管道动力学第七章管内流动与管路计算

第七章管内流动与管路计算

在第四章中，推出的粘性流体沿管道流动的总流伯努里方程为:

Pl匕2pi片

Z]H----Fa.――=z,H----1-a--I-h

Pg2g-pg-22g

式中心是粘性流体从截面1流到截面2处，单位重量流体所损失的能量,

它等于所有沿程损失和局部损失之和，即：

沿程损失价是在每段缓变流区域内单位重量流体沿流程的能量损失。研究

表明，沿程损失与单位重量流体所具有的动能和流程长度成正比，与通道的直

径成反比。

IV2

h=A----

fd2g

该式称为达西一威斯巴赫(Darcy-Weisbach)公式。式中X为沿程损失系

数，它与流体的粘度，流速、管道内径和管壁粗糙度等因素有关，是一个无量

纲系数，除层流流动外，一般需要由试验确定。

局部损失例是当管道中因截面面积或流动方向的改变所引起的流动急剧变

化时，单位重量流体的能量损失，通常表示为

V2

式中？称为局部损失系数，也是一个无量纲系数，根据引起流动的各种管

件，由试验来确定。

要计算粘性流体在管道中的流动问题，需应用总流的伯努里方程。而应用

该方程的关键问题是求管道中的能量损失几.。总损失心等于各段沿程损失和局

部损失之和。若求沿程损失加和局部损失hj,就必须确定沿程损失系数4和局

部损失系数因此，确定沿程损失系数月和局部损失系数《就成了本章的最

关键的问题。

1

§7—1圆管中的层流流动

本节及以后各节所讨论的沿程损失系数的计算公式，只适用于管内充分发

展的流动，而不适用于速度分布沿流程不断变化的管道入口段的流动(0

设流动为不可压流体在水平直管中的定常流动，流体充满整个管道截面，

并为充分发展的层流流动。取管道轴线与X坐标一致。在这样的流动中没有横

向速度分量，即"=w=o,仅有x方的速度"。根据连续方程，可得

该式表明，〃与x无关，仅为y和z的函数。若忽略质量力对流动的影响,

N—S方程式可写为：

曳

ax

加

一

小=0(2)

曳

az=0

后两个方程表明，压强p与y和z无关，仅为x的函数。故有:

d2u+d2u_1dp

(3)

dy2dz2fldx

该式的左端是y、z的函数，而右端是x的函数，这只有两边均等于常数时

才能成立，故可得出半=常数，即沿轴向长度上的压强变化为一常数。

dr

若长度为/的管道两端的压强分别为力和P2,并令△p=p「P2,则：

攵(4)

dxI

于是(3)变为：

独+”也⑸

3z24/

上面的推导中，并未涉及管道截面的形状问题，因此，对任何形状的截面

均可适用。对于圆截面管道，由于流动是轴对称的，为了求解方便，可采用圆

柱坐标系，设轴线方向为x坐标，贝4(5)式可写成。

2

d~u1du\P

(6)

—drF-r--dr

该方程可由柱坐标系的N—S方程式直接得出；也可设y=rcos。,

z=rsine利用坐标转换得出。这种情况下N—S方程可变为：

积分可得

di/△P

dr2〃/r+G

由于流速分布的对称性，在管道轴线上速度值最大，即，当『0时,

%。。所以积分常数中。，则上式为：

du

⑺

dr2似

再积分，得

u=r2+C

4以/2

当时,则积分常数♦制。二代入上式得流速分布:

可以看出，圆管中层流流动过流断面上的流速分布为旋转抛物面，如图所

示。

在管道轴线上，速度为最大值

△P2

k-4〃/'。⑼

3

通过整个管道截面的流量

Q=/〃2加/—r~)2%心，=2

o

„加4

或OEM(10)

该式表明，圆管中层流流动的流量与管径的四次方成正比。式(10)称为哈

根一泊素叶公式。截面上的平均流速

vQQ△加1

y——==---=——n(11)

A8/2max

即圆管中层流流动的截面平均速度为管轴上最大速度的一半。

由(11)式，可得出:

8岬32"

△P(12)

4d2

该式即为沿程压强损失公式。可以看出，圆管中层流流动沿程压强损失与

速度的一次方成正比。沿程能量损失，简称沿程损失为:

