压轴题03不等式压轴题13题型（学生版）

压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总命题预测本专题考查类型主要涉及点等式与基本不等式的内容，其中涉及了基本不等式与三角函数，正余弦定理，解析几何，集合，函数等内容的结合。预计2024年后命题会在上述几个方面进行，尤其是多圆不等式的考查。高频考法题型01多元不等式最值、取值范围问题题型02基本不等式提升题型03基本不等式与三角函数结合题型04基本不等式与解析几何结合题型05基本不等式与向量结合题型06基本不等式新考点题型07基本不等式与正余弦定理结合题型08指对函数与不等式题型09基本不等式与立体几何结合题型10基本不等式与集合、函数新定义题型11不等式与数列结合题型12基本不等式与函数结合题型13不等式新考点01多元不等式最值、取值范围问题利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.1.（2024·贵州·三模）以maxMminM表示数集M中最大（小）的数.设a>0,b>0,c>0，已知a22.（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知正数a，b满足a+b=1，c∈R，则3a3.（多选）（2024·浙江·二模）已知正实数a，b，c，且a>b>c，x，y，z为自然数，则满足xa−b+yb−c+zc−aA．x=1，y=1，z=4 B．x=1，y=2，z=5C．x=2，y=2，z=7 D．x=1，y=3，z=94.（2024·河北邯郸·三模）记min{x,y,z}表示x，y，z中最小的数．设a>0，b>0，则mina,15.（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是02基本不等式提升在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6.（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件：ea−b+c+ea+b−c=27.（2024·全国·模拟预测）已知x>0，y>0且x+y=1，则x2A．15 B．25 C．358.（2024·江苏苏州·模拟预测）已知“a>0,b>0”与“a+b=1”互为充要条件，则“1a+4ab”和“9.（2023·全国·模拟预测）已知x∈4,+∞，y∈0,5，z∈0,1，则10.（2023·天津武清·模拟预测）已知a>0，b>0，c>0,blog42+4c03基本不等式与三角函数结合据三角恒等变换结合基本不等式求最值需要注意去等条件是否满足，去等条件不满足时，也可以通过对勾函数进行求解11.（2023·山西·模拟预测）已知α,β,γ均是锐角，设sinαcosβ+sinβA．3 B．1513 C．1 D．12.（2024·湖南·模拟预测）如图所示，面积为π的扇形OMN中，M,N分别在x,y轴上，点P在弧MN上（点P与点M,N不重合），分别在点P,N作扇形OMN所在圆的切线l1,l2，且l1与l2交于点Q，其中l1A．4 B．23 C．6 13.（2023·江西·二模）在△ABC中2sinA+sinA．14 B．16 C．18 D．2014.（23-24高三上·重庆·阶段练习）若α+β−sinγ=0，则α+15.（22-23高三上·江苏·阶段练习）在△PAB中，PA=PB，点C，D分别在PB，PA边上．(1)若∠APB=π3，CD=1，求(2)设四边形ABCD的外接圆半径为R，若∠APB∈π3,π，且AB⋅BC⋅CD⋅DA的最大值为404基本不等式与解析几何结合16.（2024·河南·模拟预测）已知点Pm,n是圆C:x2A．25 B．24 C．23 D．2217.（2024·浙江·一模）已知A,B分别是双曲线C:x24−y2=1的左，右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M,NA．316 B．34 C．318.（2024·陕西安康·模拟预测）如图，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在C的渐近线上，点A关于x轴的对称点为B,OA⋅AF19.（2023·上海崇明·一模）已知正实数a,b,c,d满足a2−ab+1=0,c2+d20.（2024·全国·模拟预测）我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆E:x22+y(1)若椭圆F:x2s+y(2)设椭圆G:x22+y2=λ(0<λ<1)，过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为k(3)若椭圆H:x22+y2t=1(t>2)与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆H上的任意一点记为05基本不等式与向量结合21.（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅ba2+b2，a⊙bA．1 B．32 C．1或74 22.（2022·浙江杭州·模拟预测）已知单位向量e，向量bi(i=1,2)，满足e−bi=e⋅bi23.（23-24高三下·天津和平·开学考试）在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设AB=a，AC=b，记AN=ma+nb，则m−n=；若∠A=π6，24.（2022·浙江·模拟预测）已知e为单位向量，a⋅e=1，2022b=A．2022 B．20222022 C．2021 D．25.（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2m2−y2n2=1m>0,n>0有公共焦点F1−c,0，F2c,0c>0，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，点P为两曲线的一个公共点，且06基本不等式新考点26.（2024·广东湛江·二模）当x>0，y>0时，x+y2≥xy.这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx+μy≥xλyμ，其中λ+μ=1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx+μy≈xλA．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.03927.（2024·浙江·模拟预测）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，A．46 B．45 C．44 D．4328.（2024·广东广州·二模）设10≤x1<x2<x3<x4<xA．DB．DC．DD．Dξ1与Dξ29.（2023·山东·二模）已知随机变量ξ~N2,σ2，且PA．3+23 B．C．2+3 D．30.（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1+p2=43A．27 B．24 C．32 D．2807基本不等式与正余弦定理结合求解三角形中有关边、角、面积的最值（范围）问题，常利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等建立a+b，ab,a2+31.（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinA=acosC,c=2．若G为A．12−429 B．8+429 C．32.（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cosα=

