高等数学公式(专升本)

江苏省专转本考试《高等数学》

复习指导

第。章初等数学公式

一.嘉函数公式

(l)x2-l=(x-l)(x+l)

(2)/_]=(1)(尤2+x+l)

(3)尤3+l=(x+l)(%27+1)

(4)x4-l=(x-l)(x3+x2+x+l)

(5)x"—1=(x-l)(x"1+x"+…厂+x+1)

(6)1x"=(1—x)(l+x+x~+...x"1)

(l)xn-yn=(x-火—+J-y+...xyn-2+yn-l)

二.指数函数公式(a〉O,3l)

⑴优・〃=产

(2)优+/=a'r

⑶⑷尸=优，

三.对数函数公式(a>O,«^l)

⑴log〃x+log〃y=log〃xy

X

⑵log“XTog”y=log。一

y

ei“["log』.(〃为偶数)

⑶k)g〃x=

nlogflx(〃为奇数)

(4)log“x=3%(换底公式)

log/

四.三角函数

（一）商的关系

cosx

/c\cosx

(2)cotx=----

sinx

(二)倒数关系

(小1)tanx=-1--

cotx

小、1

(2)secx=---

cosx

0、1

(3)cscx=----

sinx

(三)平方关系

(l)sin2x+cos2x=1

(2)1+tan2x=sec2x

(3)14-cot2X=CSC2X

(四)二倍角公式

(l)sin2x=2sinxcosx

(2)cos2x=cos2x-sin2x

=2cos2x-l=>cos2x=1+c；2K(降幕公式)

=l-2sin2x=>sin2x=--(降塞公式)

五.数列的公式

(一)等差数列

(1)=6+(〃-1)4

儿(九一l)d_n(a+。〃)

(2)S=叫+]

n22

几个常见等差数列的和

(1)1+2+3+…〃=必业

2

222n(w+1)(2w+1)

(2)P+2+3+...»=-

6

——12

(3)P+23+33+.../73=返9

_2_

(二)等比数列

⑴％，。"'

(2)=

1-q1-q

几个常见等比数列的和

1—/

(1)l+X+X?+..・元〃T=-----(XW1)

1-X

1_丫2〃

(2)1+/+/+*(,1)=[^(xw±l)

1-x2

(3)17+，7+...(7严x"T=1_(f)"(XH-1)

1+X

(4)l-x2+x4+...(-l)n-'x2(,,-°=>(-[)”

1+x~

注：这几个公式在级数中会用到，尤其是级数的间接展开法.

六.几个常见裂项公式

⑵*士-£)

(3)-----5-----=—!—(―-----—)

(x-a)(x-b)a-bx-ax-b

七.球的公式A.扇形公式

(1)S表=4〃R2(1)弧长：l=R»a

411

2

(2)腺=—//?3(2)面积：S=-IR=-R

坏322

第1章函数、极限与连续

第一部分基本内容

一.函数的基本概念

两个要素：定义域。与对应法则/

二.六类基本初等函数

1.常数函数y=c

2.累函数y=xa(67eR)

3.指数函数y=a"(〃>0,Q工i)

4.对数函数y=\ogax,y=\nx

5.三角函数y=sinx,cosx,tanx,cotx,secx,escx

6.反三角函数y=arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx

三.函数的四个几何性态

(一)奇偶性

若函数y=/(x)的定义域关于原点对称，对于任意xe。，有

,(I)/(x)=-/(-x)或者/(x)+/(-x)=0,则称f(x)为奇函数

[(2)/(*)=/(-%)或者/(x)-/(一X)=0,则称/(x)为偶函数

显然，若函数y=/(x)的定义域不关于原点对称，则其一定是

非奇非偶函数

(二)周期性(通常指最小正周期)

(三)单调性

(四)有界性

对于任意无eD,存在Me/T,使得，(x)区M成立，则称/(幻为

区间上的有界函数.

四.关于复合函数.