_Ap_32川丫_64V264V2

pgpgd-pydd2gRed2g

4

/V1

或写为f短

式中几=的

Re

人即为沿程损失系数，其中Re=0旦

4

将(6)式代入牛顿摩擦定律可得：

Au

T=-u——=-r

dr21

式中加负号是为使「为正值。可以看出，「随管径r呈线性变化，如图所

示。在管壁处，r=ro，「="为最大切向应力，则

△P

亍。

4

最后，将”的表达式和平均速度/的表达式代入动能修正系数公式，得

<2=—ff—dA=121—-x2勿"dr=2

以若2

4J“r0JJ

即，流体在圆管中作层流流动时，其动能修正数。=2。

5

§7—2研究紊运动的时均法

由雷诺实验可知，紊流实质上是流体质点随机的不规则运动。流体质点不

断地互相混杂和碰撞，必然引起流场中空间各点的流速和压强随时间的波动，

这种现象又称为紊流的脉动现象。由此可见，从本质上讲，紊流是一种非定常

流动。

在流体作紊流运动的空间流场中，任取某一固定点，用热线风速仪或激光

测速仪测量在不同时刻通过该点的流体质点速度。下图为圆管轴线上某一点的

轴向流速随时间的变化。由于紊流的脉动，质点的真实速度瞬息万变，难以表

示，通常只能用一定时间间隔内的统计平均值代替真实速度。为此，我们定义

时均速度：

-1fo+rJ

〃二­[udt

T

式中：

/0—初时时刻；

J时间间隔；

〃一瞬时速度；

工一时均速度。

由图可知，尽管瞬时速度“在不断变化，而时均速度工却可能不变。因此,

可将定常流动的定义推广应用于紊流流动，即：对于紊流流动，如果空间某点

的流体物理量（如速度、压强等）的时均值不随时间变化，则称为时均定常流

动，或简称为定常流动，否则，为非定常流动。

空间某点的瞬时速度为

其中,为脉动速度。或

u=u—u

而脉动速度/的时间平均值7总是等于零，例如:

+T———

udt=u—u=0

6

并且，流体质点不仅沿轴向有脉动，而且沿垂直于流动轴的截面（即径

向）也有脉动，并分别用"，”表示，且

"‘=3=0

w'——J'v/d/—0

即脉动速度“'，”对时间的平均值也为零。

同理，在紊流流动中，流体的压强也处于脉动状态，则瞬时压强。

P=p+Pr

即瞬时压强等于时均压强加脉动压强。同理也可证明，脉动压强的平均值7也

等于零，即:

在研究紊流的理论中，还经常使用紊流度£来表示脉动幅度的大小，紊流

度定义为：

产力

w，2=—t'+Twr'dt

T%

式中。一脉动速度的均方根值：

A时均特征速度，对明渠或管内流动，P采用截面平均流速；对绕流问

题，「采用远离物体的时均流速。

另外，需要说明的是，普通的测速管（例如皮托管）和普通的测压计，能

够测量的均是时均速度和时均压强，而测量瞬时速度，则需采用热线风速仪或

激光测速仪。但是，在工程上，均采用流动参数的时均值去研究紊流运动。并

且，对紊流而言，某截面的平均流速定义为

7

其中A为该截面的有效截面积。

8

§7—3紊流附加切应力及紊流速度分布

一、紊流附加切应力

我们知道，粘性流体作层流运动时，摩擦切应力可由牛顿内摩擦定律确

定，而对粘性流体作紊流运动，除了粘性摩擦切应力之外，由于流体质点存在

横向脉动，在流体层与层之间引起动量交换，从而增加了流体的能量损失，这

个增加的能量损失，就称为紊流附加切应力。

紊流的总切应力为：

T=T}+T2

其中乃是粘性剪切应力，可由牛顿内摩擦定律计算，即

Q是由紊流的脉动速度引起的。故Q又称为紊流附加切应力或雷诺应

力。

紊流附加切应力的计算，可按普朗特动量传递理论进行推导。该理论的基

本观点为：在紊流的流层中，由于存在脉动流速，流层之间在一定的距离之内

会产生动量交换，由于动量交换，便会在流层之间的交界面上产生沿流向的切

达2层后，即与2层的流体混合在一起，因而具有2层的时均速度＞+/理（其

©

中的/类似于分子平均自由程），由于质量流为。〃'必的流体在1层时，沿x

9

方向的动量为「〃'd血，而到达2层后，沿x方向的动量为p"'cL41+/理，那

Idy)

么，1层流体由于脉动跳跃到2层后，与2层流体相混合，必然会使整个2层的

流体在x方向的动量略有降低，其反映为2层流体上会出现一个瞬时脉动速度

前的负号表示该脉动速度与x轴正向相反。假定在某瞬时，2层流体沿

x方向的脉动速度为零，山时间后，由于1层流体的介入，使2层流体沿x方向

产生了脉动速度-“'，则d/时间内，质量为pi/dAl/的流体在x方向的动量变

化为：pv,AAAt[--0)=-pv/uMt,这个动量变化必然由外力作用引起，则

根据动量定理：

Fdt=pvrdAdt(-u-0)

