黄冈中学高考数学二轮复习考点解析七数列的综合考查

黄冈中学高考数学二轮复习考点解析07：数列的综合考查

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，

等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函

数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索

性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查

函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差

数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、

方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度

有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何

的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）

一、知识整合

1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差

数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法

解决数学和实际生活中的有关问题；

2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通

各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，

进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.

3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、

方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.

二、方法技巧

1.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

⑴定义法：对于n22的任意自然数，验证为同一常数。

（2）通项公式法：

①若%=%+（n-1）d=6+（n-k）d,则｛《,｝为等差数列；

②若“口-a凶,则｛%｝为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立.

2.在等差数列｛4｝中，有关5„的最值问题——常用邻项变号法求解：

a>0

(1)当q>O,d〈O时，满足4m八的项数m使得S,〃取最大值.

a<0s

(2)当4<0*>0时-，满足《m的项数m使得％取最小值。

1—0

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用o

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、注意事项

1.证明数列｛%｝是等差或等比数列常用定义，即通过证明*M—%।或巴里>=巴」而得。

an

2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使

运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

、S］«0n=I

3.注息S〃与明之间关系的转化。如：=C八，an=a\+/(ak~akI)•

巴-，。。n>2e

4.数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，

离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.

5.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的

内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.

四.典型考例

【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P49例13。Ps。例2P56例1P59T6.

［注1］文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题

例(四川卷)数列｛叫的前〃项和记为S.,q=1,4向=2S“+1(〃21)(I)求｛叫的通项公式；(II)

等差数列｛2｝的各项为正，其前〃项和为7；，且(=15,又％+配在+4吗+打成等比数列，求北

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

解(I)由。,用=2S“+1可得a“=2S,i+l(〃22),两式相减得=2。",川=3%(〃22)

又4=2S1+1=3/.a2=3a,故｛a,,｝是首项为1,公比为3得等比数列A=3"-1

（】1）设｛2｝的公比为d由1=15得，可得仿+3+&=15,可得仇=5

故可设仇=5—d,4=5+d又q=1,%=3,4=9

由题意可得(5-d+l)(5+d+9)=(5+3)2解得&=2,4=1。

〃v（〃一17I2

•.•等差数列｛4｝的各项为正，.">（）；.d=2AT；,=3n+2x2=n+2n

1.设等差数列｛。”｝的首项s及公差d都为整数，前n项和为Sn.

（I）若。ii=O,5片98,求数列｛为｝的通项公式;

（11）若的》6,an>0,S“W77,求所有可能的数列｛4｝的通项公式

2.（上海卷）设数列｛4｝的前〃项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096。⑴求数列｛4｝的通项

公式？⑵设数列（log?%｝的前n项和为却对数列｛「｝，从第几项起7；<-509?

.解(1)：an+Sn=4096,，ai+Si=4096,ai=2048.

-^-=1a=2048(

——-n

当n，2时,an=SnSn-i=(4096—an)(4096—atl-i)=a,,-!an

a

n-\22

J

(2)Vlog2an=log2[2048(—)'']=12—n,/.Tn=—(~n+23n).

22

由Tn<-509,解得n>"上巫®,而n是正整数,于是,n246.

二从第46项起人〈一509.

2

3.（全国卷1）设正项等比数列｛%｝的首项q=3，前门项和为5“，且21°530—（21°+1电0+510=01（）

求｛an｝的通项；（H）求｛〃S“｝的前n项和T“。

解：(I)由21°530—(21°+1)520+5]。=0得ZRS?。一S?。)=S?。一S^),

10

即2(。21+。22+•,♦+〃30)=Q|1+〃12+,•,+〃20，

10

可得2,qlQ(6tjj+a%+,,•+。20)=1+。12+•••+。20，

因为知〉0,所以2i°/°=l,解得4=g,因而=1,2,….

(II)因为｛%｝是首项q=g、公比4=g的等比数列，故

2

12n

则数列｛几5“｝的前n项和TH=(1+2H------1-H)—(―+-―^H------F亍7)，

T1、/12n-\n.

