江苏省南京市六校2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题（含解析）

南京2022-2023学年第二学期6月六校联合调研考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足，则=()A. B. C. D.2.已知随机变量服从正态分布，若，则等于()A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.9683.“”是“为奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.随机变量的分布列如下：-101若，则的值是()A. B. C. D.5.把分别标有号、号、号、号个不同的小球放入分别标有号、号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为()A. B. C. D.6.已知，为两个随机事件，，，，，则()A.0.1 B. C.0.33 D.7.已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为()A.2 B. C. D.8.设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则()A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.经研究，变量与变量具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得关于的线性回归方程为，下列正确的是()2471015228.4911014.518.426A.变量与呈正相关 B.样本点的中心为C. D.当时，的估计值为13.210.若函数，则下列结论正确的是()A.函数最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称D.函数的图象关于点对称11.如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则()A.平面 B.平面平面C.与平面所成角的余弦值为 D.点到平面的距离为12.对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是()A.的极大值为B.有且仅有2个零点C.点是的对称中心D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知直线：与圆交于两点，则____________.14.设曲线在处的切线与直线垂直，则____________.15.设等比数列的前n项和为.已知，，则____________.16.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的展开式前三项的二项式系数的和等于16.(1)求的值；(2)求展开式中所有的有理项.18.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设，别是数列的，前项和，且，，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.19.如图，在三棱柱中，四边形为正方形，点为棱的中点，平面平面，.(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.20.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体.(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；(ii)以(i)中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记2个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求X的概率分布.参考公式：(其中为样本容量)0.500400.250150.1000.0500.0250.45507081.3232.0722.7063.8415.02421.已知椭圆E：的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2.(1)求E的方程；(2)记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M(点M在第一象限)，P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点.22.已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若恒成立，求的取值范围.

2022-2023学年第二学期6月六校联合调研考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足，则=()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合复数的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由复数z满足，可得，则.故选：A.2.已知随机变量服从正态分布，若，则等于()A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.968【答案】C【解析】【分析】由正态分布的对称性即可求解.【详解】由正态分布的对称性可知,所以，故选：C3.“”是“为奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】为奇函数，此式子对于定义域内的任意皆成立，必有则故“”是“为奇函数”的充分不必要条件,正确.故选：4.随机变量的分布列如下：-101若，则的值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用概率之和为1得到，利用期望的公式得到，两个联立算出再利用方差的计算方式算出结果【详解】由题设可得，所以随机变量的方差为，故选：D．5.把分别标有号、号、号、号的个不同的小球放入分别标有号、号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行计算即可.【详解】个小球放入个盒子，没有空盒子，则有两个小球放入同一个盒子，因此分为两类：第一类：号小球单独放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，放入与未被选中小球标号相同的盒子中，有种方法；第步，将未被选中的小球和号小球，分别放入另外个盒子中，有种方法.∴号小球单独放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.第二类：号小球与另一小球共同放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，有种方法；第步，将号小球与第步选出的小球放入与选出小球标号不同的盒子中，有种方法；第步，剩余的个小球，其中个，与剩余的两个空盒其中的个标号相同，只有方法放置.∴号小球与另一小球共同放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号球；第步，将号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.∴没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为种.故选：B.6.已知，为两个随机事件，，，，，则()A.0.1 B. C.0.33 D.【答案】B【解析】【分析】根据互斥、对立事件的加法公式和条件概率公式和乘法公式即可求解。【详解】，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故选：B.7.已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为()A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】联立解得A、B纵坐标，再由对称关系得AB长，后余弦定理计算即可.【详解】联立圆O与双曲线C方程得，又由圆与双曲线的对称性可得，设圆的半径为，则，因为圆心为，则，在中，由余弦定理得，因为双曲线斜率大于1，所有化简得，故选：D8.设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意令，进而根据题意得在上单调递减，故，进而得答案.【详解】解：因为满足，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以.所以.故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.经研究，变量与变量具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得关于的线性回归方程为，下列正确的是()2471015228.49.11014.518.426A.变量与呈正相关 B.