或尸=-pii'v'AA

而单位时间内，通过垂直于y方向单位面积的质量为pv'的流体在x方向

的动量变化为-因此，由于横向脉动，1,2两层流体之间单位面积的切

向应力为：

F,,

工、=——=-pitv

2dA

由此可见，Q的产生完全是由于紊流的脉动引起的，所以，又称为紊流附

加切应力。由于紊流附加切应力是雷诺在1895年首先提出的，故紊流附加切应

力又称为雷诺应力。

并且，当"〉0时(即流体质点由1层向2层脉动)，则2层的脉动速度

，<0；反之，当"‘<0时(即流体质点由2层有1层脉动)，则1层的脉动速

度〃'>0,即〃'与〃'永远异号，即永远有，〃'<0,因此，紊流附加切应力永

远大于零。显然，对层流而言，由于〃=故附加切应力为零。

而紊流附加切应力的时均值为：

/="/。2由=-y『uv^t=-pu'v'=

10

由于脉动速度的大小是个未知数。所以上式并不能直接应用于计算。为

此，普朗特在1925年按照与分子平均自由程类似的想法提出了混合长理论，对

这个问题的做出了一个初步解答。

如图所示，假定某瞬时位于y处的流

体质点，在x方向其时均速度为>3)；由

于存在横向脉动速度“'，该流体质点在y

方向移动一段类似分子自由程的距离/后

跟了以处的流体混合，此时，在x方向其时均速度为Z(y+/),则单位时间通过

垂直于y方向的单位面积的流体在x方向的动量变化为：

pv\u(y+/)-〃(力］=pvl半

显然

d〃z，

pvl---pitv

dy'

则，〜包

dy

式中符号：”表示同一数量级。长度/称为普朗特混合长。

对于横向脉动速度〃'，可用右，

OvO-vr

图来说明。当速度为"+和/_>OQ9-jQIQ；

一，"一ll一/I

的两个流体质点一前一后运动时，/u6"'

如果7+/的质点在前，则两个质点

将分开，上下的流体质点将以士/的速度涌入所形成的空隙，反之，若1+/的

质点在后，两个质点将相撞，则原来的两质点之间的其它流体质点将以士"的

速度向两边分开，并且，“越大，流场中空出来的空间也就越大或者流体质点

之间碰撞得越猛烈，因此，填空的过程或者分流的速度也就越快，即"'也就越

大，反之亦然，因此，从质量守恒的角度来看，“与必为同一数量级，因此

有：

11

称为紊流粘性系数或虚粘度，这是因为从不是单由流体的物性决定，而是

和流动有关的变量。在数值上，要比流体的动力粘度〃大几个数量级。

通常/由实验确定，也可根据流动情况进行假设，具体内容可参看有关流

体力学书籍。

若将云写成「2,则对紊流而言，沿流动方向，总的切应力为

dudu/\dw

r=T+r=//—+A^-=（A+Ai）—

x2dydyay

混合长理论尽管在物理上还存在缺陷。但是，这种理论对于某些情况，只

要对粘性系数加以修正，就能与实验较好地符合。因此仍是一种有用的理论模

型基础。

二、紊流的流速分布，“光滑管”与“粗糙管”

1、紊流结构及紊流的流速分布。

我们知道，对于圆管中的层流流动，速度分布为旋转抛物面，而对于紊

流，由于紊流的横向脉动造成了流层之间的动量交换，因此，管流中心的速度

分布趋于均匀。另一方面，紊流中，并不是整个过流断面的流体都处于紊流状

态，实际上，在紧靠固体边界的地方，由于流体的横向脉动受到壁面的限制，

所以由脉动产生的紊流附加切应力很小，另一方面，靠近壁面处，流体的速度

梯度却很大，故粘性摩擦切应力很大，因此，在靠近壁面处，粘性摩擦切应力

4起主导作用，脉动切应力马则可忽略。因而该层流体基本上呈层流状态，这

-薄层流体又称为粘性底层或层流低层。粘性底层以外，流体的运动状态为紊

流，并且，在紊流与粘性底层之间，还有一层极薄的过渡层，因实际意义不

12

大，可以不加考虑。对圆管而言，粘性底层的厚度般不足一毫米，但对能

量损失影响极大，故不能忽略。

下面讨论流体处于紊流状态时，流过

光滑平壁面某一截面的速度分布。把沿壁

面的方向定为X坐标，垂直于壁面的方向

定为y坐标，如右图所示。

(1)粘性底层区(yW6。)在

粘性底层区，由于马可以忽略，故有：

du

dy

将上式分离变量并积分，得:

一c

u=—y+c

〃■]

边界条件：壁面上，片0,Z=o,因而。=0,代入上式，得粘性底层区的速度

分布为：

八力噎尸小…。(1)

Y

式中：

七一为壁面处(yWb。)的摩擦应力：

13

"*一因具有速度因次，又称为摩擦速度。

可见，在粘性底层区，速度分布为直线分布。如果再令/*=二，并且称/

为摩擦长度(因为/具有长度因次)，则粘性底层区的速度分布式(1)又可写

成：

如果令粘性底层与紊流交界处(即歹=6。处)的流速为则由(2)可得:

沏_4_a

——-----(X

ur

uh=OHl

品=出*

式中a为待定未知量

(2)紊流核心区(y>80)在紊流核心区，力>>干因而彳=〃黑，可忽略

不计，并且，假设在整个紊流区域内切应力为常数并等于《，故

根据观察，普朗特假定混合长，与流体离开壁面的距离y成正比，即

I=ky

其中A为比例常数，于是由(4)得：

将上式分离变量并积分，得到:

