2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练（解析版）

基础套餐练01

一、多选题

1.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的

数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是()

A.成绩在［70,80)分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

【详解】

解：由频率分布直方图可得，成绩在［70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故4正确；由频率分布

直方图可得，成绩在［40,60)的频率为0.25,因此，不及格的人数为4000x0.25=1000,故B正确；由频

率分布直方图可得，平均分为45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正

确;因为成绩在［40,70)内的频率为0.45,［70,80)的频率为0.3,所以中位数为70+10x^^71.67,

故O错误，故选：ABC.

2.若函数/Cx)=2sin(x+2e)-cosx(0<e<5］的图象过点(0,2),则结论不成立的是()

A.点(?,()］是y=/(x)的一个对称中心B.直线x=q是y=/(x)的一条对称轴

C.函数y=/(x)的最小正周期是2"D.函数y=/(x)的值域是［0,2］

【详解】由函数/(%)=2sin(x+2。)•cosx0<6<U的图象过点(0,2),

7171

可得2sin26=2,即sin2夕=1,0<2。<"，.二2夕=一,「.夕=一,

24

故/(工)=2sin(x+26)•cosx=2cos2x=cos2x+l,

71

当工=一时,/(%)=［故A、B都不正确;

4

2乃

/(X)的最小正周期为一=%,故C不正确;

2

显然,f(x)=cos2x+le[0,2],故D正确，故选:ABC

，2

3.已知双曲线'■-£=l（a>0/>0）的左、右焦点分别为耳，工，P为双曲线上一点，且归国=2|PR|,

若sinN6P6=孚，则对双曲线中。，4&e的有关结论可能正确的是（）

A.e=>/6B.e=2C.b=\[5aD.b-yf^a

【详解】由双曲线的定义有归耳|一归周二2斯乂|尸盟=2|尸周，故仍周=2么|尸制=如

乂sin/^P玛=萼,所以85/6尸6=±J1-

在焦点三角形△耳中，F、F；=P耳2+PF；—2PF?.PF2-cos/耳P6,即

4c~=16a-+4a~-2-4a•2a{±[[,化简得c?=6,/或c?=41,即e=瓜或e=2.

当c2=6。2时a?+=6a2nb、5a2即b=45a-

当c?=4a2时/+/=4a2=白=3a2即人=.综匕ABCD均可能正确.

4.如图，正方体ABCD—A4C；R的棱长为1,动点E在线段AG上，F,M分别是40、。的中点,

则下列结论中正确的是（）

A.FM/g

B.反以，平面CC/

C.存在点E,使得平面跳下〃平面CG

D.三棱锥8-CE尸的体积为定值

【详解】在A中，因为分别是AZ）,CO的中点，所以FMHAC/g，故A正确;

BCCD

在B中，因为tanNBMC=——=2.tanZCFD=——=2,故ZBMC=ZCFD,

CMFD

TT

故ZBMC+NDCF=NCFD+NDCF=耳.故_Lb,又有6M，G。，

所以，平面CG尸，故B正确；

在C中,BE与平面CG2。有交点，所以不存在点E，使得平面BEF〃平面CGRD,故C错误.

在D中,三棱锥B-CEF以面BCF为底，则高是定值，所以三棱锥B-CEF的体积为定值，故D正确.

故选：ABD.

二、解答题

5.正项数列｛4｝的前n项和Sn满足：Sj-(n2+H-l)S„-(n2+H)=0

(1)求数列｛为｝的通项公式/；

,»+15

(2)令2=7~不「"，数列｛bn｝的前n项和为Tn,证明：对于任意的n£N*,都有TnV).

(〃+2)an64

【详解】(1)因为数列｛明,｝的前〃项和S”满足：Si一(M+n-l)5„一(M+n)=0,

22

所以当〃=1时，S?-(l4-l-1)5J-(I+1)=0,BPS?-S]-2=0解得S1=2或Si=-1,

因为数列｛厮｝都是正项，所以g=2,

22

因为度—(n+n—l)Sn—(n+n)=0，所以|S”一(7/+n)](Sw+1)=0，

解得Sn=/+〃或5"=一1,因为数列｛册｝都是正项，所以Sn=M+。，

J

当〃》2时，有n”=S1f—Sn_p所以=M+〃—[(〃—1)4-(n—1)],解得=2/n

当n=l时，m=5i—2,符合­=2n所以数列｛QQ的通项公式an=2m〃WN';

/八"+1,,,n+1n+1111,

(2)因为力〃=Z2，Hrrli以力〃=3，~To~\2=1~2/.n\2=771r—2.7.