样本点的中心为C. D.当时，的估计值为13.2【答案】AB【解析】【分析】根据样本中心即可求解，由此即可代入求解.【详解】由于所以样本中心为，将其代入得，故，当时，，故AB正确，CD错误，故选：AB10.若函数，则下列结论正确的是()A.函数最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称D.函数的图象关于点对称【答案】BCD【解析】【分析】A.由三角函数的周期公式求解判断；B.由，得到，由的单调性判断；C.由是否为最值判断；D.由是否为0判断.【详解】A.函数最小正周期为，故错误；B.由，得，因为在上递增，故正确；C.因为，所以函数图象关于对称，故正确；D.因为，所以函数的图象关于点对称，故正确.故选：BCD11.如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则()A.平面 B.平面平面C.与平面所成角的余弦值为 D.点到平面的距离为【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，判断与平面的一个法向量是否垂直即可判断A；根据平面和平面的法向量是否垂直判断出B；由线面夹角的正弦的公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；由点到平面的距离公式即可判断D．【详解】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，与交点为，连接，则平面，因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为2，所以，，点坐标为，所以，对于A：，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以与平面不平行，故A错误；对于B：由A得平面的一个法向量为，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以平面平面，故B正确；对于C：由A得平面的一个法向量为，，设与平面所成角为，则，所以，故C错误；对于D：由A得平面的一个法向量为，因为，所以点到平面的距离为，故D正确；故选：BD．12.对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是()A.的极大值为B.有且仅有2个零点C.点是的对称中心D.【答案】ACD【解析】【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确.【详解】由函数，可得，令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；又由极小值，且当时，，当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；由，可得，令，可得，又由，所以点是函数的对称中心，所以C正确；因为是函数对称中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知直线：与圆交于两点，则____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，又由圆心到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得.故答案为：.14.设曲线在处的切线与直线垂直，则____________.【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义，以及两直线垂直的关系，求实数的值.【详解】因为，所以，所以，所以，即.故答案为：15.设等比数列的前n项和为.已知，，则____________.【答案】##31.5【解析】【分析】根据得相减可得公比，由求解首项，即可由求和公式代入求解.【详解】当的公比为1时，由可知显然不成立，故公比不为1，由得，所以时，，相减可得，故公比，又，故，故答案为：16.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则___________.【答案】4【解析】【分析】先判定AB⊥MB，利用垂直关系得出A、B坐标结合抛物线焦半径公式计算即可.【详解】由题意易知，可设，由，可得QAM中点，则，又由可得:，即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在，故，联立抛物线与直线AB可得所以有由抛物线定义得，故答案为：4四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的展开式前三项的二项式系数的和等于16.(1)求的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)5(2)，，【解析】【分析】(1)根据题意得到，结合组合数的计算公式，即可求解的值；(2)求得展开式的通项，结合题意确定的值，即可求解.【小问1详解】解：由的展开式前三项的二项式系数的和等于，可得，即，解得或(舍)所以的值为.【小问2详解】解：由(1)知，二项式展开式的通项为，，当时，可得，此时展开式得到的为有理项，所以展开式中所有的有理项为，，.18.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设，别是数列的，前项和，且，，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(2)求得，运用等比数列的求和公式和裂项相消求和的方法，计算可得所求和.【小问1详解】∵数列，都是等差数列，且，，∴，即，解得∴，.综上，，【小问2详解】由(1)得：∴19.如图，在三棱柱中，四边形为正方形，点为棱的中点，平面平面，.(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取中点，根据题意，，证得平面，进而证得，结合点为的中点，即可证得；(2)先证得平面，以为基底建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取中点，连接，，因为四边形为正方形，点为的中点，点为的中点，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为点为的中点，所以.【小问2详解】解：因为平面平面，平面平面，且，，所以平面，以为基底建立如图所示空间直角坐标系，则，，，可得，，设为平面的一个法向量，则，取，得，所以，由平面，可得平面的一个法向量为，则，由图知二面角为钝二面角，所以其余弦值为.20.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体.(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；(ii)以(i)中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记2个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求X的概率分布.参考公式：(其中为样本容量)0.500.400250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】(1)列联表见解析，有(2)(i)；(ii)分布列见解析【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出各个组的人数，并填写出列联表，计算出卡方，与3.841比较后得到结论；(2)(i)设出事件，利用对立事件概率公式和条件概率进行求解；(ii)得到，利用二项分布求概率公式进行求解，从而求出分布列.【小问1详解】由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在内有(只)；在内有(只)；在内有(只)；在内有(只)，在内有(只).由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得，根据独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关【小问2详解】(i)令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A，B，C发生的概率分别为，则，，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，(ii)由题意，X的取值集合为，所以X的概率分布为X012P21.已知椭圆E：的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2.(1)求E方程；(2)记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M(点M在第一象限)，P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点.【答案】(1)(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据椭圆的几何性质即可求解.(2)联立直线