1.>=/［例》］

由复合而成

U=(p{x)

2.y=/b(gO))］

y=/(〃)

由<"=g(v)复合而成

v=夕⑴

分解的基本原则：由外到内，层层分解，每步都是基本初等函

数或类似基本初等函数(简单函数)

五.初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或复合，并且能用一个式子表示的

函数.(我们研究的函数都是初等函数)

六.关于极限问题(描述性定义)

1.x->x0时的极限

limf(x)=AQ/(x-O)=/(x+O)=A(左右两个单侧极限)

JI%oo

2.x78时的极限

lim/(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A

、X—>coXT-ooX-

注意：极限记为8的情况，属于极限不存在的情况.

七.数列的三个特性

1.单调性：

<2.有界性存在，称为有界；否则称为无界。

3.收敛性：lim/(〃)=A,此时数列收敛;A不存在，数列发散

、〃一>8

注意：逻辑关系

1.收敛数列一定有界，有界数列不一定收敛.

2.无界数列一定发散，发散数列不一定无界.

3.单调有界数列必收敛

八.两类重要极限及其推广

两类重要极限

।sinx.x1

l.hm-----二I或hm-------二I

a。xsinx

2.lim(I+工户=e或lim(I+—)x=e

x—»0xT8X

推广：

arcsinx「sinx_arctanx「tanx

(1)lim--------=lim------=lim----------=lim------

xTOxx-»Oxx->0xnox

「ex-1].ln(l+x)i

=lim-------=lim-----------=1

XTOXx->0X

1-COSX{

(2)hm——--=1

XT。X2

2

1..A/1+x—1

(3)lim-------=1(4)lim-------------=1

x->oxlna%->ox

n

注意：利用等价无穷小的近似代换在求极限时，主要用于乘除运算，一般不

用于加减运算.

例如，当XT0时，下列近似代换经常用到

(l)arcsinx-sinx-arctanx-tanx~-1~ln(l+x)~x

x2

(2)l-cosx~—

(3)ax=l+xln«

(4)Vf+x=l+-

n

变形形式如:

(l)e2x=1+2x

(2)1-cos2x«2x2

⑶ln(l—3x)=—3x

(4)Vl+X=l+y

另外，下列公式求极限时也经常用到

8,m>n,

a„,xm+a+...+a.x+aa

hm------忙m1------------?------n\J-,mm=n,

nn

…bnx+bll_lx~+...blx+btibn

0,m<n.

此结论可以作为公式使用.

九.无穷大量与无穷小量

(1)lim/(*)=8,则称/(%)为(x—X0-,Xo+,%o,8)时的无穷大

XTX。-

+

(x-»x0)

(x->x0)

<(x—>oo)

(2)lim/(%)=0,则称/(%)为(%7%0,%7-00,%->8)时的无穷小

ax。

(XT-8)

、(X->«>)

注意：不能孤立地说一个函数是无穷大还是无穷小，它离不开自变量的变化趋势.

十.关于无穷小的性质与定理

'⑴0是无穷小，无穷小不一定是0

(2)有限个无穷小的代数和(乘积)仍是无穷小

'(3)有界函数与无穷小的乘积为无穷小

(4)常数与无穷小的乘积为无穷小

十一.关于无穷小的阶的比较

设a(x),夕(x)都是在自变量的同一趋势下的无穷小

(1)如果lim纲=0,则称"x)是比a(x)高阶的无穷小，记作£(x)=0(a(x))

a(x)

(2)如果lim犯=8,则称"x)是比a(x)低阶的无穷小.

a(x)

(3)如果lim犯=CH0,则称"x)与a(x)同阶无穷小，特别是如果C=1,则称/?(%)

a(x)

与a(x)是等价无穷小，记作△〜a

十二.夹逼定理

定理如果g(x),/(x),〃(x)满足下列两个条件

(1)对于X。的某一空心邻域内的一切X有g(x)</(X)</?(JC)成立，

(2)limg(x)=limh(x)=A

XT与X-»X0

则有lim/(x)=A

Af0

十三.关于连续与间断点

定义1如果函数y=/(x)在点/满足

(1)/(X)在点X。的某邻域内有定义(含X。点)

(2)limf(x)存在

(3)lim/(x)=./'(X())

Xf%

则称函数y=f(x)在点/处连续，否则称函数y=/(%)在点/处间断.