—=-(Zl1+2o+---+n)-(―+—+•••+-------+——

2222232〃2,,+,

TIIII

前两式相减，得—=—(1+2-1-----F〃)—(—I——d------1-------)H------

222222"2,,+,

l(i--L)

_〃(〃+1)22"上〃an_n(n+V)1n

=-------------------------\------1------r即T/〃=--------1--------!---------2.

4।12,,+|22"T2”

2

【问题2】等差、等比数列的判定问题.P53T7例P54T9

［例］P5419(上海卷)已知有穷数列｛%｝共有24项(整数攵22),颤力=；.设该数列的前〃项和为S”，

且。”+1=(。-1)S“+2(n=1,2,—,2k—1),其中常数a>l.

2

(1)求证：数列｛a“｝是等比数列；(2)若a=2由，数列｛2｝满足勿=-logXQ［的•••%)(〃=1，

n~~

2,—,2k),求数列｛勿｝的通项公式；

3333

+-求女的

(3)若(2)中的数列｛b„｝满足不等式|伍一5I+也一5I+--+Ib2k_,

值.

⑴［证明］当n=l时,az=2a,则”=a；

%

2<n<2k—1时,an+i=(a—1)Sn+2,an=(a—1)Sni+2,

an+1-an=(a-l)an,A-=a,.•.数列d｝是等比数列.

a„

n(n-l)/:(/:-1)

(2)解：由⑴得an=2a'i,・・・aia2...an=2〃a"2i+(x)=2〃a二=2「R,

1rn(n-l)^n-1.

bn=—［〃+———］=——-+l(n=l,2,-.,2k).

n2K-12K-1

313

(3)设bd—，解得M+一,又n是正整数,于是当n<k时,bn<-；

222

当nzk+l时，bn>—.

2

33333

—

原式二(——4)+(——b2)+...+(——bk)+(bk+1—)+...+(b2k——)

22222

二(bk+i+…+bzk)—(bi+...+bk)

,（女+2%—1火工（0+女—1）女,2

z----------------+&]-[---------------+k]=——

2k—12k-l2k-1

氏2LL

当------44,得k2-8k+4<o,4-2J3<k<4+2J3，又k>2,

2k

...当k=2,3,4,5,6,7时，原不等式成立.

4.［例］,己知数列｛%｝中，S“是其前〃项和，并且5向=44+2(〃=1,2产-),q=1,(1)设数列

勿=j一2%(〃=1,2,……)，求证：数列物,｝是等比数列；⑵设数列c„=箓,(〃=1,2,……),求证:

数列｛%｝是等差数列；⑶求数列｛乐｝的通项公式及前〃项和。

分析：由于｛"｝和｛c“｝中的项都和｛a“｝中的项有关，白“｝中又有5“+1=42“+2,可由S.+2-S,用作切入点探

索解题的途径.

［注2］本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.

解：⑴由S.+i=4a“+2,Sn+2=4an+1+2,两式相减,得Sn+2-Sn+1=4(an+1-a„),即a2=4a向-4a“.(根据

b”的构造，如何把该式表示成与b”的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a”+2-2a“+|=2(a,+「2a“)，又b“=a,"2a“，所以b#2"①

已知52=43］+2,aj=1,aj+a9=4ax+2,解得a-=5,bj=a2-2aj=3②

由①和②得，数列｛b〃｝是首项为3,公比为2的等比数列，故b〃二3・21.

⑵因为N).所以Xi-cn=舞喙=至、法=占

乙乙乙乙乙

又C］=?=；,故数列｛cj是首项为T，公差是7的等差数列，

31

Cn=4n'4'

(3)因为％=£,又％所以£=与-(，an=(3n-l)

当n》2时，S“=4a._]+2=2"T(3n-4)+2；当n=l时，S।=a产!.也适合上式.

综上可知，所求的求和公式为S“=2"T(3n-4)+2.