由边界条件：时，U=Uh9则

14

…一小

代入前式，可得到

〃二丁。"-lnbo)+%=丁1口。+〃6(5)

kkd0

再将⑶式代入上式，得

w=—+

kH*

-P12，1]Z/"y/u\

或一=—In——+c(6)

ukv

式中。和左均由实验方法确定。并且，由⑹式可见，紊流核心区的速度分

布为对数曲线。

上面的讨论虽然是针对紊流流过平壁面的情况，然而，它揭示出来的紊流

区域中的“对数速度分布”却具有普遍意义。实验证明，管槽内的速度分布也

满足这个规律。目前，对紊流的流速分布尚无纯理论解，尼古拉兹由水力光滑

管的实验得出

A=0.4,(=5.5

代入⑹式，得

4-=2.51n^+5.5(7)

u*v

换成以10为底的对数，可得：

—=5.75lg^+5.5(8)

w*V

对于管内流动，片吩片其中小为圆管的内半径，则⑺式又可写成

4=2.51n^^+5,5⑼

uV

(8)式又可写成

£=5.751g^r)+5,5(10)

UV

显然，在尸0处，速度最大，则

15

"max=〃*(2.51n""+5.5)=〃"(5.751g""+5.5)(11)

vv

由于粘性底层很薄，故计算圆管截面平均速度时，可假定整个截面的速度

分布完全按紊流核心区的速度分布，则截面平均速度为

-

TZQ1自一cj2fb,

V——=——7=—2urar

A勿元J)r()J)

其中Z可将(7)式代入，并注意到尸尸o-尸则尸SYd尸-dy,当尸0时，

y=rQ

r=-o时，y=0,

且[-dy=J"dy代入上式，则有：

K=^r(2.51n^+5.5)(r0-y)dy

=〃*(2.51n3+1.75)(12)

*

="*(2.5In匕攵+1.75)

V

换成以10为底的对数，则有

*

/=〃*(5.751g上为+1.75)(13)

V

此外，由于/=£,故(12)式又可改写成：

“0

乌=〃“(2.51nS+L75)(14)

"ov

可见，若能测出管流流量，则可求出“*,进一步可求出壁面切应力北」

最后顺便指出，上述关系式均是建立在混合长理论及其实验的基础上，故

原则上也可把上述公式均视为经验公式。

计算光滑管的紊流速度还有一个更方便的指数方程。即：

w=Wmax(―)M(15)

当t=Llxl()5时，"=_L这就是常用卡门七分之一次方定律。

7

16

对于粗糙管(粗糙管的定义下面将介绍)，式(15)仍然适用，只不过常数C

得由实验重新确定，略去推导过程，我们将适用于水力粗糙管的有关公式写在

下面。

紊流核心区速度公布为：

u=u(2.5ln^+8.5)=w*(2.5ln^—+8.5)(16)

AA

式中，△为壁面或管壁的绝对粗糙度，后面再进•步介绍。

管内平均速度为

展“*(2.5InS+4.75)(17)

A

管内最大速度发生在尸尸o，或尸0处，由(16)可得：

Zmax="*(2.51n为+8.5)(18)

A

另外，利用式(18)可求出

1V

InA=In-—(—-4.75)

2.5u

代入(16)式，消去△,可得：

==4+3.75+2.51n±(19)

u*u*"

在尸尸0处，速度达到最大值，因此有：

警=4+3.75(20)

式(19)与式(20)应用起来更方便，这是因为式中不再出现管壁的绝对粗糙度

△,而△是不易测量的，由(20)式，当通过测量求出Kmax与『时，则可求出

〃*,进一步可求出壁面切应力七。

2.光滑管与粗糙管

任何管道以及固体边界的表面由于受材料的影响和制作过程的不同，以及

使用时间的长短和锈蚀等其它原因，其表面总是粗糙不平的。管壁表面粗糙凸

17

出的平均高度就叫做管壁的绝对粗糙度，用符号△表示，如下图所示，并且定

义绝对粗糙度与管内径之比2为相对粗糙度。

a.

根据实验观察发现，粘性底层的厚度，随Re而变化，Re上升，为下降，

反之，Re下降，，增加，因此，随着雷诺数的变化，对于一个已知管道，，

有可能大于△,也有可能小于因此，当品>△时，即粘性底层完全淹没了

管壁的粗糙凸出部分，这时，粗糙度△的大小对粘性底层以外的紊流区域完全

没有影响，壁面对水流的阻力，主要是粘性底层的粘滞阻力，流体好像在完全

光滑的管中流动一样。则此时的管道就称作是水力光滑管，如下图（a）所示。

而当30<△时，则管壁的粗糙度△的大小对流体的能量损失已起主要作用。当

流体流过管壁的粗糙凸出部分时，将形成小旋涡，壁面对水流的阻力主要就是

由这些小旋涡引起的，此时的管道就定义为水力粗糙管，如图（b）所示。

（a）7K力光滑（b）水力粗糙

由此可见，对一条固定管道，是光滑管还是粗糙管，并不完全取决于该管

道壁面是粗糙的还是光滑的，而同时取决于品与△两者之间的大小。而对于一

条固定管道，△是不变的（短其内）则仅取决于6°,而为的大小又取决于

Re,由此可见，随着Re的变化（对于确定的管道与确定的流体，Re仅取于速

度/）,某一固定管道便有可能处于“水力光滑管”与“水力粗糙管”两种情

况。可见，“水力光滑”与“水力粗糙”是个相对概念。

通常，计算粘性底层厚度々的半径验公式有

方_34.2-

°-Re0-875

18

t,34.84

或品=瓦石

式中"一圆管内径;