剖析：同时满足三个条件，缺一不可

(1)有定义，/(x。)存在

(2)有极限，lim/(x)存在

XT与

(3)极限值=函数值，lim/(x)=/(x0)

f%

定义2设函数y=/(%)在点与的某邻域内有定义，如果有

limAy=0成立，

Ar->0

则称函数/⑴在X0处连续.

十四.间断点及其分类

前提：X。是间断点

第一类间断点第二类间断点

/(x-O),/(x+O)/(x-O),/(x+O)

oo/(xo-0)=/(xn+0)oo

X。为可去间断点

都存在至少有一个不存在

—0)声/(x0+0)

X。为跳跃间断点

十五.闭区间上连续函数的性质

定理(最值定理)在闭区间［a,b］上的连续函数一定有最大值和

最小值.

注意：若定理的条件不满足，则结论可能不成立.例如函数y=/在区

间(0,1)内连续，但在开区间(0,1)内既无最大值也无最小值.

推论若函数)=/(%)在闭区间上连续，则它在该区间上有界.

定理(介值定理)若/(x)在闭区间［a,b］上连续，则它在［a,b］内能取得介于

其最小值和最大值之间的任何数.

定理(零点定理)设函数/*)在［a,b］上连续，且/(a)与/3)异号，则在

开区间(a,b)内至少存在一点使得/6)=().

这一定理说明，若闭区间［a,b］上的连续曲线在端点处的函数值异号，则该连

续曲线与x轴至少有一个交点.

注:要证明根的唯一性时，要用到函数的单调性.

说明：闭区间上的连续函数的图像，象山的轮廓线一样，高低起伏、

连绵不断，有波峰(最大值)，也有波谷(最小值).

第二部分典型例题

专题一：关于函数值及表达式

1.若/(工)=。/+加：3+次-1,。,仇,为常数，/(一3)=3,求/(3)

答案：/⑶=-5

,,fllx|<1qr1

2.右〃x)=,求/[/(x)]

〔0|x|>l

答案：/[/(x)]=l

2

3.若,f(x)=lim(l+，求/(In3)

M-»0

答案：/(ln3)=9

4•若小I；：*求/⑴的表达式

x~-l<x<0

答案：/(*)=«+2x+1

2x+20<x<l

5.若f(x)=x2,叭x)=2*,求丹p(x)]，<p[f(x)]

答案：加答)]=4"<p[f(x)]=2x2

6.若/(x)可微，且/(x)+2j；■辿=1,求/(x)

答案：/(x)=x-g+ge-2"

7.若广(x)=l+x,求/(x)

答案：/(x)=x+ex+C

8.若lim/(x)存在，且/(x)=/+----+21im/(x),求/(x)

IX+1*5

答案：/(x)=x3+2x^-5

9.若/(*)+8*2+2『/(x)dx=1,求/(x)

J0

答案：/(*)=-8/+与

9

10.设X20,求/(*)=1加彳1+》"+(2)”

"T8V2

10<x<l

答案：/(X)=max<1,x1<x<2

x2

x>2

2

专题二：关于奇偶性及应用.

11.判断下列函数的奇偶性.

⑴y=ln(x+7x2+1)

答案：奇函数

ex-e~x

⑵)二一z

答案：奇函数

1

(3)y=cosxIn—

答案：奇函数

(4)F(x)=/(x)+/(-x)

答案：尸(X)是偶函数

⑸b(*)=〃％)—/(—*)

答案；方(%)是奇函数

12.求下列定积分

(l)f(x)连续,1[f(x)-/(-x)]dx

J—oo

5•2

⑵…续

答案:(1)0,(2)0

专题三：关于极限问题.