所以数列｛鼠｝的前n项和T”为：

I.।1111,1I,11,

.=而°r一短+7一»+*-市+…-户+得一不肖]

111151r11

=而口+22-(n+I)2-(n+2户上而一«l(n+l)2+(n+2)2^

当“€N,时，有初-访h+1户+(熊+2)水而，所以K»＜小

所以对于任意nWN,,数列｛鼠｝的前n项和乙＜总

6.在ABC中，角A氏C所对的分别为4,〃,。，向量机=(2a-，向量〃=(cos8,cosC),

且m//n-

(1)求角。的大小；

(2)求》=5m4+6411(8—擀)的最大值.

【详解】(I)因为加//〃，所以24cosc-百bcosC-百ccos3=0

由正弦定理知：2sinAcosC-V3(sinBcosC+sinCcos8)=0,2sinAcosC-＞/3sin(B+C)=0

2sinAcosC—6sin(万一A)=0,2sinAcosC-V3sinA=0，

又A为三角形内角，故sinA>0,

所以，2cosc-6=0,即cosC=@，C为三角形内角，故。=[；

26

（2）由（1）知:4+8=万一0=且，则3—[=£-A,Ae（0,所以

632I6）

y=sinA+V3sin（5-y）=sinA+百sin6-4）=sinA+6cosA=2sin（A+g）,Ae（0,即），

苧],则A+故A+^=匹，即4=工时，V取最大值2.

I6J3[36）326

7.如图，矩形ABC。所在的平面垂直于平面AE5,。为AB的中点，NAEB=90°,NE48=30°,

AB=2。AD=3.

（1）求异面直线。。与所成角的余弦值；

（2）求二面角A-OE-C的正弦值.

【详解】矩形A8CD所在的平面垂直于平面A即，。为A5的中点，在平面AEB内过。作AB的垂线交

AE于M，根据面面垂直的性质可得MO_L平面ABCD，

同理在平而ABCD内面。作的垂线交CD:N，根据面面垂直的性质可得NO_L平面A£3,所以

OMQBQN两两互相垂直，

如图所示，建立空间直角坐标系，DNC

因为NAEB=9G/EAB=30°，所以BE=；AB3-

易得C(0,G,3),D(0,—g,3),Ej，*，0M(0,-

的）'

/

(1)由上述点坐标可知，OC=(0,G,3),OE=二妥,一3,所以也线。C与所成角的余弦值

22J

12-9广

0\OCDE\\2V6

-\0C\.\DE\^^^-8：

^33/3、

(2)因为4。=(0,0,3),。石=大，+，-3,DC二二（0,26,0）,设平面ADE1的法向量为加=（%,y,zj,

(22J

AD•机=3Z[=0

石=-3二取一=1,可得加=（一百J,。）,

则〈33\/3解得＜

DE•=—%H----y.-3z.=04=0

21211

DC-n-2V=0

设平面DEC的法向量为〃=（々,%，22），则,。艮〃=|马+孚％-3Z2=0

x7=2Z7

解得《~八：取z=l，可得力=(2,0,1),

1%=0

\m-n\2V3

设二面角A—。E—C的平面角为a，则|cosa|=6

ImI-InIV3+1-A/4+1忑‘

8.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市

环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数CAQD的检测数据，结果统计如表：

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染

天数61418272510

（1）从空气质量指数属于［0,50J,（50,100］的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的

概率；

（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为

0,9<x<100

y=p20,100<x<250,假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、

1480,250<x<300

重度污染、严重污染的概率分别为9月每天的空气质量对应的概率以表中io。天的空气

63612126

质量的频率代替.

（/）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

（«）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万

元？说明你的理由.

