高中数学直线和圆的方程试卷(考点解析版)

高中数学组卷直线和圆的方程1

选择题（共21小题）

1.（2014•青浦区一模）直线（a?+l）x-2ay+l=0的倾斜角的取值范围是（）

A.fo,B.\—,2L]c.\—,12L]D.[o,2L]u[^2L,n）

4424444

2.（2014•上海模拟）直线1的法向量是（a,b）.若abVO,则直线I的倾斜角为（

A.arctan（——）B.arctan（-）U7T+arctan*D.H+arctan-

abba

22

3.（2014•银川校级模拟）斜率为2的直线1过双曲线工一-"l（a>0,b>0）的右焦点,

2,2

ab

A.Vxi，X2G（0,+oo）,（X2-X]）[f（X2）-f（X1）]>0

B.VxiG（0,+8）,3x2^（0,+°°）,X2f（X|）>Xjf（X2）

C.Vx）e（0,+°°）,3X26（0,+°°）,f（X2）-f（X1）<X2-Xi

f（Xi）+f（x）、.X1+x

D.Sxi，X2W（0,+8）,---------------?---〉f（—5—~-?）s

5.（2014•丰台区二模）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F且倾斜角为60。的直线1与抛物

线在第一、四象限分别交于A、B两点，则地]的值等于（）

|BF|

A.5B.4C.3D.2

6.（2012•贵州校级模拟）过点（2,3）,且到原点的距离最大的直线方程是（）

A.3x+2y-12=0B.2x+3y-13=0C.x=2D.x+y-5=0

7.（2010•唐山二模）过抛物线y2=2x的焦点F作直线1交抛物线于A、B两点，若

儡-则直线1的倾斜角e（o〈e4^）等于（）

|AFI|BF|2

兀口冗广冗c冗

--D.C.U.

2346

8.（2010•济宁一模）"龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄

傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟

还是先到达了终点…，用Si、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事

9.（2005•湖北）在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于寺的点中，坐标为整数

的点的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

10.（2003•天津）设a>0,f（x）=ax2+bx+c,曲线y=f（x）在点P（x（）>f（x（）））处切线的

倾斜角的取值范围为［0,苧，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）

A.[0,1]B.[0,J-]C.[0,申]D.[0

a

11.（2015•福州校级模拟）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若

a为无理数，则在过点P（a,-1）的所有直线中（）

2

A.有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点

B.恰有n（n>2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点

C.有且仅有一条直线至少过两个有理点

D.每条直线至多过一个有理点

12.（2015春•宁德期末）直线1经过点（1,2）,且倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍，则以

下各点在直线1上的是（）

A.（1,1）B.（2,2）C.（2,1）D.（2,0）

13.（2015秋•长葛市期末）已知点A（2,-3）、B（-3,-2）直线1过点P（1,1）,且

与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范围是（）

A.k>^戈k-B.卜片或k4一\C.-4<k<^D.|<k<4

14.（2015秋•甘南州校级期末）已知两点A（-1,0）,B（2,］）,直线1过点P（0,-1）

且与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的取值范围是（）

A.[-1,1]B.（-oo,-1]U[1,+8）C.[-1,0）U（0,1]D.[-1,0）U[l,

+©o）

15.（2015春•揭阳校级期末）已知点A（2,-3）,B（-3,-2）,直线1方程为kx+y-k

-1=0,且与线段AB相交，求直线1的斜率k的取值范围为（）

A.k>.^k<-4B.k>^k<--C.-4<k<.^D.

44444

16.（2015秋•钦州期末）过点P（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）

A.3x-2y=0B.x+y-5=0

C.3x-2y=0或x+y-5=0D.2x-3y=0或x+y-5=0

17.（2015秋•舟山校级期中）已知直线1过点P（l,-2）,且在x轴和y轴上的截距互为

相反数，则直线1的方程为（）

A.x-y-3=0B.x+y+1=0或2x+y=0

C.x-y-3=0或2x+y=0D.x+y+1=0或x-y-3=0或2x+y=0

18.（2015秋•兴宁市校级期中）过点P（2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

（）

A.2x-3y=0B.3x-2y=0或x+y-5=0

C.x+y-5=0D.2x-3y=0或x+y-5=0

19.（2015秋•运城期中）经过点M（1,1）且在两轴上截距相等的直线是（）

A.x+y=2B.x+y=lC.x=l或y=lD.x+y=2或x-y=0

20.（2015秋•九江月考）直线x-ytana-5=0（aG（0,—））的倾斜角的变化范围是（）

4

A.（工，2L）B.（2L2L）c.（2L2L）D.（2L2L]

42433242

21.（2015秋•保定校级月考）已知直线3x+4y-5=0的倾斜角为a,则sin（a）=

6

（）

A4+373口4-373373-4~373-4

10101010

二.填空题（共4小题）

22.（2012•北京模拟）若实数x、y满足（x-2）2+y2=3.则？的最大值为.

