湖北省恩施州巴东县2023-2024学年九年级下学期第一次联考数学试题（含答案解析）

2024年春季学期第一次教学监测【九年级数学】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列无理数中，大小在0和1之间的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查无理数、估算无理数的大小，利用放缩法估算的大小，可判断A，C，根据可判断B，根据是分数可判断D．【详解】解：∵，∴，∴，∴A符合题意；∵，∴，∴B不符合题意；∵，∴C不符合题意；∵是分数，不是无理数，∴D不符合题意；故选A．2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．【详解】解：A、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；B、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；C、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；D、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；故选：A．3.下列运算中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了幂的运算、合并同类项、乘法公式，根据运算法则和乘法公式计算即可得到得到答案．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项正确，符合题意；C．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：B．4.已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有3个整数解，求出实数a的取值范围．【详解】解：解不等式得，，解不等式得，，∵不等式组有且只有3个整数解，∴，故选：C．【点睛】此题考查的是由一元一次不等式组解集的情况求参数，解题关键是熟练掌握一元一次不等式的解法．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5.新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：思想政治地理化学生物思想政治（思想政治，地理）（思想政治，化学）（思想政治，生物）地理（地理，思想政治）（地理，化学）（地理，生物）化学（化学，思想政治）（化学，地理）（化学，生物）生物（生物，思想政治）（生物，地理）（生物，化学）共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，恰好选择化学和生物的概率为．故选：B．6.如图，和直尺两边，且，把三角尺的直角顶点放在上．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由平行线的性质可得，，由角的和差可求得，即可解答．【详解】解：如图，∵，，∴，，∵，∴，∴．故选：B7.已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，，观察图形可得小手盖住的点的坐标在第二象限，再逐项判断即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∴A、点在第三象限内，因为小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项不符合题意；B、点在第二象限内，小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项符合题意；C．点在第四象限内，因为小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项不符合题意；D、点在第一象限内，因为小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了点所在象限的判断，求出a，b的正负是解题的关键．8.如图，在中，，点F是斜边的中点，以为边作正方形若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的面积可得，从而利用直角三角形，斜边上的中线性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．详解】解：∵∴，在中，点F是斜边的中点，∴∵∴∴故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．9.如图，在中，以边为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．若D为的中点，，则的长为（）A.5 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质定理，圆周角定理等知识，证明是解题的关键，证明，得到，由勾股定理即可得到，即可得到答案．【详解】解：连接，∵以边为直径作交于点，∴∵为的中点，为的中点，∴，∴∵，∴，∴，∵过点作的切线交于点，∴∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴（负值舍去），故选：C10.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在之间，从而判断①；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②；由有两个相等实数根可得，从而判断③．由函数最大值为可判断④．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，∴抛物线对称轴为直线，∵图象与x轴的一个交点在和之间，∴图象与x轴另一交点在之间，∴时，，即，故①正确，符合题意．∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴时，，故②正确，符合题意．∵抛物线顶点坐标为，∴有两个相等实数根，∴，∴，故③正确，符合题意．∵的最大函数值为，∴没有实数根，故④正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.请计算的结果为______．【答案】##【解析】【分析】根据分式的减法法则进行计算．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的减法，正确的计算是解题的关键．12.如图，在菱形中，于点，，，则的值是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．由锐角三角函数定义得，设，则，推出，，然后由锐角三角函数定义即可求解．【详解】解：∵四边形菱形，∴，∵，∴，∵，∴可设，则，∴，，又∵，即，∴，∴，∴．故答案为：2．13.如图，反比例函数的图象经过等腰直角三角形的一个顶点，，，轴，则________．【答案】2【解析】【分析】作于，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到，，再利用轴得到，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算的值．【详解】解：作于，如图，为等腰直角三角形，，，轴，∴C点坐标为：，，把，代入得．故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了等腰直角三角形的性质．14.在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“诚实守信”这四个字表示的数之和______．