m=q-p时取等号，

即当m=q-p时全程燃料费用最少

综上所述，为使全程燃料费用最少，

当q22p时，船的实际前进速度应为p(千米/小时)；当qv2P

时，

船的实际前进速度应为q-p(千米/小时).

案例2.3：：：

市场均衡问题.商晶的价格是由其供需关系决定的.如果市场

上某种商晶的价格使得该种商晶的总需求等于总供给，则称这一商

晶市场达到均衡，这时的价格称为均衡价格，在此价格下，商晶的

供给量也就是需求量称为均衡数量.首先建立供需与价格关系的数

学模型.市场对该种商晶的需求量总是随着价格的上扬而有所下降,

即商晶的需求量Qd是价格P的递减函数，记为Q，P)；但是，生产

厂商的积极性会随着价格的上扬而上升，即商晶的供应量Qs是价

格P的递增函数，记为Qs(P).因此，经济学中需求和供给函数模

型

最简单的是线性函数分别为Q，P)=~aP+bQs(P)=cP-d其

中a,b,c,d均为非负常数.显然Q/P)和Qs(P)分别是P的递减

和递增函数.注意到当P=0时，Qd=b,

即当该商晶为免费时的需求量为b.因此，b称为社会极大需求

量.

而当Qs(P)=cP-。=0时-，可解得P=g即当价格为*寸，

该商晶的产量为0

此为生产商能够承受的最低价格.所谓均衡价格，就是使得

Qd(P)=Q”)的价格P.Q，P)和Qs(P)的表达式，应有PP+b=cP

-d.由此解得均衡价格「=赘和相应的均衡供求量Q=嗡型

这就解决了均衡价格的问题.

还有一些更加复杂的非线性模型.比如需求函数模型有

Qd(P)=~aP2+b

Q女P)=be—"

Qd(尸)=—as/P+b

它们分别称为二次函数模型指数函数模型根式函数模型以及

Qd（尸）P+C-的分式函数模型.

供给与价格关系的函数模型还有分式函数模型

Qd（尸）=篝*

以上各模型中的a,b,c,d均为非

负常数.

经济学中运用计量方法建立了许多经济量之间的关系：等成本

线也叫企业预算线成本函数与平均函数收益函数和利润函数（与产

量）

案例2.4：：：将4条腿长相同的方椅子放在不平的地上，怎样

才能放平？如何才能把它抽象成数学问题？

【问题分析】假定椅子中心不动，每条腿的着地点用A、B、C、

D表示，把AC和BD连线看做坐标系中的x轴和y轴，把转动椅子

看做坐标的旋转，如图

用9表示对角线4c转动后与初始位置x轴正向的夹角.设虱见

表示4C两腿旋转。角度后与地面距离之和.

/（切表示8,。两腿旋转9角度后与地面距离之和.当地面

形成的曲面为连续函数时,

/(刃，虱切皆为连续函数.因为三条腿总能同时着地，即对任

意。，总有〃切•g⑼=0.

不妨设初始位置9=0时g(0)=0,/(0>0,于是问题转化为：

是否存在一个名，/(%)=g(a)=0.这样椅子问题就抽象成如下数学

问题：

已知/(训，式切连续,g(o)=o,/(0)>o,且对任意的9都有/

倒•g⑻=0.求证：存在仇，

使得，(a)=g(闻=0.数学问题的证明：令/1(见=式中-〃切,

则6(0)=g(0)-/(0)<0将椅子转动枭即将4c与8D位置互换，

则有。居)>0,/(5)=0,所以

拉倍)=£/(5)一〉0•而加切是连续函数，根据连续函数的

零点定理知

必存在的6(0,倒,使得加名)=0,即g(a)=/(%)；又由条件

对任意。恒有/(刃•g⑻=0,所以式仇))=/(a))=();既存在仇

方向，四条腿能同时着地.所以椅子问题的答案是：如果地面为光

滑曲面，椅子中心不动最多转动1角度.则四条腿一定可以同时着

地.

