新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：2.3 全称量词命题与存在量词命题

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2.3全称量词命题与存在量词命题

2.3.1全称量词命题与存在量同命题

'ffiIQ

京通过已知的数学实例.理解全称景词与存在量词的意义

馋基础认知•自主学习《

概念认知

1.全称量词与存在量词

全称量词存在量词

量“所有”“任意”“每一个'等表“存在”“有的”“有个”等表示部

词示全体的词分或个体的词

符

用“Vx”表示“对任意x”用“小表k存在X”

2.全称量词命题与存在量词命题

全称量词命题存在量词命题

定含有毓量词的命题称为全称含白存■仕量词的命题称为存■在:

义量词命题量词命题

表一般形式可表示为：vxWM,一般形式可表ZF为：mxWM,

示P（x）P（x）

自我小测

1.下列语句是存在量词命题的是（）

A.整数n是2和5的倍数

B.存在整数n,使n能被7整除

C.x>7

D.VxGM,p（x）成立

选B.AC不是命题，B是存在量词命题，D是全称量词命题.

2.下列命题中全称量词命题的个数是（）

①VxeR,x2>0;

②三xeR,x2<0；

③平行四边形的对边平行；

④矩形的任一组对边相等.

A.1B.2C.3D.4

选C.①含有全称量词符号“V”，为全称量词命题，

②含有存在量词符号"，为存在量词命题，

③隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题，

④隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题.

3.下列存在量词命题中,是假命题的是()

A.3xGZ,x2-2x-3=0

B.至少有一个xGZ，使x能同时被2和3整除

C.有的三角形没有外接圆

D.2xGR，正=x

选C.A中，x=-1满足题意,是真命题；B中，x=6满足题意，是

真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题.D中，当x=0

或1时，5=x,是真命题.

4.命题“自然数的平方大于零”是_______量词命题(填“全称”或“存

在”)，其省略的量词是________.

自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题

是全称量词命题，其省略的量词是“所有”.

答案：全称所有

5.给出下列命题：

⑴所有一次函数的图象都是直线；

⑵对顶角相等；

(3)3xGR,x2-4x+4<0；

(4)对任意的整数x,5x-1是整数.其中全称量词命题是_________

存在量词命题是________.(填序号)

⑴含有全称量词“所有”，是全称量词命题；(2)省略了全称量词“所有"

是全称量词命题；(3)含有存在量词符号“EI"，是存在量词命题；(4)

含有全称量词"任意"是全称量词命题.

答案：⑴⑵(4)⑶

6.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.

(1)对某些实数x,有2x+l>0.

(2)Vxe{3,5,7},3x+l是偶数.

⑶存在实数x,五=-X.

(4)3xGQ,方程也x-2=0有解.

⑸至少有一个x£R,使x能被5和8整除.

(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，是真命题.

⑵命题中含有全称量词的符号“V”，因此是全称量词命题.把3,5,

7分别代入3x+1,得10,16,22,都是偶数，因此，该命题是真命

题.

⑶存在量词命题.当x<0时，火=-x,所以该命题为真命题.

(4)存在量词命题.方程应x-2=0的解为xD曰Q,所以此命

题是假命题.

(5)存在量词命题.因为40能被5和8整除，所以此命题是真命题.

》学情诊断•课时测评④

基础全面练

一、单选题

1.(2021.烟台高一检测)命题“存在实数a，使方程x2+ax+1=0有实

根”是()

A.存在量词命题，真命题

B.存在量词命题，假命题

C.全称量词命题，真命题

D.全称量词命题，假命题

选A.命题是存在量词命题，a=2时方程有根为1,故选A.

2.Wa2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是()

A.3a,bGR,a2+b2+2ab=(a+b)2

B.3a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2

C.Va>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2

D.Va,bGR,a2+b2+2ab=(a+b)2

选D.命题对应的全称量词命题为：

Va,b£R,a2+b2+2ab=(a+b)2.

3.下列各命题中，真命题是()

A•VxeR,1-x2<0B.VxeN,x2>l

C•3xez,x3<1D.3xeQ,x2=2

选C.A是假命题，例如当x=OWR时,

1-x2=l>0；B是假命题，例如当x=O£N时，

x2=0<l；C是真命题，例如当x=O£Z时，

x3=O<l；D是假命题，x2=2解得X=±A^qQ.

4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个实数x，使x2<0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使:>2

A.

选B.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x=

。时，x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为小+

（-小）=0,所以C是假命题；D中对于任意一个负数x,都有:<0,

所以D是假命题.

5.有下列四个命题：

①Vx£R,收+1>0；②Vx£{1,-1,0},2x+l>0；（3）3xGN,

x2<x；©2x£N*,x为29的约数.

其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

选C.对于①，这是全称量词命题，因为代>0对任意实数都成立，

所以但+1>0,故①为真命题；

对于②，这是全称量词命题，因为当X=-1时，2x+1>0不成立,

故②为假命题；

对于③，这是存在量词命题，当x=。或X=1时，有x2<x成立，故

③为真命题；

对于④，这是存在量词命题，当X=1时，X为29的约数成立，所以

④为真命题.