X

23.（2011•南通三模）定义在[1,+8）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常

数）；②当2女“时，f（x）=1-|x-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则

c=.

24.（2008•温州学业考试）过点A（-1,-2）,B（3,5）的直线方程是.

25.（2012•甘肃一模）过点（1,V2）的直线1将圆（x-2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧

所对的圆心角最小时，直线1的斜率k=.

三.解答题（共5小题）

26.（2010•沛县校级模拟）已知过原点O的一条直线与函数y=log8X的图象交于A、B两点,

分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2X的图象交于C、D两点.

（1）证明点C、D和原点。在同一条直线上；

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

22

27.（2010•上海二模）已知椭圆工+匕口，常数m、n£R+,且m>n.

mn

（1）当m=25,n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P,与y轴交于点Q,若而=2而,

求直线PQ的斜率；

22

（2）过原点且斜率分别为k和-k（k21）的两条直线与椭圆工+匕=1的交点为A、B、C、

mn

D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；

（3）求S的最大值.

28.（2005•江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B

两点，且MA=MB.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且NEMF=90。，求△EMF的重心G的轨迹方程.

29.（2013•徐州模拟）过直线y=-1上的动点A（a,-1）作抛物线y=x?的两切线AP,

AQ,P,Q为切点.

（1）若切线AP,AQ的斜率分别为ki，k2,求证：kjk2为定值.

（2）求证：直线PQ过定点.

30.（2010•海淀区校级模拟）在^ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+l=0,

NA的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为（1,2）,求点C的坐标.

高中数学组卷直线和圆的方程1

参考答案与试题解析

一.选择题（共21小题）

1.（2014•青浦区一模）直线（a?+l）x-2ay+l=0的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,亨B.咛，-y]C.[2L,32L]D.[0,与U[午,H）

【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论.

【解答】解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为与；

a」

a2+l

②当a>0时，直线的斜率k=.2-2=1,

2a

即直线的倾斜角的取值范围为[三，—）.

42

2,1aJ2yl(-a)■(~-)

③当a<o时，直线的斜率--------------2—=-2=-1；

2a222

Ak<-1,

即直线的倾斜角的取值范围为（王，碧.

24

综上，直线的倾斜角的取值范围为等],

故选：C

【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务

是解决本题的关键.

2.（2014•上海模拟）直线1的法向量是工（a,b）.若abVO,则直线1的倾斜角为（）

A.arctan（——）B.arctan（—毋）C.jy+arctanT冗+arctan也

abba

【分析】设直线1的倾斜角为仇由于直线1的法向量是（a,b）,可得直线1的斜率

k=-3.即tan8=-W.由ab<0,判定。为锐角.利用反三角函数即可得出.

bb

【解答】解：设直线1的倾斜角为。，

•.•直线1的法向量是左（a,b），

二直线1的斜率k=-3.

b

,,tan6=~—•

b

Vab<0,；.-月>0，即。为锐角.

b

0=arctan(--).

b

故选：B.

【点评】本题考查了直线的法向量与直线的斜率之间的关系、反三角函数，属于基础题.

22

3.(2014・银川校级模拟)斜率为2的直线1过双曲线工一-工二1(a>0,b>0)的右焦点,

2,2

ab

且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()

A.e<V2B.l<e<V3C.l<e<依D.e>依

【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a,b的关系，然后求出离心

率的范围.

【解答】解：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率也必大于2,即也>2,

aa

22

V-±b-

aa

故选D.

【点评】本题考查直线的斜率，双曲线的应用，考查转化思想，是基础题.

4.（2014•包头一模）已知函数f（x）=ln（x+l）,xG（0,+°°）,下列结论错误的是（）

A.Vxi，X2G（0,+8）,（X2-Xi）[f（X2）-f（X1）]>0

B.VXjG（0,+8）,3X2^（0,+8）,X2f（X1）>X）f（X2）

C.VxjG（0,+8）,3X26（0,+8）,f（X2）-f（X1）<X2-Xi

f（Xi）+f（Xo）,X1+x?s

D.3xj,X2G（0,+8）,-----1--------±—>f_±）

22

【分析】利用函数y=f(x)在(0,+8)上为增函数，且增长越来越缓慢，横坐标越大的

点与原点连线的斜率越小，

In(x+1)-x为减函数，曲线y=f(x)图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，可得：A、

B、C正确，

D不正确.

