三棱锥小专题（解析卷）

三棱锥小专题一、几类特殊的三棱锥表面积、体积【例1】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1【答案】A【解析】三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).【变式一】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为BCA.2 B.1 C.12 D.16【答案】D【解析】因为DD1⊥面ADP，所以VD1【变式二】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A­A1BD的体积及高．【解】（1）V三棱锥A1­ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·A1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AB·AD·A1A＝eq\f(1,6)a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.（2）V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝eq\f(1,6)a3.设三棱锥A­A1BD的高为h， 则V三棱锥A­A1BD＝eq\f(1,3)·S△A1BD·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)（eq\r(2)a）2h＝eq\f(\r(3),6)a2h，故eq\f(\r(3),6)a2h＝eq\f(1,6)a3，解得h＝eq\f(\r(3),3)a.【变式三】.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，那么①石凳的体积是m3②则石凳的表面积为________.【解析】如图示，由题意知正方体的棱长为1/2m，则有∴这个石凳的体积为由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体，所以该几何体的表面积为：.故答案为：.【变式四】如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.【答案】【解析】解：设长方体的长、宽、高分别为，，，即，，．由长方体，得，，两两垂直，所以，于是．故剩下几何体的体积，因此，．【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式，其中根据长方体的结构特征分析出，，两两垂直，进而求出棱锥的体积是解答本题的关键．【变式五】如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.【例2】(多选)已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2eq\r(3)，则下列叙述正确的是()A．正三棱锥的高为3B．正三棱锥的斜高为eq\f(\r(39),2)C．正三棱锥的体积为eq\f(27\r(3),4)D．正三棱锥的侧面积为eq\f(9\r(39),4)【答案】ABD【解析】如图所示，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝eq\r(12－\f(9,4))＝eq\f(\r(39),2)，EF＝eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，故PE＝eq\r(\f(39,4)－\f(3,4))＝3，故A，B正确；正三棱锥的体积为eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),4)×9＝eq\f(9\r(3),4)，侧面积为3×eq\f(1,2)×3×eq\f(\r(39),2)＝eq\f(9\r(39),4)，故C错误，D正确．【例3】四面体的棱长均为，（1）求它的表面积．（2）求它的体积【变式一】已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，在正方体中，三棱锥符合题目条件，且三棱锥的四个侧面全为等边三角形，设正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，所以正方体的表面积为，，即三棱锥的表面积为，则三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为：．故选：B．【变式二】如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2【解析】如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为的等边三角形ABC的中心．AE=23AD，AD∴AE=23∴PE=P设圆柱底面半径为R，则2R=1∴圆柱的侧面积＝2πR•PE=23π

二、三棱锥与球【例1】已知三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，PA=PB=PC=23，BC=3，∠BAC=60°．则球OA．36π B．16π C．12π D．16【答案】B【解析】在△ABC中，BC=3，∠BAC=60°可得△ABC的外接圆半径2r=3如图所示，设P点在平面ABC内的投影的为D，则AD=r=3在Rt△PDA中，因为PD2+A设三棱锥P－ABC的外接球半径R，即OP=OA=R，OD=3－R，在△ODA中，由勾股定理得OD2+D故三棱锥P－ABC的外接球半径为2，根据球体的表面积公式S=4πR可得球O的表面积为S=4π×22=16π【点拨】由PA=PB=PC可知，点P在平面ABC的投影是三角形ABC外心，本题属于垂面模型中的第二种情况，按照基本套路解题难度不大，在一个直角三角形△ODA利用勾股定理便得到关于R的方程进而求出R.【变式一】已知三棱锥A－BCD的侧棱长为2eq\r(5)，底面是边长为2eq\r(3)的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为________．【答案】eq\f(125π,6)【解析】如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心，令O′A＝O′D＝R，OD＝eq\f(2,3)DE＝eq\f(2,3)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝2，AD＝2eq\r(5)，∴AO＝eq\r(AD2－OD2)＝4，∴OO′＝4－R，又OO′2＋OD2＝O′D2，∴(4－R)2＋4＝R2，解得R＝eq\f(5,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(125π,6).