【详解】（1）设^为选取的3天中空气质量为优的天数，

C31

则P(4=2)

CJ57’

71?3

则这3天中空气质量至少有2天为优的概率为」-+—=；

3857114

20

(2)(i)尸(X=0)=P(04x<100)=前

5

525。)=强7

P(X=220)=P(100

10

1

P(X=1480)=P(250<x<300)=—

)10010

X的分布列如下:

X02201480

271

p

5io-10

171

(")由⑺可得：E(X)=0x-+220x—+1480X—=302(元),

51010

故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X),即30E(X)=9060元,

设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为y元，可得：p(y=0)=-+---,

632

P(y=220)=-+—+—尸(y=1480)=，,E(D=0x-+220x-+1480xi=320(元),

,7612123\)6636

所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320x(31+31)=19840(元),

由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.

9.如图，己知点尸为抛物线C：/=2px(p>0)的焦点，过点F的动直线/与抛物线C交于M,N

两点，且当直线/的倾斜角为45。时，|MN|=16.

(1)求抛物线C的方程.

(2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM,PN关于x轴对称？若存在，求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

【详解】解：(1)当直线/的倾斜角为45。，则/的斜率为1,

F(日,o),；./的方程为y=》一春.

P

…不得/

由VN(W，%),则%+工2=3，，

=2px,

.♦.|"凶=与+9+〃=4〃=16,。=4,.•.抛物线C的方程为>2=8》.

（2）假设满足条件的点尸存在,设尸（a,0）,由⑴知尸（2,0）,

①当直线/不与x轴垂直时，设/的方程为y=A（x—2）（左。0）,

<—2'得(4〃+8卜+4-=°，A=(4A:2+8)2-4.A:2.4A:2=64A:2+64>0,

由

4*24区

西十%二—=，=4;•直线PM,PN关于X轴对称,

k

•k+k-0k-"(♦~~2)卜-M%-2)

・・人PMT、PN_u9RpM~，凡PN~

xx-ax2-a

Mx_2)(/_〃)+%(工2—2)(工］_Q)=攵［2内工2—(〃+2)(工1+9)+4〃］二—一〃+2)二0,

，a=-2时，此时尸（一2,0）.

②当直线/与X轴垂直时，由抛物线的对称性，易知尸M,PN关于X轴对称，此时只需P与焦点F不重合

即可.综上，存在唯一的点P（-2,0）,使立线PM,PN关于x轴对称.

10.已知函数=一号产x—141nx的图象在点。，/⑴）处的切线方程为10x+y+0=0.

（1）求〃，b的值;

（2）若加对xe（O,a）恒成立，求"?的取值范围.

【详解】解：（1）f'（x）=3ajc2-^-^--—

、）10x

因为/（X）在（1,/。））处的切线方程为10x+y+b=0,即y=-10x-6此时切线斜率％=—10.

则/'(1)=3。一^^-14=火=—10,解得〃=

v7103

所以/(x)=-x3-^^^x-141nx=-x3+3x-141nx,

v73103

所以/"(i)=J_xF+3xl—+—

v,33333

(2)由(1)知/(力=；X3+3尤一141n%,/'(%)=X2+3-3=__—,

设函数g(x)=V+3x—14(x>0),则<(%)=3%2+3>0,所以g(x)在(0,+8)为增函数，因为g⑵=0.

令g(x)<0,得0cx<2；令g(x)>0,得x>2,

所以当0<x<2吐/'(x)<0；当x>2时J'(x)>0,

所以/(x)min=/(2)=1x23+3x2-141n2=y-141n2,

126

从而一根<----141n2,即根<26—421n2

33

基础套餐练02

一、多选题

1.空气质量指数4Q/是反映空气质量状况的指数，AQ/指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:

AQI指数值0~5051^100101~150151~200201^300>300

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

如图是某市12月1日-20日AQ/指数变化趋势:

下列叙述正确的是（）

A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100

B.这20天中的中度污染及以上的天数占L

4

C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据折线图和AQ/指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.

【详解】

对4将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100,第11个数据约为120,

因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确：

对8：这20天中，AQ/指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占!是正确的，

4

故B正确；

对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，

故C错误；

对D：由折线图可知，上旬大部分AQ/指数在100以下，中旬AQ/指数大部分在100以上,

故上旬空气质量比中旬的要好.故D正确.

故选:ABD.

【点睛】

本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.