说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前〃项

和。解决本题的关键在于由条件S“+1=4%+2得出递推公式。

2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程

中适时应用.

[问题3]函数与数列的综合题P51例3

数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理

解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.

P51例3(2006湖北卷)已知二次函数y=/(x)的图像经过坐标原点，其导函数为/'(x)=6%-2,数

歹的前n项和为S“，点(〃,S“)(〃1N*)均在函数)，=/(x)的图像上。(I)、求数列｛%｝的通项公

式；(II)、设b“=」一，Tn是数列也」的前n项和，求使得Tn<二对所有nIN都成立的最小正整

4%20

数m；

点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问

题的能力和推理能力。

解：(I)设这二次函数/仞=以2+队。力0%则f'(x)=2ax+b,由于f'(x)=6x—2,得

a=3,b=~2,所以f(x)=3x2~2x.

又因为点(〃,S〃)5eN*)均在函数y=/(x)的图像上，所以=3n2-2n.

==2

当n22时\8nSn—Sn-i(3n—2n)—^3(n—1)~—2(〃-1)]=6n—5.

2

当n=l时，ai=Si=3xl—2=6x1—5,所以，an=6n—5(〃wN*)

33111

(H)由(I)得知a=-----------(：----------.=.......―),

(6〃—5)[6(〃-1)一5126〃-56n+1

故Tn=^2〃=—(1-----)+(---------)+•••+(---------------------)=一(1----------).

£'277136〃-56〃+1」26/?+1

I|7771777

因此，要使一（1------9<—1〃eN*）成立的m,必须且仅须满足上即m》10,所以

26〃+120220

满足要求的最小正整数m为10.

5.设力定义篇（X）=力""（x）］,a.=|，其中nGN*.

1+xfn（0）+2

（1）求数列｛d｝的通项公式；⑵若乙〃=%+2g+3%+…+2〃的〃，，

2-112

解(1)/,(0)=2,/的(0)=力""(0)]=7T7^，

Z+，41+J〃(⑺

---------1

/„+1(0)-11+/„(0)1-/„(0)1/„(0)-11

..Q]=------------------=------------=----------=—--------=—a

A+1(0)+224+2/„(0)2/“(0)+22"

i+/,.(o)

.•.%±L=—J_,.•.数列｛%｝上首项为工，公比为―工的等比数列，an=-(--)

a„24242

H

(2)72〃=%+20+3〃3---b2/?d!2n,

一勺2"=(-g)Q|+(-；)2a2+(-g)3a3+•••+(-^)2na2n,

两式相减得：-TII=4——?—L

2214+nx42'口加一啖）

2

6.（湖北卷）设数列｛4｝的前n项和为S“，点（〃,S“）5eN*）均在函数y=3x—2的图像匕

3/n

（I）求数列｛4｝的通项公式；（H）设£=^—,7；是数列也,｝的前n项和，求使得7；<△对所

%—2°

有“eN*都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和

推理能力。

解(I)依题意得，显=3〃一2,即S“=3〃2-2〃。

=

当n22时、a以“=S,^Sn-IC-2n)-|^3(n-l)^-2(n-l)=6n-5;

2

当n=l时，=Si-3Xl-2Xl-l-6Xl-5

所以““=6“—5(〃eN)。

3一11______Q

(II)由(I)得“

anaH+](6〃-5H62(6〃-56/1+1J

故二g(1-]

6M+1

因此，使得‘卜-一二］＜二（〃eN）成立的m必须满足即m210,故满足要求的最小整数m

2（6n+lJ20v）220

为10«

（问题4］数列与解析几何

数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、

性质，并结合图形求解.

例3.在直角坐标平面上有一点列6（再,％）,鸟（尤2，％）…，巴（居,％）…，对一切正整数”,点3位于函

1Q5

数y=3x+?的图象上，且鸟的横坐标构成以-2为首项，-1为公差的等差数列｛x,J.

