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临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练导数及其应用08(导数与数列不等式的证明)1.已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围.(2)证明:,.2.已知函数.(1)若,求实数的值;(2)求证:.3.设函数.(1)若,求的极值;(2)讨论函数的单调性;(3)若,证明:.4.已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)①若恒成立,求的值;②求证:对任意正整数,都有.(其中为自然对数的底数)5.已知函数,.(1)若不等式对恒成立,求实数的范围;(2)若正项数列满足,,数列的前项和为,求证:.6.已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.7.设.(1)当时,求证:;(2)证明:对一切正整数,都有.(3)证明:时,.8.已知函数.(1)当,时,恒成立,求实数的取值范围;(2)当时,数列满足:,,求证:是递减数列.(参考数据:9.已知函数.(1)求函数在,上的最大值;(2)当时,求证:.参考答案1.(1),等价于,令,则,令,解得:,令,解得:,故在递增,在递减,故(e),故实数的取值范围是,.(2)由(1)可知在上恒成立,则,即,当且仅当时“”成立,取,2,3,,则,,,,,将上述不等式相乘可得,即,故.2.(1),则.①当时,,在上单调递增,(1),当时,(1),不符合题意,舍去;②当时,,由得,,由得,,在上单调递增,在上单调递减,(1),当时,(1),不符合题意,舍去;③当时,,由得,;由得,,在上单调递增,在上单调递减,又(1),成立;④当时,,由得,,由得,,在上单调递增,在上单调递减,(1),当时,(1),不符合题意,舍去;综上得,.(2)由(1)知,当时,在上成立,即,令,则,,即,.3.(1)的定义域是,当时,,令,解得:,令,解得:,在递减,在递增,(1),无极大值.(2),①当时,若,则,若,则,在递减,在递增;②当即时,若,则或,若,则,在,递减,在,递增;③当,即时,恒成立,在上单调递增;④当即时,若,则或,若,则,在递减,在,,递增,综上:当时,在递增,在递减,在,递增,当时,在递增,当时,在递增,在,递减,在递增,当时,在递减,在递增.(3)由(1)知在递减,时,(1),,令,得,,即,,,,,,累加得:,.4.(1)的定义域为,令得或当时,;当时,;当时,的单调增区间是,单调减区间是,.(2)①由,得对恒成立.记其中(1),,当时,恒成立,在上单调递减,时,(1),不符合题意;当时,令,得,时,,时,,所以在上单调递增,在上单调递减,(a)记(a),(a).令(a)得,时(a);时,(a),(a)在上单调递减,在上单调递增.(a)(1),即(a),(a).又(1),故.综上:.②证明:由①可知:,(当且仅当时等号成立).令,则,..5.(1)不等式对恒成立,对恒成立,设,则,令,解得,令,解得,故在递增,在递减,(1),的取值范围是,;(2)证明:取,由(1)可知对恒成立,则,,,,,,,,数列是常数列,,,,,,原结论成立.6.(1)由,得,①当时,方程的△,因式在区间上恒为负数,所以时,,函数在区间上单调递减,又(1),所以函数在区间上恒成立;②当时,方程有两个不等实根,且满足,所以函数的导函数在区间上大于零,函数在区间上单增,又(1),所以函数在区间上恒大于零,不满足题意;③当时,在区间,函数在区间上恒为正数,所以在区间上恒为正数,不满足题意;综上:若时,不等式恒成立,的最小值为.(2)由第(1)知:若时,,若,则,即成立,将换成,得成立,即,以此类推,得,,上述各式相加,得,又,所以.7.(1),,,单调递增,当时,,在递增,;(2)当时,,,,令,,2,3,,,,故原命题成立.(3)当时,,,所以,所以,因为时,,所以,所以,所以.8.(1)因为,所以,设,,当时,即时,因为,,,所以,而,所以,即恒成立,当时,,所以在,上递增,而,所以,所以在,上递增,即成立,当时,,所以在,上递增,而,所以存在,,有,且当时,,递减,当时,,递增,所以当时,取得最小值,最小值为,而,不成立,综上:实数的取值范围,.(2)证明:因为,所以,,令,所以,设,所以,所以在上递增,而,(1),所以存在,,且当时,,递减,当时,,递增,而,(1),所以,即当时,,而,,所以是递减数列.9.(1),①当时,,在,上单调递增,
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