5数据拟合方法

一、源头问题：

实验测得如下一列数据

-3-2-10123

-8.-3.-0.0.-0.-3.-8.

0942094209429058094209420942

散点图为

问题1：请找出一个函数经过所有的数据点.问题2：请预测

当x=3.5时，y的值.

作为数据处理的基本方法，拟合和插值都是要求通过已知的观

测数据去寻求某个近似函数，使得近似函数与已知数据有较高的

拟合精度。

具体来说：⑴拟合：求过已知有限个数据点的近似函数，不

要求过所有的已知数据点，

只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小.主要用来

反应数据的基本趋势.⑵插值：求过已知有限个数据点的近似函

数，要求所求的近似函数过已知的数据点.

二、数学思想与建模方方法法假设想要对数据点集拟合一条

直线

y=ax+b,应如何选择a和b,使直线最好地拟合数据？数据

点和直线间总存在一些纵向差异，称这些纵向差异为绝对偏差.

定义2.1给定m个数据点(X"必)的集合，用直线y=ax+b拟合

该集合，确定参数a和b,使任一数据点(x〃％)和其对应的直线上的

点(X"aXi+b)间的距离之和最小，即：极小化绝对偏差/%-y(x,)/

的和.可以将直线的极小化绝对偏差之和准则推广到给定曲线情

形：

给定某一函数y=/(x),以及m个数据点d必)的集合，极小化

绝对偏差/%-y(x,)/的和，

也就是确定函数类型y=/(x)的参数，极小化

m

E\yt-

i=l

再看另一种选择定义2.2给定m个数据点的集合(x>%),i=1,

2,•••,m,用直线y=ax+b拟合该集合，确定参数a和b,

使任一数据点例,力)和其对应的直线上的

点dax,+b)间的距离最小，也就是对整个数据点集极小化最

大绝对

偏差/%-y(x,)/.现将直线的极小化最大绝对偏差准则推广到

给定曲线的情形：给定某种函数y=/(x)和m个数据点心力)的一个集

合，对整个集合极小化最大绝对偏差从-y(x,)/,

即确定函数类型y=f(x)的参数从而极小化数量Max/%-

y(Xi)li=1,2,•••，/这一准则称为Chebyshev近似准则

Chebyshev准则的困难在于求解这个最优化问题需要高级的数

学方法.

三、案例分析案例2.5：：：设要度量直线段A8,8C和AC,假

定测量的结果为AB=13,BC=7,AC=19.这时，AB和BC值加起

来是20而不是测出的AC=19.问各自真值？

解：假定对每一次测量有相同的信任度，这样每一测量值有

相等的权值.

这种情况下，差异应均等地分配到每一线段，令X1代表线段AB

长度的真值，X2代表BC的真值.令小小,3表示真值和测量值

间的差异.即线段AB：q=X1-13线段BC：

r2=X2-7,线段AC：,3=Xi+X2-19数值r1、七、,3称为残

差.如果用Chebyshev准则，应指定小小Q的值使三个数值"J、

〃2人/的最大者达到最小.

如果记最大的数为r,那么我们要求最小化r,约束有三个条

件"J或一rWqWr,MlWr或一rWr?Wr,同《

r或-rW「3Wr

问题则叙述为经典的数学问题：最小化r满足约束条件

r-Xi+130(r-rx20),r+xx-1320(r+q20),

r-Xi+70(r-r220),r+x2-70(r+r220),r-Xi

-x2+190(r-r320)r+x1+x2-1920(r+r320)这

一问题称为线性规划问题.

