导数及其应用 08 导数与数列不等式的证明 突破专项训练-2022届高三数学解答题VIP

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练导数及其应用08（导数与数列不等式的证明）1．已知函数．（1）若在上恒成立，求实数的取值范围．（2）证明：，．2．已知函数．（1）若，求实数的值；（2）求证：．3．设函数．（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：．4．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）①若恒成立，求的值；②求证：对任意正整数，都有．（其中为自然对数的底数）5．已知函数，．（1）若不等式对恒成立，求实数的范围；（2）若正项数列满足，，数列的前项和为，求证：．6．已知函数．（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：．7．设．（1）当时，求证：；（2）证明：对一切正整数，都有．（3）证明：时，．8．已知函数．（1）当，时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，数列满足：，，求证：是递减数列．（参考数据：9．已知函数．（1）求函数在，上的最大值；（2）当时，求证：．参考答案1．（1），等价于，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故实数的取值范围是，．（2）由（1）可知在上恒成立，则，即，当且仅当时“”成立，取，2，3，，则，，，，，将上述不等式相乘可得，即，故．2．（1），则．①当时，，在上单调递增，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；②当时，，由得，，由得，，在上单调递增，在上单调递减，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；③当时，，由得，；由得，，在上单调递增，在上单调递减，又（1），成立；④当时，，由得，，由得，，在上单调递增，在上单调递减，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；综上得，．（2）由（1）知，当时，在上成立，即，令，则，，即，．3．（1）的定义域是，当时，，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，（1），无极大值．（2），①当时，若，则，若，则，在递减，在递增；②当即时，若，则或，若，则，在，递减，在，递增；③当，即时，恒成立，在上单调递增；④当即时，若，则或，若，则，在递减，在，，递增，综上：当时，在递增，在递减，在，递增，当时，在递增，当时，在递增，在，递减，在递增，当时，在递减，在递增．（3）由（1）知在递减，时，（1），，令，得，，即，，，，，，累加得：，．4．（1）的定义域为，令得或当时，；当时，；当时，的单调增区间是，单调减区间是，．（2）①由，得对恒成立．记其中（1），，当时，恒成立，在上单调递减，时，（1），不符合题意；当时，令，得，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，（a）记（a），（a）．令（a）得，时（a）；时，（a），（a）在上单调递减，在上单调递增．（a）（1），即（a），（a）．又（1），故．综上：．②证明：由①可知：，（当且仅当时等号成立）．令，则，．．5．（1）不等式对恒成立，对恒成立，设，则，令，解得，令，解得，故在递增，在递减，（1），的取值范围是，；（2）证明：取，由（1）可知对恒成立，则，，，，，，，，数列是常数列，，，，，，原结论成立．6．（1）由，得，①当时，方程的△，因式在区间上恒为负数，所以时，，函数在区间上单调递减，又（1），所以函数在区间上恒成立；②当时，方程有两个不等实根，且满足，所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间上单增，又（1），所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；③当时，在区间，函数在区间上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；综上：若时，不等式恒成立，的最小值为．（2）由第（1）知：若时，，若，则，即成立，将换成，得成立，即，以此类推，得，，上述各式相加，得，又，所以．7．（1），，，单调递增，当时，，在递增，；（2）当时，，，，令，，2，3，，，，故原命题成立．（3）当时，，，所以，所以，因为时，，所以，所以，所以．8．（1）因为，所以，设，，当时，即时，因为，，，所以，而，所以，即恒成立，当时，，所以在，上递增，而，所以，所以在，上递增，即成立，当时，，所以在，上递增，而，所以存在，，有，且当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取得最小值，最小值为，而，不成立，综上：实数的取值范围，．（2）证明：因为，所以，，令，所以，设，所以，所以在上递增，而，（1），所以存在，，且当时，，递减，当时，，递增，而，（1），所以，即当时，，而，，所以是递减数列．9．（1），①当时，，在，上单调递增，