⑴求点心的坐标;子⑵设抛物线列C”C2，C3,…,c“，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴第〃条抛物线%

的顶点为月，且过点。,（0,〃2+1）,记与抛物线％相切于的直线的斜率为匕，，求：

53

解：(1)xn=-—+(n-1)x(-1)=-/：-—

o1325D/3公5、

%=3.+丁=-3n巴(f--,-3n--)

(2)「c”的对称轴垂直于X轴，且顶点为P...•.设c“的方程为：y=a(x+2空)2-2詈,

把。,,(0,〃2+1)代入上式，得”=1,的方程为：y=》2+(2〃+3)x+〃2+1。

,.1_1JI1、

kH_}kn(2n+1)(2〃+3)22n+12〃+3

11rzl1、/1、-1、]

kxk2k2k3攵化In257792〃+12〃+3

111_JI

25_2n+3-10-4n+6

点评：本例为数列V解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出幻

7.已知抛物线/=4y,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点又过点6作斜率为;的

直线交抛物线于点鸟，再过鸟作斜率为;的直线交抛物线于点A，…，如此继续，一般地，过点月，作

斜率为X的直线交抛物线于点Pn+],设点Pn（X„,yn）.

（I）令勿=x2„+1-x2n_,,求证：数列｛包｝是等比数列.并求数列｛4｝的前n项和为S„

解：⑴瞅《区，先）、向）在抛物线上，故X,：=4%，①％2=4加②，又因为直线PnPn+l

的斜率为-L,即）'向一）'"=，,①②代入可得

2Xn+\~Xn2

1X«+1—Xn11.

IX-----=/=茗用+Z=/.二品=—九2i

4%+1一七22

=」T-」T=-工，故%=,n｛"｝是以！

22,1-22加一③22n~2b44

4131

为公比的等比数列；S,,=--（1-—）^-S„+l=—,

【问题5】数列与算法

8.数列｛q,｝的前n项和为S„=n2+2n-l,试用程序框图

表示数列通项an的过程,并写出数列的前5项和通项公式％.

9.根据流程图，⑴求生；（2）若=而；$‘求n,

【问题6】数列创新题

10.（安徽卷）数列｛%｝的前〃项和为S“，已知q=g,S“="24-〃（〃-1）,〃=1,2,鬃

（I）写出S“与S,一的递推关系式（〃32）,并求S“关于”的表达式;

q

l

(H)设力(x)=x"+,bH=(p)(pR),求数列也｝的前〃项和7；0

n

2

解：由S“=〃2/_〃(〃-1)。32)得：sn=n(Sn-S,,.,)-n(n-1),即

M1W

22

(n-1)5„-M5„.1=«(«-0'所以——S“------Sn.,=1,对〃32成立。

nn-1

由巴七厂一^“—=1,号ys_=i,…，|s2-[=1相加得:

nn-1n-1n-221

n+I1n~

——SII-25.1=n-1J,又15c=%=—,ri所以S“-»=——，当〃=1时，也成立。

n2n+1

q,7

(II)由力(x)=Zx"+i=-J-Z+l,得b.=f：(p)=np"。

nn+1

而雹=p+2p2+3p3+---+(n-

34+

pTn=p'+2/?+3p+•••+(/J-l)p"+np"',

2｝1+n+｛

(1-P)Tn=p+p+p+---+p-'+p"-np"'=〃(>')-np

1-P

11.(福建卷)已知数列｛为｝满足田=a,。田=1+］我们知道当。取不同的值时，得到不同的数列，如当。=1

时，得到无穷数列：1,2,3』”..;当〃=-1吐得到有穷数列：-1,-1,0.

2322

(I)求当a为何值时。4=0；(II)设数列｛bj满足也=-1,3+产」_(〃eN)，求证a取数列｛bj中

\-1+

的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛〃｝；

(I)解法—1：=。］=a,a〃+］=1H---,

an

,1111。+1112a+1113a+2,,,2_

\。,=1+—=14=----0=1+=------%=1+—=-----.故当时n="-=0.