【解答】解:因为函数y=f(x)在(0,+8)上为增函数，所以(X2-xi)[f(X2)-f(X|)]>0,

故A正确.

f(X1)f(Xn)f(v)

由于x#lx[)>x<f(x9)O-------->--------，将k』视为曲线y=f(x)

N11NX]X2X

上的点与原点连线斜率，

结合函数图象特征可知横坐标越大，斜率越小，VxjG(0,+8),mx2>xi满足条件，故B

正确.

当xe(0,+8)时，y=f(x)-x=ln(x+1)-x为减函数，Vx|6(0,+°°),3X2>XI，

f(X2)-X2<f(xi)-xi，故C正确.

由于曲线y=f(x)图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，Vxi，X26(0,+8),

f(x1)+f(Xo),Xi+x?、,,....

-----!--------^_<f(_J_£),故D错误a.

22

故选D.

【点评】本题考查函数的单调性，函数的图象特征，直线的斜率公式的应用.

5.(2014•丰台区二模)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60。的直线1与抛物

线在第一、四象限分别交于A、B两点，则4的值等于()

|BF|

A.5B.4C.3D.2

2

【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|,结合x,xc=—，求出A、B的坐标,

A1A24

然后求其比值.

【解答】解：设A(xi，yi),B(X2，y2)，

IAB|=x1+x2+p=.0X[+X2号

sm9Jo

2Q

X,可得X132-P，x)

xA1Ax24X1226

3p^

|AF|二2%

则

|BF|"P+P

故选c.

【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力,

是基础题.

6.(2012•贵州校级模拟)过点(2,3),且到原点的距离最大的直线方程是()

A.3x+2y-12=0B.2x+3y-13=0C.x=2D.x+y-5=0

【分析】先求出直线的斜率，再用点斜式求的所求直线的方程.

【解答】解：•••点A(2,3)与原点连线的斜率等于KoA="2=a，由题意可得，所求直

2-02

线与OA垂直，且过点A,

故所求直线的斜率等于3-2

3

由点斜式求得所求直线的方程为y-3=-2(x-2),即2x+3y-13=0,

3

故选B.

【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，求出直线的斜率，是解题的关键，属于基础题.

7.(2010•唐山二模)过抛物线y2=2x的焦点F作直线1交抛物线于A、B两点，若

焉一1^1，贝U直线1的倾斜角e(o〈e4q)等于()

|AF||BF|2

A.2LB.2Lc.2LD.2L

2346

【分析】设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出丁\再联立

|AF|W\=1

直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案.

【解答】解：由题意可得：F(X0)设A(xi，yi),B(x2,y2).

2

因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线1交抛物线于A、B两点，

所以|AF好+x/师*+*2-

又因为।1]-।1।=1’

|AF||BF|

所以|AF|<|BF|,即xi<X2，并且直线1的斜率存在.

设直线1的方程为y=k(x-1),

2

12

222

联立直线与抛物线的方程可得：kx-(k+2)x+$0，

所以.k2+21

所以Xi+x2=-p-，x/2=W

2-

11v(x,+x9)4X.X9

因为丁'-丁'=1，所以整理可得一一一----------=1，

|AF||BF|阜(x+乂)+xx

即整理可得k4-21?-3=0,

所以解得k2=3.

因为o〈e《工，所以k=E，即

23

故选B.

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系,

并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面.

8.（2010•济宁一模）"龟兔赛跑〃讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄

傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟

还是先到达了终点…，用S］、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事

情节相吻合的是（）

【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化.问题

便可解答.

【解答】解：对于乌龟，其运动过程可分为两段：

从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；

到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段.

对于兔子，其运动过程可分为三段：

开始跑得快，所以路程增加快；

中间睡觉时路程不变；

醒来时追赶乌龟路程增加快.

分析图象可知，选项B正确.

故选B.

【点评】本题考查直线斜率的意义，即导数的意义.

9.（2005•湖北）在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于寺的点中，坐标为整数

的点的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

【分析】根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值就是该点的斜率,

求出切点横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数.

【解答】解：：切线倾斜角小于工，

4

，斜率04<1.