2.已知Q<c<b<\,下列不等式成立的是（）

bc

A.a>aB.C.logfta<log（.aD.—^―

bb+ab+ac+a

【答案】ACD

【解析】

【分析】

1

由指数函数的单调性可判断A；由作差法和不等式的性质可判断5；可根据换底公式，取log〃a=-----

log"b

1

log,a=;——，运用对数函数单调性，可判断C；运用作差法和不等式的性质，可判断。.

log“c

【详解】

illa>1.0<c<b<l,可得故A正确;

£,£±£可得="+M—反一为=—,cc+a

山a>1,0<c<Z?<l.一<----故3错误;

bb+ab^b+a)b(b+a)bb+a

,1,111

a

由a>l,0<c<Z?<l,logfc«=------>>og,=------，则也〃c也><，则^一-<---<o,

log“hlog„clog”hlog.c

可得log,,a<log«a,故C正确;

bbc-^-ba-cb-ca_hc

>。可得----->-，--故---。

由a>lf0<c<b<l»

b+ac+a(/7+Q)(C+Q)(b+Q)(c+〃)b+ac+a

正确.

故选:ACD

【点睛】

本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.

-----x>2

3.已知定义域为R的奇函数/（X）,满足/（耳=彳2%—3，，下列叙述正确的是（）

x2-2x+2,Q<x<2

A.存在实数k,使关于x的方程/（力=质有7个不相等的实数根

B.当一1cxi<々<1时，恒有/（七）〉/^%）

C.若当％e（O,a］时，/（x）的最小值为1,贝ijae1,1

33

D.若关于X的方程1和/（力=加的所有实数根之和为零，则加=一持

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题.

【详解】

因为该函数是奇函数，故/（X）在R上的解析式为:

-^―,(x<-2)

2x+3

—x^—2x—2,(-2<x<0)

/(》)=,0,(x=l)

x2-2x+2,(0<x<2)

2,(x>2)

2x—3

绘制该函数的图像如下所示:

对4如图所示直线4与该函数有7个交点，故A正确：

对氏当-1＜玉＜々＜1时，函数不是减函数，故8错误；

对C：如图直线4：y=i，与函数图交于（1,1）,（：』），

故当/（X）的最小值为1时，ae1,1,故C正确；

对。：/（X）=：时，若使得其与/（%）=加的所有零点之和为o,

33

则根=—耳，或机=一万，如图直线"，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调

性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.

4.如图，矩形ABC。，M为的中点，将△，出W沿直线AM翻折成,连接用。，N为四。

的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

BM

A.存在某个位置，使得CNLAg;B.翻折过程中，CN的长是定值:

C.若A6=BM，则D.若AB=8W=1，当三棱锥与-AM。的体积最大时,

三棱锥B,-AMD的外接球的表面积是4万.

【答案】BD

【解析】

【分析】

对于A取的中点为E，连接CE交M£＞于点/，则NEABt,NFMB,

由CNJ_AB|,则ENJ_CN,从而判断A,对于B,由判断A的图以及余弦定理可判断B：对于C由线面

垂直的性质定理即可判断；对于D根据题意知，只有当平面&AM_L平面4WO时，

♦棱锥用一AM。的体积最大，取AD的中点为E，

连接OE,B{E,ME,再由线面垂直的性质定理即可判断；

【详解】

对于A,取4）的中点为E，连接CE交于点F，如图1

图】

则NEAB,,NFMB1

如果CN_LA4，则ENLCN,

由于Ag±MB1,则ENINF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1，由NNEC=NMAg,

且==EC,

2

・•・在ACEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC•cosNNEC，也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

AB=BM，即AB]=B]M，则AM_L40

若由于4。BQ=B1,

且平面。。片，

.•.AMJ_平面。。4，0。匚平面。。4，

.•.OD_LAM，则AD=ME>,

由于ADwMD，故AM，耳。不成立，故不正确；

对于D,根据题意知，只有当平面用AM_L平面凡做。时,

三棱锥耳-AMD的体积最大，取A£>的中点为E，

连接如图2

AB=BM=1，则A4=6|M=1,

且AB,,平面用AMc平面AMD=AM

610_LAM.4。i平面B]AM

•••旦。，平面AMD，OEu平面AMD

:.BQ上OE,

1r

则=

B]O=-AM

易知E4=£D=EM=1

A£＞的中点E就是三棱锥用-AMD的外接球的球心，球的半径为1,

表面积是4万，故D正确；

故选：BD

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定理，余

弦定理，综合性比较强，属于难题.