4—管路沿程损失系数。

19

§7—沿程损失的实验结果及经验公式

不论是层流还是紊流，沿程损失均可按

Iv2

%(1)

d2g

计算的关键是确定沿程损失系数40

对层流而言

4=竺⑵

Re

对紊流，儿的计算，则是在实验的基础上，归纳出经验公式和实验曲线

图。更简便常用的则是查曲线图。本节重点是介绍尼古拉兹曲线图和莫迪曲线

图。

一、尼古拉兹曲线

1933年尼古拉兹对管路的沿程阻力进行了全面的实验研究。该实验过程如

下：

用不同直径的六根玻璃管，并把经过筛选后的不同粒径的均匀砂粒分别粘

贴到玻璃管的内壁上，形成人工粗糙的管道，针对不同流量，进行系列实验。

实验范围为：

Re=6xl02-106

A_J_1

J-30~T014

尼古拉兹实验曲线在对数坐标中的横坐标为Re,纵坐标为九，金为参变

量。

实验曲线分以下几个区域(如书127页图)：

1层流区(ab)段Re<2320,流动为层流，六条人工粗糙的曲线全部重

合，说明沿程损失系数人与相对粗糙度2无关，仅是雷诺数的函数，即4=/"

a

(Re)o或A,理论分析与实验结果完全吻合。

Re

20

2层流向紊流的过渡区（be段）当2320<Re<4000时，是层流向紊流过渡的

区域，如图中曲线be段所示。儿值仅与Re有关，与?无关，由于流动状态的

改变，故4呈增长趋势，在这个区域，目前尚无合理的经验公式。

3紊流区当Re>4000时，流动进入紊流状态，在紊流的情况下，流动又分

为三个区域。

（1）紊流水力光滑管区（cd）段根据尼古拉兹的实验数据，光滑管区的

雷诺数范围应是4000<Re<26.98（四严，如图中的cd线所示，此时流动已进入

J

紊流范围，但相对于后面的区域而言，Re较小，故粘性底层较厚，淹没了管壁

的绝对粗糙度△,即为>△,为水力光滑管，所以，4=ARe）,而与△无关，故

六条曲线均落在同一条直线上。另一方面，由于六条曲线的金各不相同，故A

越大，要求6。>△时，则要求为越大，则对应的Re就越小。所以，六条曲线在

cd线上占据的长度各不相同，々越大，在cd线上占据的长度就越短。显然，随

d

着Re的上升，由于为下降，则9较大的管道将率先由水力光滑变为水力粗糙

d

管。计算水力光滑管的儿有以下儿个半经验公式。

当4000<Re<l（）5时，

_0.3164

-Re025

/V1

上式称为勃拉休斯（Blasius）公式。由％=7----，可看出：

d2g

加ocrL75

故该区域又称为1.75次方阻力区。

当105<Re<3xi（）6时，

0.221

A=0.0032+

Re°237

上式称为尼古拉兹光滑管公式。

（2）紊流水力粗糙管过渡区（cd-ef区间）

21

当26.98(4产<Re<4160(且严s时，随着Re继续增加，粘性底层的厚度逐

A2A

步下降，以至于瓦已掩盖不了△,则原先水力光滑的管子相继变为水力粗糙

管，因而脱离cd线，进入cd-ef这一区域，4则随之增大，9较大的管子，率

d

先变为粗糙管，此时，A=/(Re,^)0

计算紊流水力粗糙管过渡区的经验公式有

1…(2.51A1

----=-2id----------1-------

VIAReVI3.7d)

上式称为阔尔布鲁克公式，对整个紊流过程全部适用，故乂称为紊流综合

公式。但阔尔布鲁克公式求解较困难，可借助于电子计算机解决这一问题，由

于阔氏公式适用范围较广，所以在工程上广为应用。工程上通风管道的设计计

算，通常就是以阔氏公式作用为基础的。

(3)紊流粗糙管平方阻力区(ef线以右)当Re>4160(旦)°期时，随着Re

2A

的上升，粘性底层的厚度3。继续变薄，“<<△,粘性底层的作用可以忽略，

即壁面阻力的大小完全取决于管壁的粗糙度，这是因为，当紊流绕过壁面的凸

出高度△时，形成许多小旋涡，沿程损失则主要是由这些小旋涡造成，儿值近

似为一组平行于横坐标的直线，说明此时的4仅与金有关，而与Re无关，即

d

2=/(-)»由〃f=4,乙，所以，加8户，故该区域称为平方阻力区。其中虚

dd2g

线ef为平方阻力区与粗糙过渡区的分界线，这条分界线的雷诺数为Re=4160

(4//2A)°-85,并且，由于在该区域，儿与Re无关，仅与3有关，所以，当我

d

们做管路阻力实验时，只要两组流动的3相等，且Re>4160(t//2A)°'85,则儿

d

就自动相等，而不必要求两组流动的Re相等。故平方阻力区又称为自动模化

区。这样一来，就给在平方阻力区进行阻力模型实验带来了很大的方便。

计算平方阻力区义的公式为

22

4叫7g)