A．1030+15C．1010+533.（2024·四川泸州·二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=3a2−334.（2024·四川泸州·二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2−235.（2024·福建莆田·二模）如图，点O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心，l是过点O的任一直线，将此正六边形沿着l折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为．

08指对函数与不等式36.（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：xt=X0coshabt−baY0sinhabtyt=Y0coshabtA．若X0>Y0B．若X0>Y0C．若X0D．若X037.（2024·北京丰台·一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个n级火箭，在第n级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为v=3ln其中ai注：mp表示人造天体质量，mj表示第j（给出下列三个结论：①a1②当n=1时，v<3ln③当n=2时，若v=12ln2，则其中所有正确结论的序号是．38.（2023·天津滨海新·模拟预测）已知正实数x，y，z满足2xA．1x+1C．x2>y39.（2021·陕西安康·三模）若对任意x∈[2,8]，总存在y∈[1,2]，使得y+2A．−254 B．−234 C．40.（2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足e1−2m=2m+nen09基本不等式与立体几何结合41.（2024·安徽·模拟预测）设P−ABCD与Q−ABCD为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为2且∠PCQ=90°，点M在线段AC上，且3CM=AM，将异面直线PD，QM所成的角记为θ，则sinθA．53 B．23 C．3342.（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA−CB=2，且PC⊥AB，则二面角P−AB−CA．23 B．34 C．1243.（23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是A．3 B．23 C．13 D．44.（2022高三·全国·专题练习）四棱锥S−ABCD中，侧面SBC为等边三角形，底面ABCD为矩形，BC=2,AB=a，顶点S在底面ABCD的射影为H，当H落在AD上时，四棱锥S−ABCD体积的最大值是（

）A．1 B．32 C．2 45.（多选）（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥Q−EFGH中，底面是边长为22的正方形，M为QG的中点．QE=QF=QG=QH=4，过Q作平面EFGH的垂线，垂足为O，连EG，EM，设EM，QO的交点为A，在△QHF中过A作直线BC交QH，QF于B，C两点，QB=xQH，QC=yQF，过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V

A．QA=13C．V1=23xy 10基本不等式与集合、函数新定义函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.46.（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=f(x,y)在约束条件g(x,y)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ为拉格朗日系数．分别对L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：Lx(x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0Ly(x,y,λ)=补充说明：【例】求函数f(x,y)=x2+xy+y2关于变量x的导数．即：将变量y当做常数，即：fx(x,y)=2x+y(1)求函数f(x,y)=x2y2+2xy+x(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数x,y满足g(x,y)=4x2+(3)①若x,y,z为实数，且x+y+z=1，证明：x2②设a>b>c>0，求2a47.（多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）定义函数y=fx的曲率函数Kx=y''1+y'23A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小B．函数y=sinx在C．若圆C为函数y=lnx的一个曲率圆，则圆D．若曲线y=lnx在x48.（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数x∈−1,+∞，在n∈1,+∞时，有不等式1+xn(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；(2)当n≥1时，对伯努利不等式进行证明；(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知a1,a249.（2024·海南海口·一模）在计算机科学中，n维数组X=x1,x2,⋯,xn,xi∈0,1,i∈N(1)若n维数组C=0,0,⋯,0，证明：d(2)证明：对任意的数组A,B,C，有dA−C,B−C(3)设集合Sn=XX=x1,x2,⋯,xn,50.（2020·全国·模拟预测）定义：设函数y=fx在a,b上的导函数为f'x，若f'x在a,b上也存在导函数，则称函数y=fx在a,b上存在二阶导函数，简记为y=f″x.若在区间a,b上f″x<0，则称函数11不等式与数列结合数列与函数、不等式的综合问题的常见题型1.数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．51.（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且2SA．当0<α<13−14时，aC．数列S2n−1单调递增，S2n单调递减 D．当α=52.（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13⋯(1)∀n∈N∗，n≥3，矩阵Bnn=1(2)∀n∈N∗，n≥3，，矩阵Cnn=(3)矩阵Dmn=lnn+2n+1  053.（23-24高三下·安徽·开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1,a2,⋯,an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1+a2+⋯+a(1)若an=n+4(2)若bn=12n−1，记(3)若cn=1+1n54.（2024高三上·全国·竞赛）已知等比数列an的公比q>1，a1,(1)求q+d的最小值；(2)当a11取最小值时，求集合A={55.（2023·全国·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了an子安贝（其中1≤n≤31，n∈N*），数列an的前n项和为Sn.若关于nA．15 B．20 C．24 D．2712基本不等式与函数结合56.（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足x>32，y>3，不等式A．12 B．24 C．23 D．57.（2024·云南大理·模拟预测）若m为函数fx=m(x−m)A．m>n>0 B．m<n<0C．mn>m2 58.（2024·全国·模拟预测）mina,b表示两个实数a，b中的较小数．已知函数fx=min3+log14x,59.（2024·湖北·模拟预测）若函数fx=x−2+1x在不同两点A60.（2024·广东深圳·一模）已知函数fx=ax−x1x−x2x−x3(a>0)，设曲线13不等式新考点61.（2024·全国·二模）已知a,b为实数，若不等式2ax2+4a+bx+4a+b≤2x+162.（2024·浙江·模拟预测）对x,y定义一种新运算T，规定：Tx,y=ax+by2x+y（其中a,b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T0,1=a×0+b×12×0+1=b，已知T63.（2023·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