设切点为（xo，xo3-8xo）,贝ijk=y，|x=x0=3x（）2-8,

22

.\O<3xo-8<1,J<X0<3.

又•rxoez,...xo不存在.

故选D

【点评】本题考查直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题.

10.(2003•天津)设a>0,f(x)=ax?+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0，f(xo))处切线的

倾斜角的取值范围为[0,—■],则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为()

A.[0,1]B.[0,J-]C.

a2a

【分析】先由导数的几何意义，得到X。的范围，再求出其到对称轴的范围.

【解答】解：•.•过P(xo,f(xo))的切线的倾斜角的取值范围是[0,亨，

.,.f(xo)=2axo+bG[O,1],

；.P到曲线y=f(x)对称轴x=-上的距离d=xo-(-电)=xo+至

2a2a2a

xoE[—————^|.d=xo+—E[0,-A-].

2a2a2a2a

故选：B.

【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心.

11.(2015•福州校级模拟)在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若

a为无理数，则在过点P(a,-1)的所有直线中()

2

A.有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点

B.恰有n(n>2)条直线，每条直线上至少存在两个有理点

C.有且仅有一条直线至少过两个有理点

D.每条直线至多过一个有理点

【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可.

【解答】解：设一条直线上存在两个有理点A(xi，yi),B(X2,y2)，

由于p(a,-£)也在此直线上，

所以，当xi=X2时，有x『X2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；

y-y1y2^9

当X|HX2时，直线的斜率存在，且有二9——!-=——幺

x2—x।x2—

又X2-a为无理数，而”二22为有理数，

x2-X1

所以只能是丫2+"^=0，且y2-yi=0，

即v-v="

y2~yi2

所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是尸-工

2

所以，正确的选项为c.

故选：C.

【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定

义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目.

12.(2015春•宁德期末)直线1经过点(1,2),且倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍，则以

下各点在直线1上的是()

A.(1,1)B.(2,2)C.(2,1)D.(2,0)

【分析】由已知得到直线y=x倾斜角为45。，所以直线1倾斜角为90。，由此得到直线方程.

【解答】解：因为直线1倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍，而这些y=x的倾斜角为45。，所

以直线1的倾斜角为90。，又直线1经过点(1,2),所以直线1的方程为x=l；

故选：A.

【点评】本题考查了直线的斜率与直线的倾斜角；如果直线倾斜角为90。，直线斜率不存在.

13.(2015秋•长葛市期末)已知点A(2,-3)、B(-3,-2)直线1过点P(1,1),且

与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范围是()

A.k冲k…B.C,-4<k<^D,|<k<4

【分析】画出图形，由题意得所求直线1的斜率k满足k>kPB或k<kPA.用直线的斜率公

式求出kpB和kpA的值，

解不等式求出直线1的斜率k的取值范围.

【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线1的斜率k满足k>kPB或kVkpA，

即k2上或k<4

4

【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想.

14.(2015秋・甘南州校级期末)已知两点A(-1,0),B(2,1),直线1过点P(0,-1)

且与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的取值范围是()

A.[-1,1]B.(-8,-1]U[1,+8)C.[-1,0)U(0,1]D.[-1-0)U[l,

+8)

【分析】由题意画出图形，求出P与AB端点连线的斜率，则答案可求.

【解答】解：如图，

•；KAP=-1，KBP=1,

...过P(0,-1)的直线1与线段AB始终有公共点时，

直线1的斜率k的取值范围是k4-1或k21.

故选：B.

【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题.

15.(2015春•揭阳校级期末)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线1方程为kx+y-k

-1=0,且与线段AB相交，求直线1的斜率k的取值范围为()

A.k>>5sKk<-4B.k>&k<-1C.-4<k<^D.J<k<4

4444

【分析】直线1过定点P(1,1),且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜

率，

从而得出1的斜率k的取值范围.

【解答】解：•••直线1的方程kx+y-k-1=0可化为

k(x-1)+y-1=0,

直线1过定点P(1,1),且与线段AB相交，如图所示；

则直线PA的斜率是kpA-31-4,

2-1

直线PB的斜率是kpB=2-1二£,

-3-14

则直线1与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是

k/或k<-4.

4

故选：A.

【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目.

16.(2015秋•钦州期末)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()

A.3x-2y=0B.x+y-5=0

C.3x-2y=0或x+y-5=0D.2x-3y=0或x+y-5=0

【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线1的方程为丫=1«,把P

的坐标代入即可求出k的值，得到直线1的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设

直线1的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线1的方程.

