2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-2　离散型随机变量及其分布列

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

§2离散型随机变量及其分布列

2.1随机变量2.2离散型随机变量的分布列

基础过关练

题组一随机变量

1.10件产品中有3件次品，从中任取2件,可作为随机变量的是（）

A.取到产品的件数B.取到正品的概率

C.取到次品的件数D,取到次品的概率

2.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为W,

则｛1=5｝表示的试验结果是（）

A.第5次击中目标

B.第5次未击中目标

C.前4次均未击中目标

D.第4次击中目标

3.写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验

的结果.

⑴袋中有大小相同的红球10个，白球5个,从袋中每次任取1个球,不放回,直

到取出的球是白球为止,所需要的取球次数；

（2）从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.

题组二离散型随机变量及其分布列

4.下列随机变量X不是离散型随机变量的是()

A.某超市一天中的顾客量为X

B.某塔台一天内收到的呼叫次数为X

C.某水文站观察到一天中长江的水位为X

D.某立交桥一天经过的车辆数为X

5.一盒中有12个乒乓球,其中9个新球,3个旧球,从盒中任取3个球来用，用完

后放回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为()

A.—B.—C.—D.—

2205525220

6.口袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,

用X表示取出的最大号码,求X的分布列.

7.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为昌.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的己的值；

⑵若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后结

果都加上6分，求最终得分n的可能取值,并判断n是不是离散型随机变量.

题组三离散型随机变量的性质

8.（2020河北阜平一中高二月考）离散型随机变量X的分布列如表所示,则c等于

（）

x1234

P0.20.30.4|c

A.0.1B.0.24C.0.01D.0.76

9.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则q等于.

X-101

132

P0.51-”q

10.（2020河北张家口第一中学月考）设随机变量X的分布列为P（X=

|）=ak（k=l,2,3,4,5）.

⑴求常数a的值；

⑵求

⑶求P信<x<£）.

11.已知随机变量X的分布列如表所示.

X-2-10123

p111111

124312612

(1)求随机变量Y=X2的分布列；

⑵若P(Y<x)=!|,求实数x的取值范围.

题组四两点分布

12.(2020安徽亳州第二中学期末)已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则

常数。为(

X01

P9c2-c3-8c

13.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,

则P(X=1)=()

A.0B.-11C.-2D.-

233

14.已知袋内有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=fO'两J球全红'则X

11,两球非全红，

的分布列为.能力提升练

题组一离散型随机变量的分布列的性质及应用

1.(2020北京丰台十二中月考)离散型随机变量X的概率分布规律为

P(X=k)=a(ll-2k)(k=l,2,3,4,5),其中a是常数,则P(j<X<的值为()

2.(2020陕西西安庆安高级中学月考)设离散型随机变量X的分布列如表所示,则

下列各式成立的是()

-10123

P0.10a0.100.200.40

A.P(X<1.5)=0.40B,P(X>-1)=1

C.P(X<3)=1D.P(X<0)=0

3.(2020浙江新高考名校联考)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，当工+

X

3取最小值时,x=

y

X123

1

PXy

2

题组二离散型随机变量的分布列的综合

应用

4.(2020河南信阳二模)如图所示,A,B两点由5条线并联,它们在单位时间内能

通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通

过最大信息量的总量为□则P(W28)=.

5.(2020北京顺义牛栏山一中模拟)由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集

了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据

记录如下：

586065207326679873258430

821574537446675476386834

646068309860875394509860

72907850

对这20个数据按组距为1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统

计表(设步数为X).

组别步数分组频数

A5500<x<65002

B6500<x<750010

C7500<x<8500m

D8500<x<95002

E9500WxW10500n

⑴写出m,n的值；

⑵从A,E两个组别的数据中任取2个数据,记这2个数据步数差的绝对值为X,

求X的分布列.

§

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C2.C

3.解析(1)设所需的取球次数为％则^=1,2,3,4,-,10,11,

{W=i}表示前(i-1)次均取到红球,第i次取到白球,其中i=l,2,-,11.

(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,11.

{X=3}表示“取出标有1,2的两张卡片”；

｛X=4｝表示“取出标有1,3的两张卡片”；

｛X=5｝表示“取出标有1,4或2,3的两张卡片”；

｛X=6｝表示“取出标有1,5或2,4的两张卡片”；

｛X=7｝表示“取出标有1,6或2,5或3,4的两张卡片”；

｛X=8｝表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；

｛X=9｝表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；

｛X=10｝表示“取出标有4,6的两张卡片”；

｛X=ll｝表示“取出标有5,6的两张卡片”.