推广这一过程，给定某一函数类型y=/(x),其参数侍定，给

定m个数据点(X"力)的一个集合，并确定出残差为r,=y,-f(x,)o

如果r代表这些残差的最大绝对值，

那么问题表示成最小化r满足约束条件r—n20,r+〃2

0,对，=1,2,•••,m

最小二乘准则问题：确定函数类型y=/(x)的参数，极小化和

in

_E\yi-f(^)l2

数1=1

案例2.6：：：某虫子产卵数与温度有关的实验观察值:

散点图为

看起来两者呈指数关系，可设产卵数y与温度x的关系为

y=6eax,任务是确定常数％6.上式两边取对数，令2=/“

a=a,b=In6,则原式变成了线性关系z=ax+b而原来的表格

变为

2222233

1357925

1.2.3.3.4.4.5.

=lny9459397904451781189765407838

散点图变为

于是，问题化为找一直线y=ax+b,即寻找a,b使得上表中

的数据基本满足这个函数关系.使得所有观测值勿与函数值axj+b

之偏差的平方和Q=£21（"一。①，一'）2最小.确定常数a,

b用的就是二元函数求极值的方法，显然Q是a,b的函数.令

器=一2七（幼一axi-b）Xi

1=1

nnn

=2Q£婢-2£4彻+2b£g=0

i=li=li=l

黑=一2£（加一axi-b）

i=l

nn

=2a£g—2£m+2nb=0

i=1Z=1

就得到线性方程组

nn

EAExi

i=lz=l

n

Exin

_〃=1_

解这个方程组,

nnn

n£x^-£g£协

f=l1=11=1

nn

i=li=l

nrinn

£叫£yi-£g£Xiyi

£=1i=li=li=l

nn

«£®i-(Eg)2

i=li=l

由问题知，Q在（a,b）上取最小值。通过计算可得a=0.26921,b

=-3.784948

于是，表的拟合直线方程为y=0.26921X-3.784948,红铃虫的产

卵数与温度的关系为

z=0.02271e026921x.

总结：数据拟合有三种判别准则：使偏差的绝对值之和最小,

使偏差的最大绝对值最小使偏差的平方和最小(即最小二乘法).

6插值方法

一、源头问题已知某未知函数y=/(x)的一组观测或试验数据

(xi,y,)(/=0,1,2,•••,n),

要寻求一个函数W(x),使得w(x,J=y”/=0,1,2,•••,n,

则(p(x)Q/(x).即：在不知道函数v=/(x)的具体表达式的情况下,

对于x=x,有实验测量值v=y#=0,1,2,•••,n),寻求另一函

数卬使满足：＜p(xz)-y,=f(x,)/=0,1,2,•••，八，称此问题为一

维插值问题.此外，还有二维插值问题.并称函数W(x)为/(x)的插

值函数，Xa,X”•••,Xn

称为插值结点，(p(Xj)=y,(/=0,1,2,•••称为插值条件，

则W(x)=/(x).

几种基本的、常用的插值方法：拉格朗日插值法牛顿插值法

Hermite插值法分段线性插值法三次样条插值法

二、数学思想与建模方方法法拉格朗日(((Lagrange)))插值：(1)

插值多项式一般提法为：

已知函数y=/(x),在n+l个相异点XQ,X》•••,x〃上

的函数值为

Yo,yvy-b,•,,Vn，要求一个次数不超过n的多项式Pn(x)=

a0+5x++••,+aM使在结点x,上成立pn(Xi)=y,(/=0,1,

2,•••,n),称pjx)为插值多项式。则/(x)的n+1个待定系

数a。，alf•••,%满足

a0+aix()+。2若H------+a”解，=yQ

\a。+即叫+a2xfH------+a„x"=如

a0+aixn+a2x^H--------anx^=yn

1X0…稣

1JE1…17

det(A)=

记此方程组的系数矩阵为4则

是范德蒙(Vandermonde)行列式.当xQ,xlf•••,xn互不

相同时，此行列式值不为零.因此，方程组有唯一解.这表明只要

〃+1个插值节点x。,X1,・•・，小互异,满足插值条件的插值

多项式存在唯一.从几何上看，n次多项式插值就是过n+1个点/

X/)

作一条多项式曲线y=pjx)来近似曲线y=f(x),可以证明n次

插值问题的解是惟一的.