【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线1的方程为：y=kx

把点P(2,3)代入方程，得：3=2k,即k,

所以直线1的方程为：3x-2y=0；

②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，

设直线1的方程为：&+2=1

aa

把点P(2,3)代入方程，得：2J=i，即a=5

aa

所以直线1的方程为：x+y-5=0.

故选C

【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不

要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题

17.(2015秋•舟山校级期中)已知直线1过点P(l,-2),且在x轴和y轴上的截距互为

相反数，则直线1的方程为()

A.x-y-3=0B.x+y+l=0或2x+y=0

C.x-y-3=0或2x+y=0D.x+y+l=0或x-y-3=0或2x+y=0

【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程.当直线不过原点时，设方程的解析式,

把点P(1,-2)代入可得a的值，从而得到直线方程.综合以上可得答案.

【解答】解：当直线过原点时，由于斜率为12一0=-2,故直线方程为y=-2x,即2x+y=0.

1-0

当直线不过原点时，设方程为名+上=1,把点A(1,-2)代入可得a=3,

故直线的方程为x-y-3=0,

故答案为：2x+y=0,或x-y-3=0,

故选：C.

【点评】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础

题.

18.（2015秋•兴宁市校级期中）过点P（2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

（）

A.2x-3y=0B.3x-2y=0或x+y-5=0

C.x+y-5=0D.2x-3y=0或x+y-5=0

【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方

程为x+y=a,把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两

坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx,把已知点的坐标代入即可求出k的值，得

到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程.

【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a,

把（2,3）代入所设的方程得：2=5,则所求直线的方程为*+丫=5即*+丫-5=0；

②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx,

把（2,3）代入所求的方程得：1<=旦则所求直线的方程为y=&即3x-2y=0.

22

综上，所求直线的方程为：3x-2y=0或x+y-5=0.

故选:B.

【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的

数学思想，是一道综合题.

19.（2015秋•运城期中）经过点M（L1）且在两轴上截距相等的直线是（）

A.x+y=2B.x+y=lC.x=l或y=lD.x+y=2或x-y=0

【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方

程为x+y=a,把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两

坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx,把已知点的坐标代入即可求出k的值，得

到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程.

【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a,

把（1,1）代入所设的方程得：a=2,则所求直线的方程为x+y=2；

②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx,

把（1,1）代入所求的方程得：k=l,则所求直线的方程为y=x.

综上，所求直线的方程为：x+y=2或x-y=0.

故选：D.

【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类

讨论，是一道基础题.

20.（2015秋•九江月考）直线x-ytana-5=0（ae（0,工））的倾斜角的变化范围是（

4

A.（―,2L）B.（―2L）c.（――）D.（2L,2L]

42433242

【分析】由直线的方程得到直线的斜率，结合a的范围得到直线斜率的范围，再由斜率等

于直线倾斜角的正切值求得倾斜角的变化范围.

【解答】解：由直线x-ytana-5=0,得直线的斜率为1<=—」，

tana

TT

VaG(0,——)，/.tanaG(0,1),

4

则—--G(1,+8),

tana

设直线x-ytana-5=0的倾斜角为6(0<6<n),

.,.tane>l,则兆(―,2L).

42

故选：A.

【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题.

21.(2015秋•保定校级月考)已知直线3x+4y-5=0的倾斜角为a,则sin(a-——)=

6

()

-又年-

A4+373R4-3V3C373-44

10101010

【分析】先求出tana=—-,再求出sina=—,cosa=--,代入sin(Q.--)展开即可.

4556

【解答】解：由直线3x+4y-5=0,

得：tana=-—,

4

QA

则sina=—,cosa=-—,

55

sin(a-工)=Lina-2i§：osa=lx3-返<(-J)=生亚1,

622252510

故选：A.

【点评】本题考查直线斜率的意义，同角三角函数关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应

用，属于基础题.

二.填空题(共4小题)

22.(2012•北京模拟)若实数x、y满足(x-2)2+yM,则¥的最大值为一百_.

X

【分析】利用工的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值.

X

【解答】解：?=二工，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，

xx-0

因此工的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率.

设Jtk,则kx-y=0.由12kl-炳,得1<=士娟,

Vl+k2

故(力max=V'^，(工)min=-

故答案为：如

【点评】本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查计算能力，是基础题.

23.(2011•南通三模)定义在口，+8)上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常

数)；②当2sx“时，f(x)=1若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则

c=1或2.