上式又称为尼古拉兹粗糙管公式。

近似计算时，可采用

4=0.1

上式称为希夫林松公式。

以上我们介绍了尼古拉兹实验曲线以及计算沿程阻力系数4的一些经验公

式。除上述公式之外，计算我的经验公式还有许多，我们这里不一一介绍，有

兴趣的读者可参看流体阻力手册或有关流体力学著作。

二、莫迪图

尼古拉兹实验虽然给出了管道的沿程损失数A与雷诺数Re之间的关系曲

线。但是，尼古拉兹曲线是在人工粗糙的管道上进行实验的，而实际上，工业

管道的内壁粗糙度不可能像经过筛选的砂粒那样分布得如此均匀。为此，莫迪

(Moody)以阔尔布鲁克公式为基础，用工业管道进行类似实验，得出了莫迪

图，参看书130页。

工业用管道的绝对粗糙度△是难以直接测量的，而是通过实验计算出来

的。即通过实验先测出管道的沿程损失必和管道截面平均速度「求出力值，然

后再由尼古拉的粗糙管公式反算出A,这个△值就称为工业管道的当量绝对粗

糙度，之所以称为当量绝对粗糙度，是因为实际管道的粗糙凸出程度是不均匀

的，而尼古拉兹粗糙管公式算出的是人工粗糙的均匀的^,所以，这种方法实

际上是将工业管道不均匀的A用一个均匀的A来代替，所以，称为当量粗糙

度，而不是工业管道的真实粗糙度。常用工业管道的当量绝对粗糙度可通过

表得到。

莫迪图也是采用双对数坐标，其中横坐标为Re,纵坐标为儿，参变量为

-O和尼古拉兹曲线的主要区别是紊流粗糙管过渡区。尼古拉兹曲线的粗糙管

过渡区是4随Re的增加而增加，而莫辿图的粗糙管过渡区是4随Re的增加而

23

下降。实际工业管道这一区域中a的计算，应该根据莫辿图查取，而尼古拉曲

线在这一区域对工业管道是完全不适用的，这一点应该予以注意。

24

§7—5非圆截面管路沿程损失的计算

在工程中，除了圆截面的管道外，非圆截面的管道也经常用到。例如，通

风系统中的风道，锅炉设备中的烟道、风道就是矩形截面。除此而外，某些换

热器中还采用圆环形截面，锅炉尾部受热面(例如空气预热器)中采用管束

等。所有这些非圆截面管道的沿程损失，均可采用达西一威斯巴赫公式进行计

算。即

其不同之外就是对非圆管道，保中的d在这里用当量直径小•代替。

而对非圆管道，雷诺数为

%/当

Re=

v

再将圆管道中的2用非圆管道的今代替，这样•来，前面根据圆截面管

dd当

道制定的公式与图表，就可近似地适用于非圆管道了。

而当量直径则定义为:

d...=—=4R

X

式中:

，一过水截面面积;

1显周;

R—水力半径。

1、对充满流体的矩形截面管道

4hb_2hb

当-2(h+b)-h+b

应用条件：长边长度中8倍短边长度。

2、充满流体的环形截面管道

h

d?

25

=d2_&

矶+加2

应用条件：dT>3d\o

3、充满流体的管束（流动为垂直于纸面方向的纵掠）。

实验证明，对正方形、长方形、三角形截面，使用当量直径，所获得的实

验数据结果与圆管是很接近的，而长缝形、星形截面差别就较大，即非圆截面

的形状与圆形偏差越小，运用当量直径而产生的误差就越小。而对圆形截面

4-d2

d、=^—=d°所以，圆形截面的当量直径就是圆的直径。

判定非圆截面管道中流体流动状态的临界雷诺数仍然为Re临界=2000。

可以证明，过水截面面积相等，但形状不同，湿周长短就不等，湿周越

短，当量直径越大，则沿程损失随当量直径的加大而减小。因此，当其它条件

相同时，正方形管道比矩形管道水头损失小，而圆形管道又比正方形管道水头

损失小。从减少能量损失的观点来看，圆形截面是最佳的。

26

§7—6管路中的局部损失

当流体流过阀门、变截面管道(例如管道截面突然扩大和缩小)、弯管等

管件时，由于流动状态急剧变化，流体质点之间发生碰撞、产生旋涡等原因，

在管件附近的局部范围内产生的能量损失，称为局部损失或局部阻力。局部损

失通常用符号用来表示。且：

V1

(1)