【答案】21【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是能够从幻方中发现一个可以求出x的等量关系．观察幻方，可由第1列、第2行列方程求出x，由第3行、第3列可用x的代数式表示出“实”，由此可求出各代数式的值，并根据由下向上对角线上三个数的和求出所以幻方中的数，进而使问题得到解决．【详解】解：由第1列、第2行，得：，解得，由第3行、第3列，得实，∴实，当时，，，，∴每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和，∴诚，实，守，信，“诚实守信”这四个字表示的数之和．故答案为：21．15.如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可．【详解】解：由题可知：，此第一次跳动到的中点处时，，同理，第二次从点跳动到处，，同理，第三次从点跳动到处，同理，跳动次后，，故线段的长度为：，当时，，∵点在负半轴，∴点表示的数是，故答案为：．三．解答题（共9小题，满分75分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值．先根据二次根式的混合运算、负整数指数幂化简，代入特殊角的三角函数值，然后计算加减法即可．【详解】解：．17.如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，求的面积．【答案】2.5【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点．过点作轴于，根据反比例函数的几何意义可得，根据的面积是的面积的2倍，可得，进而可得，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出的面积，进而可得答案．【详解】解：如图，过点作轴于，已知，是反比例函数图象上的两点，，的面积是的面积的2倍，，，轴，轴，，又，，，．18.某楼举办了青年大学习知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级（A：；B：；C：；D：；E：）七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数七年级76m75八年级777678其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生．根据以上信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________．（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由．（3）请对该校学生对青年大学习知识的掌握情况作出合理的评价．【答案】（1），（2）八年级学生的成绩较好，理由见解析（3）青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传（答案不唯一，合理即可）【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．（1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值；（2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；（3）根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可．【小问1详解】解：由条形统计图可得，调查人数为(人)，扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是：，将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75分，即，故答案：，；【小问2详解】八年级学生的成绩较好，理由：由表可知八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；【小问3详解】青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．19.在菱形中，对角线相交于点为的中点，连接并延长到点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，（1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得即可推出四边形是矩形；（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得，然后在直角三角形中，解直角三角形可以求出的长，从而得到的长；灵活运用上述性质解决问题是本题的关键．【小问1详解】证明：为的中点，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，平行四边形是矩形；【小问2详解】解：四边形是菱形，，四边形是矩形，，设，，，根据勾股定理可得，即，解得，，．20.已知二次函数图象经过，、三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移规律求得平移后的二次函数的解析式．【小问1详解】解：把，、代入，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为；【小问2详解】解：若将该二次函数图象平移后经过点，且对称轴为直线，设平移后的二次函数的解析式为，将点代入，得，解得，．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为．21.高铁给我们的出行带来了极大的方便．如图，高铁列车座椅后面的小桌板收起时，小桌板的支架的底端N与桌面顶端的距离，且可以看作与地面垂直．展开小桌板时桌面保持水平，即，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．若，，求展开小桌板时点到的距离（结果精确到，参考数据：，，，，）．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，构造和，设，则，利用直角三角形的边角间关系分别用含的代数式表示出，根据线段的和差关系得到关于的方程，求解后代入计算即可得到点到的距离，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴，设，则，在中，∵，∴，，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，解得，∴，答：点到的距离约为．22.如图，平分，点A在射线上，以点A为圆心，半径为1的与相切于点B，连接并延长交于点D，交于点E．（1）求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，角平分线的性质，求不规则图形面积，解直角三角形等等：（1）首先过点A作于点F，易证得，即可得是的切线；（2）由，可求得的长，又由，即可求得答案．【小问1详解】证明：过点A作于点F，如图，∵与相切于点B，∴，∵平分，是半径，∴，∴是的切线；【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，在中，∴．23.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，点E为线段上一点，将绕点E旋转时，线段与交于点P，线段与直线交于点Q．（1）如图①，点Q在线段上且时，求证：；（2）如图②，点Q在线段的延长线上时，求证：；（3）如图③，点Q在线段的延长线上，若，，，求P，Q两点间的距离．（用含a的代数式表示）【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据和是两个全等的等腰直角三角形，得到，结合三角形内外角关系可得，即可得到证明；（2）根据，即可得，结合即可得到证明；（3）根据，得到，结合得