二、解答题

5.AABC的内角A6,C的对边分别为a,4c,已知2a+）=2ccosB,c=JL

（1）求角C；

（2）延长线段AC到点D,使CD=CB,求八旬。周长的取值范围.

27r

【答案】⑴—（2）（26,3百）

【解析】

【分析】

⑴利用余弦定理cosB=巴士——化简整理再川角C的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角，再利

2ac

用和差角公式求解.

（2）易得AABD的周长等于2a+6+G，再利用正弦定理将用角A8表示,再利用三角函数的值域方法

求解即可.

【详解】

解法一：（1）根据余弦定理得

整理得a2+b2—c2=—ab>

a2+h2-c2

cosC=

2ab2

/、2

Ce（0,^）:.C=—7i

（2）依题意得ABC。为等边三角形，所以八钻。的周长等于2Q+〃+G

a_b_c_5/3_

由正弦定理sinAsinBsinCJ]，

T

所以〃=2sinA,Z?=2sinB,

2a+/?=4sinA+2sin3

=4sinA+2sin(y-A)

=2V3sin(A+—)

Ac0卷,,A+会蜀乡,

JIi

/.sin(A+—)e(—,1),

\2a+b?(瓜2#))，

所以八46。的周长的取值范围是(26,36).

解法二：(1)根据正弦定理得

2sinA+sin3=2sinCeosB

sinA=sin[万一(8+C)]=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC,

.*.2sinBcosC=-sin

sin3w0,

cosC=—，

2

C《(0㈤,

.0_2

..C——71

3

(2)同解法一

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题，同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中

等题型.

6.已知等差数列｛4｝中，S,,为其前〃项和,4•4=8,55=15；等比数列｛hlt｝的前n项和T„=2"-1

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式；

⑵当｛4｝各项为正时，设c“=an-2,求数列｛q｝的前n项和.

【答案】⑴。“=〃或4=6-〃，〃=2"T(2)7；,=(n-l)-2n+l

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列的通项公式与求和公式即可求知；由7,与力的关系可求久.

(2)利用错位相减法即可求和.

【详解】

解：(1)设等差数列｛%｝的首项为4，公差为d

[q+d)(q+3d)=8f(3—d)(3+d)=82一

则八।八।)o八八)n"2=ind=]或Q=_]

5a1+10d=15[q=3—2d

..d=l，4—-1,..~〃

d=—1,4=5,.*.an=6—n

当”之2时—，-i

当〃=1时，4=工=1也满足上式

所以为=2"i

l

（2）由题可知,an=n,cn=an\hf=n2"~

n

Tn=22、32?-1）*+n2-'

21=厘「622?+至23+?+（〃一）n-'+n"

一1=1+2+?••+2"T-〃2"=（1-〃）2"-1

故＜=（“一1）2"+1

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知S“求凡以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.

7.在A5c中（图1）,AB=5,AC=7,。为线段AC上的点，且8。=8=4.以8。为折线，把

3OC翻折，得到如图2所示的图形，M为8c的中点，且AA/L3C，连接AC.

（1）求证：AB±CD；

（2）求二面角B—AC—。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）之叵

34

【解析】

【分析】

⑴根据条件先证明CO_L平面说，然后结论可证.

（2）以。为原点，BD、A。、CD所在的直线分别为％、V、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利

用向量法求二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：在图1中有：AC=7,BD=CD=4,所以AD=3

..在AABD中，AB=5,AD=3,BD=4

r.AD?+BO?=AB?,所以8。，CQ

在图2中有：在A4BC中，AM±BC，M为BC的中点

AB-AC—5»在AABD中，AC=5，CD=4,AD=3

AC2=CD2+AD2.所以COLAD

翻折后仍有6。_L8

又AD、BDu平面ABD，ADBD=D,

\CD八平面

ABu平面AfiD，

所以CDLAB

(2)解：由(1)可知CO、BD、A£＞两两互相垂直.

以。为原点，BD、A。、CO所在的直线分别为X、V、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,3,0),5(4,0,0),C(0,0,4)

/.AB=(4,-3,0),AC=(0,-3,4)

设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则

4x-3y=0

..八，令x=3,则y=4,z-3.