%aaa2a+I%2〃+13

故a取数列｛6｝中的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛册｝

12.（全国卷刖）在等差数列｛%｝中,公差d工0,。2是4与〃4的等比中项.

已知数列。I,%,气，气，…,如“，…成等比数列，求数列化J的通项kn.

解：由题意得：..........1分

即（4+d）2=%（为+3d）........3分

又dW0,.二a1=d4分

又%,%，。八，•••，如“，…成等比数列，

.•.该数列的公比为4=幺=%=3,.....6分

axd

所以《=4/3的.....8分

又做，=.|+（k"-\）d=knax.............................10分

n+,n+,

kn=3所以数列伏，,｝的通项为kn=3......................12分

课后训练：

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如果T,a,6,c,-9成等比数列，那么

A.炉3,0<?=9B.ZF-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=~3,ac=-9

2.在等差数列｛a„｝中，已知。|=2,。2+。3=13,则。4+。5+。6等于

A.40B.42C.43D.45

3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为

A.5B.4C.3D.2

4.若互不相等的实数a,。,c成等差数列，c,a/成等比数列，且a+3〃+c=10,则。=

A.4B.2C.-2D.-4

5.已知等差数列｛6,｝的前n项和为S"，若丽=a】OA+azoo反，且A、B、C三点共线（该直线不过原

点0）,贝|JS200=（）

A.100B.101C.200D.201

6.（文科做）在等比数列｛a“｝中=2,前〃项和为S“,若数列包+1｝也是等比数列，则5“等于

A.2,,+I-2B.3〃C.2nD.3n-1

7.已知数列｛%｝满足q=0,%讨=隼二^（〃EN*）,则。2007=（）

J3%4-1

A.0B.一^3C.y/3D.---

2

8.设S”是等差数列｛册｝的前"项和，若会三，则差=

>6O>1,2

9.已知等差数列｛册｝中,时。8=8,则该数列前9项和S9等于（）

A.18B.27C.36D.45

10.已知数列｛%｝、也,｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为4、”,且q+仇=5,卬也eN*.设

g=%（〃eN*）,则数列｛c“｝的前10项和等于（）

A.55B.70C.85D.100

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11.设S,为等差数列｛%｝的前"项和，54=14,S10-57=30,则S9=.

12.在数列｛d｝中，若。1=1,。”+1=2册+3m21）,则该数列的通项为=.

13.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<10gm（必）<1,则m的取值范围是

14.等差数列｛斯｝共有2〃+1项，其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为

15.设等比数列｛%｝的公比为q,前n项和为Sn，若Sm,Sn，S“2成等差数列，则q的值为.

三、解答题（共4小题，每小题4分，共24分）

16已知正项数列｛为｝,其前〃项和S“满足10S“=。“2+5⑸+6,且%,出,为5成等比数列，求数列｛6｝的

通项％.

17.（文科做）（06福建）已知数列｛4｝满足q=l,a2=3,a“+2=3a“M—2a“（〃eN*）.

（I）证明：数列｛氏+1-。“｝是等比数列；（II）求数列｛2｝的通项公式；

626

（II）若数列｛£｝满足4T...4'=（«„+1）"（neN*）,证明｛hn｝是等差数

18.已知数列｛｝中，q=L、点（R2b一在直线y=x上，其中n=l,2,3….

2

（I）令b„=a,--%-3,求证数列也,｝是等比数列；（H）求数列｛an的通项；

（ni）设S”、分别为数列｛%｝、物,｝的前“项和，是否存在实数；I,使得数列［2上包L］为等差数列？若

n

存在，试求出X.若不存在,则说明理由。

答案与点拨:

1B解：由等比数列的性质可得ac=(—1)X(—9)=9,bXb=9且b与奇数项的符号相同，故b=一

3,选B

2B解：在等差数列｛〃“｝中，已知q=2,%，d=3,a5=14,a4+a5+a6=3a5=42,选B.

5a｝+20d=15

3D解:1nd=3故选c.