2g

式中：

—管道截面的平均流速，单位m/s；

，——管件的局部损失系数，无量纲。

局部损失系数主要靠实验测定，少数可用分析法来求。下面分别介绍儿种

常用管件的局部损失。

一、管道截面突然扩大

当管道截面突然扩大时，如下图所示，由于流线不能折转，管道截面由小

突然扩大到〃2时，管中的流线是逐渐扩散的，因而在管壁的拐角处形成旋涡，

由于旋涡要靠主流带动旋转，因此，旋涡动运必然要消耗流体的能量，并且，

由于细管流速高，粗管流速低，因此，从细管流出的流体微团必然要和粗管的

流体微团发生碰撞，碰撞和旋涡均会引起流体的能量损失，然后变成量耗散。

下面用分析法来推导因管道截面突然扩大形成的局部损失。

27

截面口处流体的压强为Pl,流速为匕，截面积为小。

截面nJi处流体的压强为P2,流速为匕，截面积为42。

列口至n-n截面的伯努利方程，则有

Z,+—+—=z+—+—+/?：

Pg2g2-pg2gJ

则：九=(4+△+*)—(z,+区+反)

Pg2gpg2g

再列出I-I至n-n两截面沿流动方向的动量方程，则有：

A

Z-=Pi4-「2幺2+P'AI-Ai)+Gcos0=pQ(V2-Vx)

其中p'l为作用于旋涡区环形面积上的压强，由于在口截面上，主流部份

是缓变流，故假定在旋涡区的压强也服从流体静压强的分布规律，即近似认为

p'L，而GeosJ为I-II截面间流体的重力在流动方向的分量。且：

Gcos0-pgA2Lcos0-pgA2(Z}-Z2)

再将0=4%,代入动量方程，则方程简化为:

(Pl-Pl)A+PSA1(Z1-Z2)=PA2V2(^2~匕)

消去工2,再将上式两边除以0g，则有：

%(匕一匕)

------+Z1-Z2----------

Pgg

将上式代入例的表达式，则有：

匕匕.匕之一右(匕一匕)2⑺

h-=--------+4-------=--------(2)

gg2g2g

上式又称为包达定理。由上式可见，管道截面突然扩大的能量损失，等于

损失了以-%的速度水头。经实验验证，(2)式具有足够的准确性，若将

。=匕4=匕42代入⑵式，又可得到

AV2V2

力=。—刍)2力=?3

42gSi2g

或力=(连_1)2日=《日

J42g“2g

28

所以，管道截面突然扩大的局部损失系数为

令

即计算管道截面突然扩大的局部损失，有两个局部损失系数，计算时，注

意选用相对应的速度水头。

当液体从管道流入大容器中，或气体流入大气中时，々>>4即2=0,故

“2

1=1"=2,意味着管道出口的速度水头全部损失，这是管道截面突然扩大

2g

的特殊情况，称为出口损失系数。

二、弯管

弯管也是管路系统中的常用管件，弯管可引起另外一种典型的局部损失，

但弯管只改变流体的流动方向，不改变平均流速的大小。

弯管的局部阻力主要包括两部份：（1）旋涡损失；（2）二次流损失。下

面分别介绍。

1.旋涡损失

的地方，速度必然降低，反之，压强低的地方，速度必然加大。

因此如下图所示，流体进入变管以后，凹面，从A点开始，由直管进入弯

管，故压强上升，速度下降，直至B点压强上升到最大值，然后，沿流动方

向，压强下降，速度上升，直至到C点又进入直管道，压强与速度又恢复正

常。凸面，从A'点开始，压强下降，速度上升，直至到B'点，压强降到最小

29

值，然后，从B'点开始直至C'点为升压减速区，直至C'点又进入直管道，压强

与速度恢复正常。

由边界层理论可知，流体流过弯曲壁面时，在减速升压区，将会发生边界

层分离，形成旋涡。如图所示，AB、B'C'区域均是减速升压区，因此，在AB

与B'C’区域会产生旋涡，形成旋涡损失，旋涡损失的大小，取决于管子的弯曲

程度，管子弯曲得越厉害，因旋涡造成的能量损失就越大。

2.二次流损失

所谓二次流，即发生在垂直于流动的平面内的一种流动，前面我们已经说

明，弯管外侧的压强高于内侧的压强，如下图所示，B处的压强高于B'处的压

强，另一方面，弯管上下两侧（即EE'处）靠近壁面处由于流速较低，离心惯

性力较小，因而压强也较小，这样，就形成了弯管某一截面沿壁面自外向内的

压强降，即：____________

PB>PE>PB'

PB>PE'>PB'