4.C选项A、B、D中的随机变量X可能取的值都可以一一列此因此它们都是

离散型随机变量;选项C中的X可以取某一区间内的一切值,无法一一列出，故其

不是离散型随机变量.故选C.

5.D因为从盒中任取3个球来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数X=4,即旧

球增加一个,所以取出的3个球为1个新球,2个旧球,所以P(x=4)=萼=三,故

L12NNU

选D.

6.解析随机变量X的可能取值为3,4,5,6.

从袋中随机取3个球,包含的基本事件总数为髭，｛X=3｝包含的基本事件总数为

禺，｛X=4｝包含的基本事件总数为加髭，｛X=5｝包含的基本事件总数为储量，｛X=6｝

包含的基本事件总数为加量.

从而P(X=3)=等P(X=4)=萼

NUZ：NU

的番—

P(X=5)=■3,P(X=6)=管费

所以随机变量X的分布列为

3456

1331

P

2020To2

7.解析⑴列表如下:

取得3取得1个白取得2个白取得3

结果

个黑球球,2个黑球球,1个黑球个

0123

(2)由题意可得n=51+6,由(1)知之可能的取值为0,1,2,3,所以n对应的值

是5X0+6,5X1+6,5X2+6,5X3+6,故n的可能取值为6,11,16,2L显然n是

离散型随机变量.

8.A由离散型随机变量分布列的性质知，0.2+0.3+0.4+c=l,解得c=0.1.故选A.

gJ•套口室2-

0.5+1—-q+Q=1,

解析由题意得｛0<l-|q<|,解得q=|.

10.解析随机变量X的分布列为

1234

X1

5555

Pa2a3a4a5a

⑴由a+2a+3a+4a+5a-1,得a=表.

⑵解法一:P(X之I)",=§+P(X=3+P(X=l)=+2+W

解法二:P(X之|>"(x])+七十()号

(3)因为指〈X〈行,所以X=-,

1010555

所以P岛VXv-=P(x=3+P(x=|)+P(x=|)W+m三

11.解析(1)由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,

则P(Y=0)=|,P(Y=D=^=|,P(丫=4)*+片P(Y=9)*

可得随机变量Y的分布列如表所示.

Y0149

1111

P

33412

(2)，.，(丫々)甘,.”(丫6)=1-P(Y=9)=P(Y=0)+P(Y=l)+P(Y=4),.•.实数x的取值

范围是(4,9].

12.A由离散型随机变量分布列的性质知，

(0<9C2-C<1,

]0<3-8c<1,解得c=|,故选A.

(9c2-c+3—8c=1,

13.D设试验的失败率为p,则试验的成功率为2p,

AX的分布列如表所示.

X01

Pp2p

.,-p+2p=l,解得p=|,.,.P(X=1)=|,故选D.

14.答案

X01

38

P

五11

解析由题意得,X的可能取值为0,1,

P（X=0）=学=3,P（X=1）S1±S1S1A

c£ii=c弘=ii.

所以X的分布列如表所示.

X01

38

p

五TT

能力提升练

1.D由题意得a(9+7+5+3+l)=1,解得a二城,

Z.pf-<X<U)=P(X=3)+P(X=4)=A+2.=A

\237252525

故选D.

2.A根据分布列的性质可得,0.10+a+0.10+0.20+0.40=1,解得a=0.20,所以

P(X<1.5)=P(X=-l)+P(X=0)+P(X=l)=0.10+0.20+0.10=0.40,故A成立;

P(X>-1)=1-P(X=-1)=1-O.10=0.90,故B不成立;

P(X<3)=l-P(X=3)=l-0.40=0.60,故C不成立;

P(X<0)=P(X=T)=0.10,故D不成立.

故选A.

3套室-

O

解析由题意得,x+y(x>0,y>0),所以工+±=2(x+y)•(-+斗2(5+l

2xy\xy)\x

y)^2X(5+4)=18,当且仅当y=2x,即x),y1时取等号.

4.答案|

解析解法一（直接法）：由已知得，W的可能取值为7,8,9,10,则

cccc+cc

P（&=7）=^^=~p（a=8）=2i22=_g_p（&=9）P（&=10）

'q‘慎5,i