当xe[a,b]且X/=M(/=0,1,•••，小时，f(x)pn(x),

称被插函数f(x)与插值多项式p/x)之间的差Rjx)=/(x)-pn(x)为

插值多项式pjx)的截断误差，或插值余项.

即：用多项式函数p/x)作为插值函数时，希望通过解方程组而

得到待定系数见，见,・••，明的做法当〃比较大时是不现实

的。因此，我们采用(2)拉格朗日插值多项式首先构造一组基函数:

n

X—Xj

(1)nif_0j

j=U，j#

_(a;_a：o)…(a;_g_i)(a:-勺+i)…(a;_;rn)

一(g-;To)…(g-g_i)(内一把计1)…(g-a?n)

(z=0,1,•••,n)

壬

以叼)=(oji

[13=i

n

令En(l)=52?/也(4)

z=0

n

X—Xj

=EyiIIXi-Xj

显然从M是n次多项式，且满足:，=0

多项式LJx)显然满足插值条件LJx,J=y”=O,L,••,n),

我们称b为n次拉格朗日插值多项式，同样由唯一性，n+1个节点

的n次拉格朗日插值多项式存在且唯一.

当/(x)在[a,切上充分光滑时，利用罗尔(Rolle)定理可推出:对于任

意xe[a,b],插值多项式p„(x)l的余项Rn(x)=f(x)-pjx)

n

了(计1)⑹n(^-

5+1)!g)gG(a,b).

i=0

例题设了,)=形,取结点为x=l、1.728、2.744求/(x)的二次

拉格朗日插值多项式pjx)及其余项的表达式，并计算P2(2)(6=

1.2599210•••).

解：取X。=1,Xi=1.728,x2=2.744为插值结点，则函数f(x)

=改为的相应的函数值为/(X0)=1，/(XI)=1.2,/(X2)=1.4.

于是,由拉格朗日插值公式,

f(x)Qp2(x)

_-J(i-L728)(a:-2.744)

=1・(1-1.728)(1-2.744)

।〔c\.[x—1)(1—2.744)

'.(1.728-1)(1.728-2.744)

1d—一1)(1.728)

(2.744-1)(2.744-1.728)

=-0.0447X2+0.3965X+0.6481将x=2代入就得到海的近似

值游qp2(2)=1.2626

它与准确值的差的绝对值(称为绝对误差)约为0.0027,而由插值

余项估计公式，

ID⑸||且.(2-1)(2-1.728)(2-2.744)1

其误差约为14-181/1W0.0125思考

题：回顾带拉格朗日余项的Taylor公式，其中的Taylor多项式与

n次拉格朗日插值多项式有什么区别？

并用函数形在x=l处的二次Taylor多项式计算方的近似值,

并将结果与上述例题比较。

牛顿(((Newton)))插值：⑴函数的差商及其性质设有函数，(x),

其中XjX*•••,x〃表示一系列互不相同的节点，可定义以

下差商：

乱十.丁.]―—―)一了(叼)

一阶差商：jJ-g—叼

二阶差商：JL©，叼，秋」-戒二£

n阶差商：力加，叫，…，厮]=小。皿，…•北匕，叩…・加

注意差商有下列性质：

⑴差商的可力口性：

磔)

f[xo,®i,••,“72」1一_乙Vn1(

k=on由一叼)

(II)差商的对称性：在f%XL•••,Xn]中任意调换与x

期的次序其值不变.即有"Xo,••,,Xi,•••,X则,•••,

X„]=f[Xa,•••,X»•••,X"•・•,xn]

(2)牛顿插值公式由各阶差商的定义，依次可得如下结果：/(x)

