方法技巧专题练2-线段垂直平分线的四种常见应用

方法技巧专题练训练2线段垂直平分线的四种常见应用第十五章

轴对称图形与等腰三角形12341类型线段垂直平分线的性质在求线段长度中的应用1．(当涂期中)如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.，求△AEG的周长．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.同理：AG＝CG.∴△AEG的周长为AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.解：返回2类型线段垂直平分线的性质在求角中的应用2．(马鞍山一中期中)

如图①，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)如图②，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q.①若∠BAC＝130°，则∠PAQ＝________②若∠BAC＝α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为________；③当∠BAC＝________°时，能使得PA⊥AQ.(1)∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝130°－50°＝80°.(2)①80°②2α－180°③135解：返回3类型线段垂直平分线的性质在实际中的应用3．(马鞍山建中期中)如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄． (1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P，Q的位置(保留作图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上距离M，N两村都越来越近？在哪一段上距村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？(分别用文字表述你的结果，不必证明)(3)在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中AB上画出这一点(保留作图痕迹，不必证明)；如果不存在，请简要说明理由．解：(1)作法：过点M作AB的垂线，垂足为点P，点P即为所求；过点N作AB的垂线，垂足为点Q，点Q即为所求，如图．(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄都越来越近，在PQ上行驶时，离M越来越远，离N越来越近．(3)如图，连接MN，作MN的垂直平分线交AB于点H，点H与村庄M，N的距离相等．返回4类型线段垂直平分线的性质在判断两线位置,关系中的应用4．如图，OE，OF分别是AB，AC边的中垂线(即垂直平分线)，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．解：OI⊥BC.证明：连接AO，延长OI交BC于点M，如图所示．∵OE，OF分别为AB，AC的中垂线，∴OA＝OB，OA＝OC.∴OB＝OC.∵BI，CI分别为∠OBC，∠OCB的平分线，∴点I必在∠BOC的平分线上，∴∠BOI＝∠COI.在△BOM和△COM中，△BOM≌△COM(SAS)．∴∠BMO＝∠CMO.