人教A版必修时分段函数课件-4

第2课时分段函数学习目标1.通过具体实例,理解分段函数的概念,培养数学抽象的核心素养.2.会描绘分段函数图象,掌握分段函数简单应用,提升直观想象和数学运算的核心素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究分段函数如果函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系,就称这样的函数为分段函数.思考:已知函数f(x)由表给出,写出这个分段函数的解析式、定义域、值域.x0<x≤55<x≤10f(x)23师生互动·合作探究探究点一分段函数求值解:(2)由于x∈[-1,1]时,f(x)=2≠6,故a∉[-1,1].若a∈(-∞,-1),则-2a=6,得a=-3,符合题意;若a∈(1,+∞),则2a=6,得a=3,符合题意.所以a的值为-3或3.方法总结(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.解析:(1)f(1)=f(2)-1,又由f(2)=4-2=2,则f(1)=1.故选C.解析:(2)当a<1时,-a=1,a=-1,成立.当a≥1时,(a-1)2=1,解得a=2.综上,a的值为2或-1.故选B.探究点二分段函数的图象类型一根据分段函数解析式作出函数图象解:(1)根据函数的定义域,描出关键点(-1,2),(0,3),(2,-1),(5,2),图象如图所示.解:(2)函数f(x)的值域为(-1,3],f(x)=2的解集为{-1,1,5}.方法总结画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示;若端点不包含在内,则用空心圈表示.应按分段分别作出其图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可,即“整段作图分段取”.解:(1)作出f(x)的图象,如图所示.(2)求f(x)的定义域和值域.解:(2)观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1].类型二根据函数图象写出函数解析式[例3]如图,函数f(x)的图象为折线ACB,求函数的解析式.方法总结根据分段函数的图象求分段函数解析式时,应根据各段图象的特征,结合待定系数法求函数解析式的方法求出各段的解析式,最后用分段函数形式写出,要注意各段端点的“含”与“不含”.针对训练3:已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是

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解析:设线段AB所在直线对应的方程为y=k1x+b1(k1≠0),则由直线过点A(-1,0),B(0,1)知,y=x+1;线段OC过原点与(1,-1),故方程为y=-x.探究点三分段函数的应用类型一分段函数不等式解法解:由题意知,f(1)=3.当x≥0时,原不等式可化为x2-4x+3>0,解得0≤x<1或x>3;当x<0时,原不等式可化为x+4>3,所以-1<x<0.综上,f(x)>f(1)的解集为(-1,1)∪(3,+∞).方法总结求解与分段函数有关的不等式,应在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将解集与每段的定义域取交集,最后将各交集“并”起来.解:当a≤0时,3a+5>2⇒a>-1,此时-1<a≤0;当0<a≤1时,a+5>2⇒a>-3,此时0<a≤1;当a>1时,-2a+8>2⇒a<3,此时1<a<3.故所求a的取值范围是(-1,3).类型二分段函数的实际应用[例5]等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,作直线MN⊥AD交AD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x(0≤x≤2a),试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.方法总结关键是认真审题,弄清自变量取不同范围内的值时,函数对应关系有什么不同.找准分段点,逐段确定对应关系.针对训练5:如图,在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线B-C-D-A由点B向点A运动(P不经过点B和点A).设点P运动的路程为x,△APB的面积为y.求:(1)y与x之间的函数关系式;针对训练5:如图,在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线B-C-D-A由点B向点A运动(P不经过点B和点A).设点P运动的路程为x,△APB的面积为y.求:(2)画出y=f(x)的图象.解:(2)画出y=f(x)的图象,如图所示.当堂检测B解析:若a≤0,则f(a)=a2+1=10,所以a=-3(a=3舍去),若a>0,则f(a)=2a=10,所以a=5.综上可得,a=5或a=-3.故选B.C解析:当x>0时,f(x)=1;当x<0时,f(x)=-1.故选C.3.若函数y=f(x)的图象如图所示,则其表达式为

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答案:(-∞,0)备用例题解析:因为D(x)∈{0,1},所以D(x)为有理数,所以D(D(x))=1.故选B.A.①是f(x-1)的图象B.②是f(-x)的图象C.③是f(|x|)的图象D.④是|f(x)|的图象解析:作函数f(x)的图象,如图所示.①f(x-1)的图象是由函数f(x)的图象向右平移一个单位长度得到的,正确.②f(-x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称,正确.③是f(|x|)的图象,当x≥0时,与f(x)的图象相同,当x<0时,与x≥0时的图象关于y轴对称.正确.④因为f(x)≥0,所以|f(x)|的图象与函数f(x)的图象相同,所以不正确.故选D.[例3]设x∈R,则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为

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答案:{y|y≤2}[例5]某村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收取管理费2元,月用电量不超过30千瓦时时,每千瓦时0.5元;超过30千瓦时时,超过部分按每千瓦时0.6元收取;方案二:不收管理费,每千瓦时0.58元.(1)求方案一收费L(x)(单位:元)与用电量x(单位:千瓦时)间的函数关系;[例5]某村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收取管理费2元,月用电量不超过30千瓦时时,每千瓦时0.5元;超过30千瓦时时,超过部分按每千瓦时0.6元收取;方案二:不收管理费,每千瓦时0.58元.(2)老王家九月份按方案一交费35元,问:老王家该月用电多少千瓦时?解:(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35,得x=66(舍去),当x>30时,由L(x)=0.6x-1=35,得x=60,所以老王家该月用电60千瓦时.[例5]某村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收取管理费2元,月用电量不超过30千瓦时时,每千瓦时0.5元;超过30千瓦时时,超过部分按每千瓦时0.6元收取;方案二:不收管理费,每千瓦时0.58元.(3)老王家该月用电量在什么范围内,选择方案一比选择方案二更好?解:(3)设方案二收费F(x),则F