反思感悟找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等．正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点．【变式二】已知正三棱锥S－ABC的四个顶点都在球O的球面上，且球心O在三棱锥的内部，若该三棱锥的侧面积为73，BC=2，则球O的表面积为【答案】169π【解析】作SM⊥平面ABC，连结AM并延长交BC于点D，连结SD，正三棱雉外接球的球心O在高SM上，连结OA，∵S=12×2×SD×3=7正三角形ABC中，DM=3∴SM=S设SO=AO=R，△OAM中，R2=(4−R)则球O的表面积S=4πR【例2】已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，该球的表面积为.故选：C.【变式一】棱长为a的正四面体的内切球的表面积为.【解析】法一运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之.如图，设O是内切球的球心，由对称性可知，点O也是外接球的球心，设内切球的半径为r，外接球的半径为R，将正四面体放置正方体中，轻松求出R=64在等边∆BCD中，BE=a2∙sin60在Rt∆OEB中，法二连接OA、OB、OC、OD，将四棱锥分成四个小棱锥，正四面体的四个面面积相等，易知小棱锥的高是内切球的半径r，由V得1【点拨】①方法一中很好的利用了几何体的对称性，巧妙知道正四面体的外接球与内切球的球心重合；横截面很好包含了球心、外接球半径、内切球半径等内容;②方法二中可知等积法求内切球半径是个很好的方法，同时可知正四面体的高ℎ=4r(r为内切球半径)，这个结论在很多题目常用.③棱长为a的正四面体的高ℎ=3【变式二】将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个四面体的高的最小值为.【解析】法一(利用点线关系)由题意得，四个半径为1的小球的球心O1,O设点O、H分别是∆ABC、∆O2O设N、F分别为AB、O2在棱长为2的正四面体O1−O2O作O1M⊥PN，则由于∠∴PO所以PO=PO1法二(利用相似关系)由题意得，四个半径为1的小球的球心O1,O2,O3,O4恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器从内切球的角度看，k=OH(由等积法可知正四面体O1−O从外接球的角度看，有k=O所以PQ=OP+OQ=6法三(利用等体积法)如图，从O1点出发将三棱锥P−ABC分为四个小三棱锥O1−ABC,设正四面体的高是ℎ，四个球的球心连线组成的正四面体O1−O2从而1所以ℎ=2【点拨】解决多球相切问题，基本方法为三种：①抓住多球的堆垒放置规律；②抓住各球心位置，转化为多面体问题；③适当选择截面，转化为平面几何问题.【例3】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，eq\r(2)，eq\r(3)，则其外接球的表面积是________．答案6π解析根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，eq\r(2)，eq\r(3)的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球．设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝12＋(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝6.∴R2＝eq\f(3,2).故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.【变式一】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A－EFG外接球的表面积为eq\f(π,4)，则正方形ABCD的边长为________．答案eq\f(\r(6),6)解析由题意，折叠后的四面体A－EFG如图所示，设正方形边长为a，四面体A－EFG外接球的半径为r，则AG＝a，EG＝FG＝eq\f(a,2)，易知在折叠后的四面体A－EFG中，GA，GE，GF两两垂直，所以四面体A－EFG的外接球半径r＝eq\f(\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2),2)＝eq\f(\r(6),4)a，联立4πr2＝eq\f(π,4)，解得a＝eq\f(\r(6),6).【变式二】已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为______．安徽省六安市第一中学2021届高三下学期适应性考试理科数学试题【答案】【分析】利用所给数据易得三线垂直，进而利用长方体外接球直径为其体对角线长，再利用外接球的表面积公式即可得到答案．【详解】由AB＝1，AD＝，E为AD中点，可得PE＝，PB＝PC＝1，得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE为长方体一角，其外接球直径为其体对角线长，∴，∴，∴外接球表面积为4πR2＝，故答案为：．【点睛】本题考查长方体外接球问题，长方体外接球的直径为体对角线，考查推理和计算能力.【变式三】在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.2018年全国高中数学联赛四川省预赛【答案】【解析】三棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为又，从而，于是，的外接圆半径为故球心到面的距离为从而，点到面距离的最大值是故答案为：【例4】三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________．【答案】4eq\r(3)π【解析】因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径．设外接球的半径为R.