13.求下列极限

（l）lim

1-cos（l-cosX）

答案：⑴-8

/lx-X

一

a。sin4x

小、1

答案：（2）1

(3)lim5nsin—

5”

答案：（3）x

(2X-1)30(3X+2)20

(4)lim

X—>oo(5x+l)50

23q2。

答案：（4:51

答案：⑸;

(6)lim(Vx3+x2+x+l-x)

x—>4-00

答案：⑹；

(7)lim(―/.+7…+-/-)

"f8-\/w2+1J/+2yjn2+n

答案：(7)1

22sinx

答案：(8)g

⑼lim(/4严

282x-1

答案：(9)e2

3+3x-

(10)lim(-------)x

J3+2x

答案：(10)1

14.设lim(卫生)*=8,求。的值.

xt8x-a

答案：a=ln2

ax.3

is.设1吧z(1一r--一)二弓,求。的值.

ii1-x1-x2

答案：a=2

工2+hjr+c

16.设H斗----)=5,求加c的值.

I1-X

答案：b=—Q,c=6

专题四:关于连续与间断问题.

17.指出下列函数的间断点及其类型

sinx

⑴/（x）=----

X

答案:X=0第一类（可去）间断点

⑵/（x）=U1x1

X

答案：x=0第一类（跳跃）间断点

⑶/（幻=外

答案：x=0第二类间断点

（4）/（x）=sin-

X

答案：》=0第二类间断点

2X—1

(5)/(%)=———

2；+1

答案：x=0第一类（跳跃）间断点

rz、，+X—6

(6)/(x)=_2~—

x-4

答案：尤=2第一类（可去）间断点；x=-2第二类间断点.

sin2x

x<0

x

18.判断函数/（尤）=bx=0的连续性

3x+2x>0

答案：。=2时处处连续，否则其余点连续，而在x=0处不连续.

i^ax

1-e八

----x<0

X

19.若函数八幻=hx=0在x=0处连续,求的值.

Jl+x-1

x>0

、sinx

答案：—^4

b(l-cosx)

x<0

x2

20.若函数/(x)=.ax=0在x=0处连续，求〃力的值.

J_

Acosr2Jrx>0

0

答案：a-1,b-2

专题五：无穷小与无穷大

21.下列函数何时为无穷小，何时为无穷大?

⑴/(x)=2'

答案:xT_8;XT+8

⑵/(工)=与三

x—1

答案：x->-2,oo；X一±1

⑶/(x)=e、

答案：x-»0;x-»0+

(4)/(x)=lnx

答案：x—>l;x0+,4-oo

专题六：闭区间上连续函数的性质

22.证明：若/(%)在区间［a,4上连续,a<M<%…<%<小则在

国,招］内至少有一点使/C)=/3)+/(々)+.../氏)

n

23.证明:方程-3x+l=0

(1)在(1,2)内至少有一根

(2)在(1,2)内有且仅有一根

24.证明:方程2/一1_J：-Ldt=0在［0,1］内有且仅有一根

25.设任意函数/(%)在闭区间［㈤上连续，且a＜玉＜/＜b,ct,c2

为任意正常数，求证在［a,b］内至少有一点J，使等式

c］f(xi)+c2f(x2)=(ci+。2)/《)成立.

第2章导数与微分

第一部分基本内容

.导数定义

函数y=/(x)在点％=与的某邻域内有定义，若极限［四，鲁存在，则称

函数在该点可导,y'(x°)=f\x.)=lim=lim+Ax)-/(x0)

二.导数的两种形式

(I)增量式r(％o)=lima=lim十&)一~)

&TO24rzk-»oAx

(2)两点式/'(10)=lim-=lim二’

xftOaxftOX-

三.导数的几何意义(K切=〃(尤。))

⑴切线方程丁一/(%0)=/'(%0)(%一/)

⑵法线方程y-f(x0)=-J(%—★)

/(殉)

四.左导数与右导数

⑴左导数以%。)=lim生=lim〃%。+&)-/(%。)

4T。—4^JA—»o-4^

⑵右导数单与)=lim@=lim-。+—。)

Av—>0+4^4H()+4^

<(%)=AQ£(%)=/：(/)=A

注意逻辑关系：

五.导数的运算法则

/

(l)[w(x)+v(x)]=，(x)+/(x)

，

(2)[w(x)v(x)]=w，(x)v(x)+〃(x)M(尢)

/

推论[M(X)V(X)6\X)]=”'(x)v(x)6y(x)+M(X)V'(X)0(X)+M(X)V(X)<Z)/(JC)

⑶3u\x)v(x)一〃(x)/(x),

7——叭X)MUn

v(x)V(x)

1"，(x)

推i匕----——5--------(u(x)0)

_M(X)JU2(x)

六.导数的基本公式.