=/(x0)+(X-x0)f[x,x0]

fix,X0]=f[XQ,XI]+(x-X1)/[x,XQ,X1],f[x,XQ,X1]=f[Xo,XvX2]+(X

Mx,X,,,,,x_i]=f[x,Xi,••

-*2)/[x,XQ,XyX2]0n0

xn]+(x-xn)f[x,X0,•,•,Xn]将以上各式分别乘以1,(X-Xo),(X

-XO)(X-Xi),••,,(x-x0)(x-Xi)•••(X-Xn-1),然

后等式两边相加可得：f(x)=f(Xo)+(x-Xo)f风,xj+•••++(x

-Xo)(X-Xi)•••(X-Xn_1)f[x0,X"•・・，Xn]+(X-Xo)(X-X1)•••(X

一Xn)f[x,X0,Xi,•••,Xn]记Nn(x)=f(xo)+(X-X0)f[x0,

X11+,••++(X-XO)(X-X1)•••(X—X*i)f[Xo,Xi,•••,Xn]

显然Nn(x)是至多n次多项式，且满足插值条件Nn(Xj)=f(Xj)o

称此插值多项式为牛顿插值多项式。优点:每增加一个节点，插

值多项式只增加一项，即A/„+i(x)=/V„(x)+(x-x0)(x-Xi)•••(X-Xn)f

[XQ,XV•••,Xn+1]

从而便于进行递推运算，且计算量小于Lagrange插值.其余

项为：

R(x)=(x-XoHx-Xi)•••[XQ,XV•••,xwx],

埃尔米特(((Hermite)))插值：如果对插值函数，不仅要求它在节

点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更

高阶的导数值，这就是Hermite插值问题.

本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值

均相等的Hermite插值.

其一般提法为：设已知函数v=/(x)在n+1个互异节点x0

Xv•••,x"上的函数值力=/(x,J和导数值/=(，=0,

1,,,•,n)要求一个至多2n+1次多项式H(X),使得：H(x,)=%

II

H(xi)=y(i=0

满足上述条件的多项式H(x)称为Hermite插值多项式，其具

体形式如下所示：口...，叨

n

H(1)=E3［(g一Z)(2Q你一y。+yi］

z=0

n

na；=>----------

h.—n(X~XjI2.n-,-xi-x3

—li\-Xj)，J=04尹

其中j=0.j^iXi3

高次插值多项式的龙格(Runge)现象：用拉格朗日插值多项式

Pn(xl作为区间［a,切上

连续函数/(X)的近似函数，在大多数情况下，P/X)的次数越高，

逼近f(x)的效果就越好.

但是对于高阶多项式插值问题而言，往往会造成P/X)的收敛

性与稳定性变差，逼近效果不理想，甚至发生龙格现象，这是龙格

(Runge)在20世纪初所发现的：在［-1,1］上用〃+1个等距节点作

f(X)=]

函数一的插值多项式为(x),则随着〃的增大，p/x)振

荡越来越大计算结果与理论证明表明，当〃趋于无穷大时，pjx)

在区间中部收敛于/(x),但对满足条件0.726•••lx/<1

的x,pn(x)并不收敛于/(x).因此：我们将每两个相邻的节点用直

线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数记作ln(x)

它满足以刈=%,且/Jx)在每个小区间[xMj+J上是线性函数.具

体表示如下：

n

/几(冗)=52

i=0,

其中

2,(")=

5x

xi-^he

<一旌㈤"

o,其他

这样构造的“X)有良好的收敛性，即对于XW[a,b]有

lim/„(x)=/(x).

n-*0°

我们可以看出用Mx)计算x点的插值时，只用到其左右的两个节

点，所以计算量与节点个数n无关.但是n越大，分段越多，则

插值的误差越小.分段线性插值函数在节点处的一阶导数一般不存

在，光滑性不高.许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的

光滑性有较高要求.机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都

要求曲线具有较高的光滑程度，要有连续的曲率。绘图员的做法是

首先将这些数据点描绘在平面图纸上,再把一根富有弹性的细直