∵VA－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BC×CD×AB＝eq\f(1,6)×2×CD×2＝eq\f(4,3)，∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3)，∴三棱锥A－BCD外接球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【变式一】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】16π【解析】取PC的中点O(图略)，∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，∴OA＝eq\f(1,2)PC，同理OB＝eq\f(1,2)PC，即OA＝OB＝OP＝OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，∴点O为外接球的球心，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝4，∴R＝eq\f(1,2)PC＝2，∴S球＝4πR2＝16π.【变式二】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵中，，，鳖臑的体积为2，则阳马外接球表面积的最小值为__________．【答案】【分析】根据“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”可知阳马外接球球心为的中点，且为外接球的直径.通过鳖臑的体积为2，求得堑堵的体积，设出的长，求得球的直径的表达式，进而求得球的表面积的表达式，再通过基本不等式求得表面积的最小值.【详解】由于“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，故可知阳马外接球球心为的中点，且为外接球的直径.鳖臑的体积为，故堑堵的体积为.设，依题意.而，故阳马外接球表面积为，由基本不等式得，即阳马外接球表面积的最小值为.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查棱柱中的椎体有关问题，考查几何体外接球表面积的最小值的求法，考查利用基本不等式求面积的最小值.解题的关键在于找到阳马外接球球心的位置，这个位置可根据“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，结合球心到球面上各点的距离相等来求得.【例5】在三棱锥S－ABC中，SA=BC=5，SB=AC=17，SC=AB=A．20π B．25π C．26π D．34π【解析】由题意可将该三棱锥放在长方体中，可得长方体的过同一个顶点的三个相邻的面的对角线分别为5，17，10，设长方体的长，宽，高分别为a,b,c,则a2+b设三棱锥外接球的半径为R，则2R2外接球的表面积S=4πR2=26π【点拨】对棱相等的三棱锥的外接球问题可通过构造长方体求解.

反馈练习1、正三棱锥的高为3，侧棱长为2eq\r(3)，则这个正三棱锥的体积为（）A.eq\f(27,4) B.eq\f(9,4)C.eq\f(27\r(3),4) D.eq\f(9\r(3),4)【答案】D.【解析】由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4).故选D.2、（2015•新课标Ⅱ，理6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A． B． C． D．【答案】D【解析】设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为，剩余部分体积为，截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选．3、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.4、在三棱锥中，面，，，，，则三棱锥的外接球表面积是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由面，，得到，由，，得到，由此可得三棱锥是长方体中的一个三棱锥，求长方体的外接球半径即可解决问题．【解析】因为面，所以，又，，解得：，又，，满足，所以.由此可得三棱锥是长方体中的一个几何体,如下图：长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的体对角线长就是外接球的直径，即，所以三棱锥的外接球表面积是：故选A【点睛】本题主要考查了球的表面积计算、转化思想，考查观察能力及计算能力、空间思维能力，属于基础题．5、（2015•新课标Ⅱ，理9文10）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选．6、已知四面体的外接球球心O恰好在棱AD上，且，，DC=，则这个四面体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，∴△ABC外接圆的直径为AC,球心O′为AC的中点∵球心O恰好在侧棱DA上,∴面，又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O为AD中点，所以AD//BC.即面，DC=，这个四面体的体积为.故选B.7、（2019•新课标Ⅱ，理16文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．【答案】26，．【解析】该半正多面体共有个面，设其棱长为，则，解得．8、如图，在三棱锥A－BCD中，BD⊥AD,BD⊥DC，BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，则三棱锥A－BCD【解析】由BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，BD⊥平面ADC∴AD=3，CD=22，AC=11，由勾股定理逆定理可知此时三棱锥中AD、BD、CD三直线两两垂直，可知如图，三棱锥A－BCD是长方体的一个角，外接球的直径是长方体的体对角线，所以三棱锥A－BCD外接球的半径为12所以外接球的体积V=4π【点拨】①三棱锥中存在三条两两垂直的棱，可构造长方体进行求解外接球问题;②求解过程中要注意利用解三角形的方法求解各线段长度及其它们的位置关系，例如利用勾股定理逆定理证明线线垂直.9、三棱锥A−BCD，其中AB=CD=5，AD=BC=7，【答案】55π【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，∴2a210、等腰三角形ABC腰长为3，底边BC长为4，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，此时四面体ABCD外接球表面积为____.【校级联考】安徽六校教育研究会2019届高三第一次素质测试理科数学试题【答案】【分析】，侧棱底面，底面是等边三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【详解】根据题意可知三棱锥，侧棱底面，底面是等边三角形，可将其扩展为直三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长分别为3，3