【分析】由已知中定义在［1,+8)上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数);

②当24xa时，f(x)=1我们可得分段函数f(x)的解析式，进而求出三个函数

的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方

程，解方程可得答案.

【解答】解：•••当24x44时,f(x)=1-|x-3|.

当l<x<2时，2<2x<4,

则f(x)=-f(2x)=-(1-|2x-3|),

cc

此时当x=3、j,函数取极大值工

2c

当2Vx“时，

f(x)=1-|x-3|；

此时当x=3时，函数取极大值1

当4Vxs8时，2<*4,

2

则f(x)=cf(-|)=c(1-l-|-3|),

此时当x=6时，函数取极大值c

V函数的所有极大值点均落在同一条直线上，

即点岛当，(3,1),(6,C)共线，

，C

''3~3

~2

解得c=l或2.

故答案：1或2

【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f(x)

的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键.

24.(2008•温州学业考试)过点A(-1,-2),B(3,5)的直线方程是7x-4y-l=0.

【分析】根据题中所给出的条件直接根据直线方程的两点式写出直线方程即可.

【解答】解：•••所求直线方程过点A(-1,-2),B(3,5)

.•.所求直线方程为工1£二'二^即7x-4y-1=0

5+23+1

故答案为：7x-4y-1=0

【点评】本题主要考查了求过两点的直线方程.解题的关键是熟记直线方程的两点式:

V-Vlx-xi,

丫2-丫1x2-X1

25.（2012•甘肃一模）过点（1,、历）的直线I将圆（x-2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧

所对的圆心角最小时，直线1的斜率k=退.

—2―

【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我

们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对

的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路.

【解答】解：如图示，由图形可知：

点A（1,V2）在圆（x-2）2+y2=4的内部，

圆心为O（2,0）要使得劣弧所对的圆心角最小，

只能是直线1LOA,

所以蚪=-4=

k0A

【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定

理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.相关推论，过圆内一点垂

直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小…

三.解答题（共5小题）

26.（2010•沛县校级模拟）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,

分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2X的图象交于C、D两点.

（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

【分析】（1）设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，求出OC、OD的斜率相等则三点共

线.

（2）BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出A的坐标.

【解答】解：（I）设点A、B的横坐标分别为xi、X2由题设知，x1>bx2>l.则点A、B

纵坐标分别为k>g8X［、log8X2.

10gZ10gX

因为A、B在过点0的直线上，所以，l-L=.-§2

X1x2

点C、D坐标分别为(X],10g2X]),(X2,log?X2).

-TlOgoX1

由于log2Xl=--------二310g8X1，

log82

logox2

10g2X2=-......Mlog8X2

log82

logx।31oggXj

0C的斜率k[二2

X1X1

,,..10goX9310goXo

0D的斜率k0=—--------U.

2X2X2

由此可知，k]=k2，

即0、C、D在同一条直线上.

(II)由于BC平行于x轴知

10g2X]=10g8X2.

即得log2Xl=iog2X2，

...X2=X|3.

代入X2k)g8Xi=X[log8X2得X『log8Xi=3xilog8Xi.

由于X|>1知log8X|*0,

.*.XI3=3X].

考虑X1>1解得X|=JW_

于是点A的坐标为(如,logsV3)-

【点评】本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,

考查运算能力和分析问题的能力.

22

27.(2010•上海二模)已知椭圆—+匕=],常数m、neR+,且m>n.

mn

(1)当m=25,n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P,与y轴交于点Q,若而=2而，

求直线PQ的斜率；

22

(2)过原点且斜率分别为k和-k(k>l)的两条直线与椭圆工+匕=1的交点为A、B、C、

mn

D(按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内)，试用k表示四边形ABCD的面积S；

(3)求S的最大值.

【分析】(1)求出椭圆的左焦点，设出P、Q坐标，利用若而=2而，和P在椭圆上，求出

P、Q坐标，推出直线PQ的斜率；

(2)写出直线h：y=kx,12：y=-kx与椭圆方程联立，求出A坐标，然后求出四边形ABCD

的面积S；

(3)化简S的表达式，Sh&J利用g(k)=mk+工(k>l)的单调性，求出函数S的

T+mkk

k

最大值.

22

【解答】解:(1)Vm=25,n=21,.•.3+31的左焦点为F(-2,0).(2分)

2521

设满足题意的点为P(xo»yo)、Q(0,t).又而二2^5,

fx0=~3

(-2,-t)=2(x()+2,yo),即1.(4分)

由点P(x0,yn)在椭圆上，得盘于是二±(5分)