变化率问题课件 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题5.1导数的概念及其意义复习引入1、运动员的速度

h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11

(1)平均速度时间段[t0,t0+△t]内的平均速度(2)瞬时速度当t=t0时的瞬时速度平均速度的极限为瞬时速度复习引入2、什么叫直线与圆相切？如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.追问：如果一条直线与一条抛物线只有一个公共点，那么这条直线与这条抛物线相切吗？.F思考：对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？下面以抛物线f(x)=x2为例进行研究.问题2

抛物线的切线的斜率探究新知探究：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线？与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线，我们通常在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.xyOf(x)＝x2112234P0P(x，x2)问题2

抛物线的切线的斜率探究新知观察：如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1，1)时，割线P0P有什么变化趋势?

我们发现，当点P________________，割线P0P_____________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线．T无限趋近于一个确定的无限趋近于点P0时o12123xyP04P(x，x2)问题2

抛物线的切线的斜率探究新知探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率k0呢？

从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．记点P的横坐标x=1+Δx，则点P的坐标即为

(1+Δx，(1+Δx)2).于是割线P0P的斜率

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.=Δx+2∆x<0∆x>0∆xk=Δx+2∆xk=Δx+2观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当∆x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？发现：当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.-0.01-0.001-0.0001-0.00001-0.0000011.991.9991.99991.999991.9999990.010.0010.00010.000010.0000012.012.0012.00012.000012.000001

从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T

.

这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T

事实上，由

可以发现，当∆x在无限趋近于0时，Δx+2无限趋近于2，我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，

的极限”，记为探究新知问题2

抛物线的切线的斜率思考：(教材P61T2)你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线?试求抛物线f(x)=x2在点(－1，1)处切线的斜率.解：设P(x0，x02)，Q(x0+Δx，(x0+Δx)2).当Δx→0时，PQ所在直线为抛物线f(x)=x2在点(x0，x02)处的切线.抛物线f(x)=x2在点(－1，1)处切线的斜率为课后探究

观察在问题1中的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11图象，平均速度

的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢？平均速度

的几何意义：曲线过两点(1，h(1))，(1+Δt，h(1+Δt))的割线的斜率；瞬时速度v(1)的几何意义：曲线在点(1，h(1))处的切线的斜率.th1O•(1,h(1))•(1+∆t,h(1+∆t))典型例题1、已知函数

求抛物线在x＝1和x＝4处的切线斜率．解：抛物线在x＝1附近割线的斜率为=Δx+3所以抛物线在x＝1处的切线斜率为抛物线在x＝4附近割线的斜率为=2Δx+12所以抛物线在x＝4处的切线斜率为典型例题2、求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程．解：由=Δx可得切线的斜率为所以切线的方程为y－2=0×(x－1)，即y=2.方法归纳求抛物线y＝f(x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可．求抛物线在某点处的切线方程的步骤：巩固练习1、求抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率．解：令y＝f(x)，则抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率为而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，所以抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率为巩固练习2、