⑴c'=o

⑵(X)'=l

(3)(xay=axa-'

常见(五)'=—尸；(一)'=--

2dxxx

(4)(ax)'=axIna(a>0,aH1)

(5)07

z

(6)(logox)=J—(a>0,aH1)

xina

(7)(lnx)z=-

X

(8)(sinxY=cosx

(9)(cos©’=—sinx

(10)(tanx)/=sec2x

(1l)(cotx)z=-esc2x

(12)(secxY=secx-tanx

(13)(escxY=-escx•cotx

(14)(arcsinx)'=/1

717?

(15)(arccosx),=——11

(16)(arctanx\=—

1+x

(17)(arctanx)z=---

1+x2

七.微分的概念

1.y=/(x)A=/(x+Ar)-/(x),

若Ay=AAx+a(x),其中lima(x)=0,A与Ax无关，贝！J记

微分力=AAx,其中A=/(x),又M=dx,

则微分dy=f\x)dx.

2.微分的几何意义：表示曲线y=/(x)上点x处的切线的纵坐标的增量.

A.微分的运算法则

(1)J[M(X)+v(x)]=du(x)+Jv(x)

(2)<4〃(x)v(x)]=v(x)t/w(x)+M(X)JV(X)

⑶"]=上皿口四^心)HO

1u(x)」v-(x)

推论：d」一二一'#"）（〃（x）wO）

_M（X）JW2（X）

九.微分的基本公式.

⑴dC=O

(2)dx=dx

⑶办=axa~]dx

(4)dax=axInadx(a>0,a，1)

(5)de'=e'dx

(6)dlog“x=--—dx(Q>0,aW1)

x\na

⑺dlnx=—dx

x

(8)Jsinx=cosx(ix

(9)dcosx=-sinxdx

(10)6/tanx=sec2xdx

(11)Jcotx=-esc2xdx

(12)dsecx=secx-tanxdx

(13)Jescx=-escx•cotxdx

(14)darcsinx=/】dx

(15)darccosx=——.dx

(16)darctanx=­dx

1+x

(17)arctanx=----L7ax

1+x~

上述公式可以左右互换，这个就是后面经常要用到的凑微分公式,

这里提前掌握，有利于后面不定积分的学习.

十.常见凑微分公式

(l)dx=—d(ax+与(aW0)

a

(2)xadx=—1―dxa+}(aW-1)

a+1

常用~^=dx=2dy[x,-\-dx=-d—

NxXX

(3)—djc=d\nx

x

x

(4)优dx=d-^—(a>0,。w1)

Ina

(5)e'dx=dex

(6)sinxdx=-dcosx

⑺cosx八二dsinx

(8)sec2xdx=dtan尢

(9)esc2xdx=-dcotx

(10)secx-tanxdr=Jsecx

(1l)cscx•cotxdx=-descx

1

(12),-dxdarcsinx=-darccosx

Ti-x7

（13）-dx-darctanx--darecotx

1+x~

十一.隐函数的求导的三种方法

方法一：将隐函数化为显函数（一般很困难）

方法二：方程两边同时对X求导数.

（始终将y看成X的函数，对含有y的函数求导时必有y'）

方法三：方程两边同时求微分.

（最后合并同类项，求出立即可）

ax

十二.对数求导法

适用对象：(1)幕指函数

(2)函数的连乘、连除、乘方、开方的形式

步骤：(1)两边同时取自然对数(显函数变成隐函数)

(2)两边同时对x求导

十三.参数方程所确定的函数的求导.

=/

-,

r»e

/<■.

--,r(("⑺/0)

川

嬴

dy，⑺]

⑵-=型=承=L乃。[=广⑴“⑺1'⑴，⑺(夕”0)

dxdx(p\t)(p(t)

~dt

十四.复合函数的求导.(链式法则)

基本方法：由外到内，层层分解，层层求导，逐个相乘.