―3y+4z=0

m=(3,4,3)

平面AC。的法向量为；t=(1,0,0)

/\mn3>/34

cos(m,n)=,；—n-r=-----

'/U\n\34

•・・二面角5-AC—。的余弦值为豆豆

34

【点睛】

本题考查线面垂直，线线垂直，二面角，立体几何中求角或距离常用向量法，属于中档题.

8.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸

奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单

位：C)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为

300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各

天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

写出y的所有可能值，并估计丫大于零的概率.

34

【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间［20,25)和最高气温低于20的天数，

由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.

(2)当温度大于等于25℃时，需求量为500,求出丫=900元；当温度在［20,25)℃时，需求量为300,

求出丫=300元；当温度低于20℃时，需求量为200,求出y=-100元，从而当温度大于等于2。时，丫

>0,由此能估计估计丫大于零的概率.

【详解】

解：(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间［20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C)有关.

如果最高气温不低于25,需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶，

如果最高气温低于20,需求量为200瓶，

543

二六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p=—=

905

(2)当温度大于等于25c时，需求量为500,

丫=450x2=900元,

当温度在［20,25)℃时，需求量为300,

丫=300x2-(450-300)x2=300元，

当温度低于20℃时，需求量为200,

丫=400-(450-200)x2=-100%,

当温度大于等于20时，y>0,

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：

90-(2+16)=72,

724

,估计Y大于零的概率,

【点睛】

本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论

证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.

9.已知过抛物线=2px(〃>0)的焦点，斜率为28的直线交抛物线于4(%,，,),3(盯必乂玉<马)

两点，且|明=9.

(1)求抛物线的方程；

(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=04+408,求4的值.

【答案】(1)y2=8x.(2)A=0,或入=2.

【解析】

【详解】

试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方

程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出玉+马，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式

|AB|=%+%+「，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出

点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.

试题解析：

⑴直线AB的方程是y=20),与y2=2px联立，消去y得8x2-10px+2P2=0,

由根与系数的关系得x1+x2=2p.由抛物线定义得|A8|=2p+p=9,故p=4

44

(2)由(1)得X2-5X+4=0,得xi=l,X2=4,从而A(L—2夜)，8(4,472).

设OC=(X3,月)=(1,-272)+A(4,472)=(4A+1,472A-272)•

又y；=8x3,即［20(2A—1)］2=8(4A+1),BP(2A-1)2=4A+1,

解得入=0或4=2.

【点睛】

求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的

焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式|4邳=芭+%+〃，求出弦长.遇到与向量有

关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C

的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.

10.已知函数/(x)=(x+2)lnx+ar2-4x+7a(aeR).

(1)若。=,，求函数/0)的所有零点；

2

(2)若证明函数f(x)不存在的极值.

2

【答案】(1)x=l⑵见证明

【解析】

【分析】

(1)首先将a=g代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到了'("之0

(当且仅当x=l时取等号)，从而得到函数/(%)在(0,+e)单调递增，至多有一个零点，因为/(1)=0,

x=l是函数/(x)唯一的零点，从而求得结果；

(2)根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到

"工)在(0,+。)上单调递增，从而证得结果.

【详解】

117

(1)解：='时，/(x)=(x+2)IIIY+万元？—4x+—»

函数/(X)的定义域为(0,+8)，

2

且/'(X)=Inxd---FX-3.

2

设g(x)-+—+X-3,

则g，(x)+1=+：-2=(x+2〃x—l)。〉0)

XXXX"

当0<x<K寸，g'(x)<0；当］>1时，，(力〉0,

即函数g(x)在(0,1)上单调递减，在。,内)上单调递增，

所以当X>0时、g(x)2g⑴=0(当且仅当X=1时取等号).

即当x>0时，r(x)>0(当且仅当X=1时取等号).

所以函数/(x)在(0,+。)单调递增，至多有一个零点.

因为"1)=0,x=l是函数/(力唯一的零点.

所以若a=g,则函数/(x)的所有零点只有x=1.

(2)证法1:因为/'(%)=(%+2)111¥+侬2-4%+74,

函数/(X)的定义域为(0,+8),且/'(x)=lnx+*+2ac-4.

1/2

当a2］时，Fx_3>

2

由(1)知Inv4---Fx—320.

X

即当x>o时/(力“，

所以“X)在(0,+8)上单调递增.

所以/(X)不存在极值.

证法2：因为/(x)=(x+2)lnx+G；2-