广东省中山市五校2022-2023学年高二下学期期中数学试题（含解析）

中山市2022—2023学年第二学期五校联考高二数学试卷命题学校：东莞市第二高级中学命题人：一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在处的导数是()A.1 B. C.e D.2.从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是()A.9 B.10 C.20 D.253.二项式的展开式中含有项的系数为()A.60 B.50 C.40 D.304.已知随机变量，且，则=()A.1 B.2 C. D.5.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(-1，1) B. C.(-1，+∞) D.(-1，0)6.甲乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台，则条件概率=()A. B. C. D.7.若函数的图象在点处的切线方程为，则()A B. C. D.8.正态分布是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数在处取得最大值为，则()附：A.0.6827 B.0.84135 C.0.97725 D.0.9545二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则正整数x的值是()A.1 B.2 C.3 D.410.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是()x-10245f(x)13132A.函数在和上单调递减B.函数在的最小值为1C.函数的极大值点的个数为2D.若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是11.已知函数的定义域为，其导函数满足，且，则下列结论正确的是()A. B.C. D.12.已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表；则下列结论一定成立的是()X012PmnmA. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分，把答案填在答题卡中的横线上，13.若的二项展开式共有8项，则n=___________.14.函数在区间上的最大值是___________.15.对正在横行全球“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是________．16.函数的定义域为___________；若在[，a+1]上存在极值点，则a的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知展开式中前两项的二项式系数和为7.(1)求n的值；(2)求展开式中的常数项.18.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.(1)求取出3个球恰有一个红球的概率；(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.19.已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的极值.20已知函数(1)若函数的极值点，求a的值；(2)若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.21.高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“”模式，为了解学生选科情况，东莞某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人.(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；(2)以这300名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率.现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X，求X的分布列与数学期望.22.已知函数，函数．(1)求单调区间；(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围． 中山市2022—2023学年第二学期五校联考高二数学试卷命题学校：东莞市第二高级中学一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在处的导数是()A.1 B. C.e D.【答案】B【解析】【分析】对函数求导，根据导函数求处的导数.【详解】由题意，，故.故选：B2.从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是()A9 B.10 C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】利用排列、排列数的定义直接列式计算作答.【详解】从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是.故选：C3.二项式的展开式中含有项的系数为()A.60 B.50 C.40 D.30【答案】A【解析】【分析】根据二项式展开式通项确定项的系数.【详解】由展开式通项为，所以项的系数为.故选：A4.已知随机变量，且，则=()A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由期望的性质有，结合二项分布期望公式求参数，再由其方差公式求.【详解】由题设，，则，所以.故选：D5.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(-1，1) B. C.(-1，+∞) D.(-1，0)【答案】B【解析】【分析】问题转化为在上恒成立，求出，从而求出实数a的取值范围.【详解】，由题意得：，即在上恒成立，因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.故选：B6.甲乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台，则条件概率=()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用古典概型的概率求法求、，再由条件概率公式求.【详解】由题设，，，所以.故选：D7.若函数的图象在点处的切线方程为，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，利用导数几何意义可得出的值，再利用点为曲线与直线的公共点可求得实数的值.【详解】因为，则，则，即切线方程为，所以，，解得.故选：A.8.正态分布是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数在处取得最大值为，则()附：A.0.6827 B.0.84135 C.0.97725 D.0.9545【答案】B【解析】【分析】由题设有，根据正态分布的对称性及特殊区间的概率求.【详解】由题意知：，所以.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则正整数x的值是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】AB【解析】【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x的值【详解】由题意得：或，解得：或，经过检验，均符合题意.故选：AB10.定义在上函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是()x-10245f(x)13132A.函数在和上单调递减B.函数在的最小值为1C.函数的极大值点的个数为2D.若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用导函数图象得到原函数的增减性，极值与最值情况，从而作出判断.【详解】根据导函数图象可以看出在和上，所以在和上单调递减，A正确；在和上，所以在和上单调递增，结合，可知在的最小值为1，B正确；函数的极大值点为0与4，即极大值点的个数为2，C正确；若方程有3个不同的实数根，及与有三个不同的交点，则实数a的取值范围是，D错误.

故选：ABC11.已知函数的定义域为，其导函数满足，且，则下列结论正确的是()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后通过函数值判断选项的正误即可．【详解】解：函数的定义域为，设，则，因为，所以，函数减函数，，，所以，可得，所以不正确，B正确；，所以，故C正确．当，单调递减，所以，即，即，因为在上单调递增，所以，即，所以D正确．故选：BCD．12.已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表；则下列结论一定成立的是()X012PmnmA. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由分布列的性质有，结合基本不等式、期望公式、方差性质及与期望的关系判断各选项的正误.【详解】由题意，且，而，大小不确定，A错误；，B正确；，则，当且仅当时等号成立，C正确；由，所以，不一定小于1，D错误；故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分，把答案填在答题卡中的横线上，13.若的二项展开式共有8项，则n=___________.【答案】【解析】【分析】根据二项式的性质计算可得；【详解】解：二项式展开式中一共有项，所以，解得；故答案为：14.函数在区间上的最大值是___________.【答案】2【解析】【分析】根据导函数得到函数单调性，从而得到在端点处取得最大值，求出，比较得到最大值.【详解】，当时，，当时，，所以在或处取得最大值，又，，综上：在区间上的最大值为2故答案为：215.对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是________．【答案】74%【解析】【分析】根据题意，结合概率的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为且该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，所以这款新药对“新冠病毒”的总体有效率为.故答案为：.16.函数的定义域为___________；若在[，a+1]上存在极值点，则a的取值范围是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由对数函数的性质确定定义域，并求出其导函数，讨论区间单调性，进而确定极值点，根据已知求参数范围即可.【详解】由解析式知：定义域为，且，所以在上，即递减；在上，即递增；故的极小值点为，则，可得.故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知展开式中前两项的二项式系数和为7.(1)求n的值；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依题意可得，解得；(2)写出二项式展开式的通项，再令，求出，最后代入计算可得；【小问1详解】解：展开式前两项的二项式系数的和为，，解得；【小问2详解】解：展开式的通项，令，解得，展开式中的常数项为第项，即．18.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析.【解析】【分析】设出事件，利用超几何分布求概率公式进行求解；(2)写出随机变量X可能取值及相应的概率，求出分布列.【小问1详解】设取出的3个球恰有一个红球为事件A，则【小问2详解】随机变量X可能取值为0,1,2,，，，故X的分布列为：X012P19.已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的极值.【答案】(1)(2)的极小值为，无极大值.【解析】【分析】(1)求导，由导函数小于0求出单调递减区间；(2)求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.【小问1详解】，令，解得：，故函数的单调递减区间是【小问2详解】令得：故在单调递减，在单调递增，所以在处取得极小值，，所以的极小值为，无极大值.20.已知函数(1)若函数的极值点，求a的值；(2)若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.【答案】(1)1(2)证明过程见解析.【解析】【分析】(1)根据极值点列出方程，求出a的值，检验得到结论；(2)求导后，构造，证明出在恒成立，从而得到当时，.【小问1详解】定义域为，因为函数的极值点，所以，即，解得：，检验，当时，是函数的极小值点，满足要求，所以【小问2详解】，令，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故在恒成立，所以在恒成立.21.高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“”模式，为了解学生选科情况，东莞某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人.(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；(2)以这300名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率.现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】(1)根据古典概率求概率公式求解概率；(2)求出，从而求出分布列和数学期望.【小问1详解】设该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史