(l)y=由〈复合而成.

U=夕(X)

<=4*竺=广(〃)义”(幻

duax

y=/(»)

(2)y=/{g[e(x)]},由<"=gO)复合而成.

V=(p(x)

y==f\u)xgz(v)x(p\x)

duavdx

注：复合函数的微分形式的不变性.

注：求复合函数的微分既可以按照微分的定义求，也可

以按照微分形式不变性求.

十五.高阶导数.

"/，、/dyd~yr"

y="）"正=2

d'y

y=（y）=”-,-/”（九）,

axdx3

v（4）_（v“）/_dy"_dAy

y-。）~~arx~~arxr

例如：(l)sin</0x-sin(xd---),(2)cos<"'x=cos(xH----)

22

注：显函数的高阶导数往往要用到归纳的方法，建立y⑺

与〃的关系.

十六.微分在近似计算中的应用.

因为AXTO时，-dy9所以

⑴Ay=fXx0)Ax

(2)/(x0+Ax)=/(x0)+f\xa)^x

特别，当x0=O时，有

⑴Ay=y'(O)x

(2)/(x)=/(0)+/W

第二部分典型例题

专题一关于导数值.

1.若/(尤)=尤(％-l)(x-2)(x—3)...(x—10),求/'(0)

答案：10!=3628800

2.若按定义求广⑴

答案：3

3.若/(%)=-2,求

⑴1质-/(X。)⑵./(x。+必Y)-/(/+Mx)

Xi%Ar刀.与Ar

答案:(1)2(2)2--a)

4.若/(x)在x=2处连续，且lim3=3,求广⑵

22X—2

答案：3

5.若/'(x)=2',求lim"©_/(")

…x-a

答案：2aIn2

6.若y=/(x)为偶函数，且在x=0处可导，求证/'(0)=0

专题二：复合函数的求导.

7.(l)y=ln(J-+1+%)

答案：⑴了=74=

Vx2+1

(2),="rctan&

arctan&

答案:(2)y'=—『------

2jx(l4-x)

⑶y=arctan—

x

答案：(3)y=-1

\+x

X

(4)/(%)=3而，求八e)

答案：(4)/修)=0

(5)y=/(/)/")"⑴可导，求半

ax

答案•(5)孚=尸(《"/x)+f(ex)efMf(x)

专题三：对数求导法.

8.(l)y=(l+x严

sinx

答案：⑴y'=(l+x产*cosxln(l+x)+

1+x

(2)y=sinxtanx

答案：(2)y'=sin%snx(sec2xlnsinJC+1)

⑶…得

l-x11

答案：y'=x.)

1+x2(1—x)2(1+x)

x23-x

⑷y二-----■

1一1(3+%产

答案:

x22112

(4)y

l-xxx3(3-x)3(3+x)

专题四：隐函数及参数方程所确定的函数的求导.

9.(1)方程e-v+cos盯=0确定函数丁=y(%),求；/(%)

答案：⑴—mx1

e)-xsinxy

(2)方程孙+/=0确定函数y=y(x)求y'(x)(尤)

答案：⑵八个，/=

x+e(2—y)

(3)方程y=1+%""确定函数丁=y(%),求dy

x=0

答案：⑶力=edx

x=0

10(1)方程卜"sinr确定函数y=求字〃

*Iy=1cos，dxt=—

i4

答案：⑴0

\x=acos31.w,、“

(2)<3确定函数y=y(x),求y(%)

[y=<2sint

答案：(2)y'=-tanf,/=-~—1———

3asint-cost

专题五：高阶导数

ii.(i)T,求严"°,

x=0x=0n

答案：(1)0,10!

⑵产)=]nsinx,求产

答案：(2)j(n)=esc2x

(3)y=In(x-l),求y(")

答案：(3)产=(-1严产?

(x-l)

(4)y=J-，求.*

1-x

答案：(4)严)=:

(1-X)

专题六：导数的几何意义

12.求证曲线y上任意点处的切线与x轴，y轴所围的三

X

角形的面积为2.

13.求证抛物线五+6=后上任意点M(x0,y。)处的切线在

两个坐标轴上的截距之和为a.