结果形成了流体沿壁面自外侧向内侧的流动，同时，由于连续性以及离心

惯性的作用，B'处的流体则沿B'B线自内向外流动。这样，就在径向平面内形

成了二个环流，即二次流。这个二次流与主流迭加在一起，使通过弯管的流体

质点作螺旋结动，结果加大了通过管流体的能量损失。这个能量损失，则称为

二次流损失。

30

3.弯管的损失，主要就是旋涡损失与二次流损失，实验证明，弯管的曲率

半径R和管道内直径d之比火/"对弯管局部损失系数，影响很大。

三、绕流阀门

工程中，随着外界的需要或负荷的变化，管道中流体的流量要随之发生变

化。通常情况下，流量的调节主要靠装设在管路中的各种阀门，通过改变阀门

的开度来调节流量，即节流调节。用阀门调节流量迅速简单，然而，能量损失

却很大，这是因为，流体绕流阀门或闸板时，阀门或闸板前后，必然要形成旋

涡，如下图所示。而旋涡的产生与维持旋转，必然要消耗流体的能量，即所谓

节流损失。由于节流损失有时很大，所以，在可能的情况下，也可采用其它方

法调节管路流量，或将阀门全开，不用阀门调节，以减小绕流阀门的阻力。

----------1I-----------

二……yX”Z一

四、局部损失的计算

前面介绍了管路中三种典型的局部损失以及产生的原因，实际上，大多数

局部损失系数的确定主要靠实验，工程设计和计算时，可查阅有关流体阻力手

册。

五、减小局部损失的措施

我们知道，对于管内流动，流体的能量损失包括沿程损失和局部损失，即

%=£%+»、,对于细长的直管道和管道中管件较少的情况下,此时

为能量损失的主要部分；而对于大直径的管道和管道的走向较复杂，管件较多

的情况下，则Z4为能量损失的主要部分。例如火电厂锅炉中的烟风道，此时

为了减少能量损失，就应设法减少局部损失，而减少局部损失的关键就是防止

或推迟流体与壁面的分离，将管件的边壁加工得接近流线型，以避免旋涡区的

产生或减少旋涡区的大小和强度。下面分别予以介绍。

1.管道进口

31

尽量将管道的进口加工成圆滑的进口，实验证明，圆滑的进口可减少局部

d

4=0.03

在工程上不得不布置变管的情况下，应当采用合理

的弯曲半径H（火为弯管轴线的曲率半径），实验表

明，当时，局部损失系数。随£的减小而急剧增J.

加，而当£>3时，？值又随g的加大而增加。因此，/==1

最好取1-4。根据制造工艺，目前锅炉弯管的«>3.5,常采用"=4。对锅炉的

ad

烟风道而言，由于弯管的断面尺寸比较大，因此，只能采用较小的“，为减小

a

二次流损失，可在弯道内安装导流叶片，。这样既可以避免在弯管的内外侧产

生较大的旋涡区，又可减小二次流的范围。实验证明，弯管内装上流线型导流

叶片后，局部损失系数可由没装导流叶片的1.1降低到0.3左右。

3.三通

为减小流体流过三通的局部损失，可在总管中安装合流板与分流板，如下

图所示。或者尽可能地减小支管与合流管之间的夹角。如总管与支管的轴线之

间的夹角a应小于30,尽可能不与总管垂直联接。对不得不垂直联接的情况

下，应尽量将联接处的折角改缓，以尽可能减小三通的局部损失系数。总

之，减少局部损失的主要思想就是尽量将管件转角加工成圆角，使突然扩大和

突然缩小改变成逐渐扩大与逐渐缩小，并选择最佳的扩散角。并尽量使管件的

边壁接近流线型，以避免旋涡的产生。此外，近年来还有人在流体内部投入

极少量的添加剂，使其影响流体运动的内部结构来实现减阻。

33

§7—7管路计算

管路计算是工程设计与校核中经常遇到的一个问题，也是流体力学这门科

学应用于工程的一个重要方面。除了电厂的水、汽、风烟管道的设计需要进行

管路计算以外，其它工程领域，例如石油、化工、水利。城市自来水供应，以

及矿山通风，给排水，建筑等工程都会遇到管路计算的问题。

在介绍管路计算之前，有必要介绍一下长管与短管的概念。因为管路系统

的能量损失，包括沿程损失和局部损失两种，通常根据这两种能量损失在总能

量损失中所占比例的大小而将管道分为长管与短管。所谓长管即计算管路总能

量损失时，以沿程损失为主，速度水头与局部损失之和小于沿程损失的5%,即

i+y<

—^>5%

d

局部损失可忽略不计的管道。

所谓短管即局部损失和速度水头之和占总能量损失中相当大的一部分。计

算时，局部损失不能忽略的管道。例如，当

—^>5%

A-

d

时，则不能忽略局部损失。

为了计算方便，也可将局部损失折合成一段管道的长度，这个折合的管道

长度又称为当量管长，用心表示，相当于将管件的局部损失折合成管长为小的

管路上的沿程损失，即令

也七

d2g乙,2g

则当量管长：

/当=拉(1)

于是

34

K=分+Z%

=A-—

d2g

式中：

/一管路实际长度；

"一管路局部损失折合成的当量管长；

£=/+/当—管路的计算管长。

（2）式中，假定管径都相同。

从上述定义来看，长管与短管并不完全是一个儿何长短的概念，而是一个

阻力计算上的概念。一般情况下，也可近似分为：当［NIOOO时，按长管计算;

a

当工<1000时，按短管计算。

a