5〃1+25d=30

4D解：由互不相等的实数成等差数列可设@=1)-d,c=b+d,由。+3b+c=10可得b=2,所以

a=2—d,c=2+d,又成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D

=

5A解：依题意，ai+a2ool»故选A

6(文)C解：因数列｛。“｝为等比，则氏=2q"T,因数列｛%+1卜也是等比数列，

则(%+1+1)2=+1)&+2+1)n怎/+2an+l=anan+2+an+an+2=>an+an+2=2an+i

2

=>an(\+q-2q)=0=i>q=\

即=2,所以S“=2〃，故选择答案C。

7.A提示：由21=0,。0+|=学~eN').得a2=-6,%=6,%=°，..

J34+1

由此可知：数列｛a。｝是周期变化的，且三个一循环，所以可得:a2°=a2=-Ji故选A

8A解油等差数列的求和公式可得区=%±%=L可得q=2d且d*0

1

S66q+l5d3

所以M器缁嘲卡故选人

点评：本题主要考察等比数列的求和公式，难度•般

9c解：在等差数列｛4｝中，吁。8=8,...4+旬=8,则该数列前9项和59=%詈=36,选C

10C解：数列｛%｝、｛〃,｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为《、仇，且%+仇=5,%,awN*.设

c-a则数列｛c.｝的前10项和等于即+即+…+即=a.+a.+---+a,

nfihiH*f72P|（）t/|0K十Itzb|-+T97

4,=4+（4—1）=4，4+%+i+…+稀9

=4+5+6H------1-13=85,选C.

r、4(4-1)

11.(文)解：设等差数列｛即｝的首项为a1，公差为d,由题意得4%=

10(11)

[10«,+°-J]-[7al+^—^J]=30,联立解得ai=2,d=l,所以Sg=9x2+%二"1=54

222

12.2,,+|-3解：在数列｛%｝由若q=1，4用=2。“+3(〃21),...“用+3=2(4+3)(”21),即｛4+3｝

是以%+3=4为首项，2为公比的等比数列，a,+3=4-2"T=2向，所以该数列的通项%=2日一3.

13(—8,8)提示：解出。、"解对数不等式即可

答案(一8》)

14all=29提示利用S翁/S他=巴取■得解答案第11项“11=29

n

15.-2提示：由题意可知qWl,・••可得2(1-qn)=(l・qm)+(l・qn+2),即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意，

舍去),.'.q=—2.

2

16解:13IWV10Sn=an+5an+6,①・,-10ai=aJ+5ai+6,解之得a1=2或a1=3.

2

又10Sni=an-i+5ani+6(n^2),(2)

由①一②得10an=(a，-/)+6(an—a『i),即(an+an-i)(an—a—1—5)=0

,an+an-i＞。/••3n-an-i=5(n^2).

当ai=3^33=13,315=73.ana3,a15不成等比数列，aiW3;

2

ai=233=12,315=72,有a3=aiai5,.*.ai=2,/.an=5n—3.

Z7—Z7

17.(I)证明：va„+2=3«,t+1-2an,：.an+2-an+l=2(a,t+l-a„),v=l,a,=3,；.^^^=2(〃eN')

%一%

+「端是以%—G=2为首项，2为公比的等比数列。

(II)解：由⑴得凡+1-。“=2'(〃eN*),，=(a,-4“_])+(%-4_2)+…+(。2一”1)+6

=2"-'+2"-2+...+2+1=2"-1(〃eN*).

nb

(Ill)证明：4、T4HLi=(牝+1卢，...4-•+&”)=2",

2[(4+4+...+2)-〃]=*,①

2[d+b2+...+bn+b„+1)-(n+1)]=(«+1)%.②

②一①，得2(&„+1-1)=(«+1加式一也,即(I)%—叫+2=0.③

"a+2_（〃+1）白川+2=0・④

④一③，得血+2-2,也+卢叫=0,即*2—2。向+2=0,

••也+2—