14.求曲线>=，上经过点(1,0)处的切线方程.

X

答案：x+y—1=0

15.求曲线卜=31+〃)上在处的法线方程.

[y=arctant

TT

答案：y--=-2(x-\x\2)

4

16.设y=y(x)由方程ylnx=xl”确定，求曲线y=y(九)在点

%=1处的切线方程.

答案：y二x

17.已知y=ox"+而+/+3在点(—1,4)与直线>=-尤+5相

切，求。，人的值.

答案：a=—l;b=—1

18.设曲线/(幻=丁+OY与g(X)=加+0的交点为(1,0),且在

此点处有公共切线，求的值.

答案：a=-l;b=l,c=-l

专题七：关于分段函数

19.讨论函数y=凶在点光=0处的连续性与可导性.

答案:连续但不可导

20.讨论函数)=布|在点x=0处的连续性与可导性.

答案:连续且可导

21.函数.一人叫XHO，问当％为何值时，该函数在点

0x=O

x=O处⑴连续；(2)可导；(3)导函数连续

答案:(1)%>0;(2)k>i;(3)k>2

I2

22.若函数/(x)=(rX-［在X=1处可导，求ag的值.

ax+bx>1

答案：a=2,b--\

23.若函数/(幻=卜"'%-°，求r(x).

[xsinxx>0

2xe~x-x~e~xx<0

答案：，(x)=<0x=O

sinx+xcosxx>0

专题八：关于微分在近似计算中的应用

24.(1)求"丽的近似值

答案”)2.001

(2)求027.0027的近似值

答案：(2)3.001

25.证明:当x-»0时,(sinx+cosx)"==1+zu

第3章导数的应用

第一部分基本内容

一.微分中值定理及其推论

1.罗尔定理

如果函数/(x)满足下列条件

(1)在闭区间上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

(3)在区间的两个端点处的函数值相等，即/(。)=/(份,则至少存在一点Je(a,b),

使得/'C)=o.

2.拉格朗日定理

如果函数/(x)满足下列条件

(1)在闭区间［a,上连续；

(2)在开区间(a,份内可导;

则至少存在一点(a,b),使得/'©)=二&)

b-a

3.柯西定理

如果函数/(X)与g(x)满足下列条件

(1)在闭区间除以上连续；

(2)在开区间(。,价内可导，并且在(a,加内每一点处均有g'(x)HO,则至少存在

/G)

一点Jw(a,b),使得

g(b)-g(a)g'C)

推论1若函数/(X)在区间3,与内可微，且/'(X)三0,则/(X)在(。力)内是一

个常数.

推论2若函数/(%)和g(x)在①力)内每一点的导数f\x)与g'(x)都相等，则这

两个函数在(a,b)内仅仅相差一个常数.

罗必塔法则

0oo

适用对象：未定式V型与一型

08

定理如果函数/(X)和g(x)满足

(1)lim/(%)=limg(x)=0；

,Ifo

(2)在点X。及其附近可导，且g'(x。)W0；

(3)lim，产)=A3),

f。g(九)

则lim=lim华^=A(g).

i。g(X)HOg(X)

注：条件成立，罗必塔法则可以多次使用.0.8型和8-8型可以转

化为。型或巨型

08

三.单调性及其判断

(1)定理如果函数/(%)在区间(a力)内可导：

(1)若在(。/)内/'(x)>0,则/(幻在(a,》)内是单调增加的；

(2)若在(a,价内f(x)<0,则/(幻在(a,切内是单调减少的；

(2)单调区间的分界点(只有两类)

(1)驻点

(2)一阶不可导点

四.函数的极值

1.函数的极大值与极小值

定义如果函数)(幻在点/及附近有定义，对于与近旁除点与外的所有无，满足

(1)/(幻</(%),则称/(%)为函数/(幻的一个极大值，/称为

函数的极大值点.

(2)/(x)>/(%),则称/(%)为函数/(x)的一个极小值，/称为

函数的极小值点.

定理1(极值的必要条件)

设函数/(X)在点X。处可导，且在点无。处取得极值，则必有

,

/(