6.若“任意xEx1<x<-^>,xgm”是真命题，则实数m的最小值为

()

A_1R.也I口也

/*.・2-15•2C・2・2

选D.因为“任意xGx1<x<^>,xgm”是真命题，所以mN手,

所以实数m的最小值为由.

二、多选题

7.下列语句是全称量词命题的是()

A.梯形的对角线相等

B.存在一个四边形有外接圆

C.二次函数都与x轴相交

D.菱形的四条边都相等

选ACD.对于A,可完整地表述为“所有梯形的对角线相等"很显然

为全称量词命题；

对于B,含存在量词，所以为存在量词命题；

对于C,可完整地表述为“所有的二次函数都与x轴相交”，故为全称

量词命题；

对于D,可完整地表述为“任意菱形的四条边都相等”，故为全称量词

命题.

8.（2021.南京高一检测）下列命题正确的是（）

A.存在x<0,x2-2x-3=0

B.对一切实数x<0,都有|x|>x

C.VxGR,=x

D.已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m£N*,an^bm

选AB.因为*2-2*-3=0的根为*=-1或3,所以存在*=-1<0,

使x2-2x-3=0,故A为真命题；B显然为真命题；C.R=|x|=

x,x>0,

<0,x=0,故C为假命题；

、-x,x<0,

D.当n=3,m=2时，a3=b2,故D为假命题.

三、填空题

9.给出下列命题：①y=:=xy=1；②矩形都不是梯形；(3)3x,y£R,

x2+y2<l；④等腰三角形的底边的高线、中线重合.其中全称量词命

题是________.

①②④是全称量词命题，③是存在量词命题.

答案：①②④

10.若“存在xG{x|3<x<5},xNm”是真命题，则实数m的取值范围是

当m<5时，“存在xe{x|3<x<5},xNm”是真命题.

答案：(-oo,5]

四、解答题

11.用符号“V”与今”表示下列含有量词的命题，并判断真假：

(1)实数都能写成小数形式.

⑵有的有理数没有倒数.

⑶不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.

(4)存在一个实数x,使X?+x+40.

(1)VaGR,a都能写成小数形式，此命题是真命题.

(2)3xEQ,x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.

(3)VmER,方程x2+x-m=0必有实根•

当m=-1时，方程无实根，是假命题.

(4)3x£R,使x2+x+4<0.x2+x+4=[x+J?+号>0恒成立，所

以为假命题.

12.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的

真假.

(1)存在两个正实数x,y,使X?+y2=0.

(2)所有有两个角是45。的三角形是等腰直角三角形.

⑶能被5整除的整数末位数是0.

(4)所有的二次函数的图象都是开口向上的抛物线.

⑴是存在量词命题，因为当x2+y2=0时，x=y=0,所以不存在x,

y为正实数，使x2+y2=0,故此命题是假命题.

⑵是全称量词命题，有两个角是45。的三角形，第三个角必是直角，

所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真命题.

⑶是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0,因此该

命题是假命题.

(4)是全称量词命题，有的二次函数的图象是开口向下的抛物线，所

以该命题是假命题.

综合突破练

一、选择题

1.下列命题中，存在量词命题的个数是()

①实数的绝对值是非负数；

②正方形的四条边相等；

③存在整数n,使n能被11整除.

A.1B.2C.3D.0

选A.①②是全称量词命题，③是存在量词命题.

2.(2021.南通高一检测)下列命题：①VxGR,-x2<0；②3xEQ,

x2=5；③3xGR,x2-x-1=0；@VxGN,x2^1.其中是真命题的

是(5

A.①③B.②④C.①④D.③

选D.命题①VxeR,-x2<0，当X=0时不成立，故错误；命题

@3xeQ,x2=5,由于x2=5的解为x=±^5为无理数，故错误；

命题③mxeR,x2-x-l=0,由于A=l+4=5>0,因此方程有解，

故正确；命题④当x=0时，不成立，④错误，

3.已知VxG[0,2],p>x；3xe[0,2],q>x.那么p,q的取值范围

分别为()

A.p£(0,+oo),qG(0,+oo)

B.pG(0,+oo),q£(2,+oo)

C.p£(2,+oo),qG(O,+oo)

D.p£(2,+oo),q£(2,+co)

选C.由Vxe[O,2],p>x；得p>2.

由mxG[0,2],q>x；得q>0.

所以p,q的取值范围分别为(2,+oo),(0,+co).

二、填空题

4.下列命题：①VxGR,x2-3x+2>0恒成立；②mxGQ,x2=2；

③mxGR,x2+1=0；(4)VxGR,4x2>2x-1+3x?.其中真命题的个

数为.

①当x=l时，x2-3x+2=0,故①为假命题；②因为x=4时，

x2=2,而地为无理数，故②为假命题；③因为x2+l>0(x£R)恒成

立，故③为假命题；④原不等式可化为x2-2x+1>0,即(x-1)2>0,

当x=1时(x-1)2=0,故④为假命题.

答案：0

5.命题“有些负数满足不等式(1+x)(l-9x)>0"用叼”或“V”可表述为

答案：3x<0,(1+x)(l-9x)>0

三、解答题

6.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，明喳是存在量词命题，

并判断真假.

(1)有的集合中存在两个相