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文档简介
2023-2024学年四川省凉山木里中学高考仿真卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点作准线的垂线,垂足为.若,则()A. B. C. D.2.若,则的虚部是A.3 B. C. D.3.下列四个结论中正确的个数是(1)对于命题使得,则都有;(2)已知,则(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为;(4)“”是“”的充分不必要条件.A.1 B.2 C.3 D.44.设复数满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.6.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.47.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()A. B. C. D.8.已知变量的几组取值如下表:12347若与线性相关,且,则实数()A. B. C. D.9.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()A. B. C. D.10.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值11.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R12.已知,则()A.5 B. C.13 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在△ABC中,a=3,,B=2A,则cosA=_____.14.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均分为_______.15.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.16.已知,那么______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.①求;②当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.18.(12分)如图,在三棱柱中,、、分别是、、的中点.(1)证明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影为,求到平面的距离.19.(12分)已知,,为正数,且,证明:(1);(2).20.(12分)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)当x>0时,若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求实数a的取值范围.21.(12分)心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名,在极坐标系中,方程()表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在的直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与相交于、、三点,求线段的长.22.(10分)已知函数,其中为自然对数的底数,.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;(2)若,问函数有无极值点?若有,请求出极值点的个数;若没有,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
需结合抛物线第一定义和图形,得为等腰三角形,设准线与轴的交点为,过点作,再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出,,结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图,设准线与轴的交点为,过点作.由抛物线定义知,所以,,,,所以.故选:C【点睛】本题考查抛物线的几何性质,三角函数的性质,数形结合思想,转化与化归思想,属于中档题2、B【解析】
因为,所以的虚部是.故选B.3、C【解析】
由题意,(1)中,根据全称命题与存在性命题的关系,即可判定是正确的;(2)中,根据正态分布曲线的性质,即可判定是正确的;(3)中,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程,即可判定是正确;(4)中,基本不等式和充要条件的判定方法,即可判定.【详解】由题意,(1)中,根据全称命题与存在性命题的关系,可知命题使得,则都有,是错误的;(2)中,已知,正态分布曲线的性质,可知其对称轴的方程为,所以是正确的;(3)中,回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程,可得回归直线方程为是正确;(4)中,当时,可得成立,当时,只需满足,所以“”是“”成立的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用,其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质,以及基本不等式的应用等知识点的应用,逐项判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.4、A【解析】
由复数的除法运算可整理得到,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【详解】由得:,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解,涉及到复数的除法运算,属于基础题.5、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题6、B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.7、C【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知,ABD选项可以围成三棱柱,C选项不是三棱柱展开图.故选:C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断,属于基础题.8、B【解析】
求出,把坐标代入方程可求得.【详解】据题意,得,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值.9、B【解析】
根据抛物线定义得,即可解得结果.【详解】因为,所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义,考查基本分析求解能力,属基础题.10、D【解析】
A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.11、D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算12、C【解析】
先化简复数,再求,最后求即可.【详解】解:,,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解.【详解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用,属于基础题.14、1【解析】
写出茎叶图对应的所有的数,去掉最高分,最低分,再求平均分.【详解】解:所有的数为:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数,去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数,平均分为,故答案为1.【点睛】本题考查茎叶图及平均数的计算,属于基础题.15、【解析】
设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】解:由已知,的三边长,,成等差数列,设,,,而,根据勾股定理有:,解得:,由椭圆定义知:的周长为,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴离心率.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.16、【解析】
由已知利用诱导公式可求,进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【详解】∵,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)分布列见解析,数学期望为6;(2)①;②证明见解析【解析】
(1)变量的所有可能取值为4,5,6,7,8,分别求出对应的概率,进而可求出变量的分布列和数学期望;(2)①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,分别求出两种情况的概率,进而可求得;②得分分两种情况,第一种为得分后抛掷一次正面向上,第二种为得分后抛掷一次反面向上,可知当且时,,结合,可推出,从而可证明数列为常数列;结合,可推出,进而可证明数列为等比数列.【详解】(1)变量的所有可能取值为4,5,6,7,8.每次抛掷一次硬币,正面向上的概率为,反面向上的概率也为,则,.所以变量的分布列为:45678故变量的数学期望为.(2)①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,概率的和为.②得分分两种情况,第一种为得分后抛掷一次正面向上,第二种为得分后抛掷一次反面向上,故且时,有,则时,,所以,故数列为常数列;又,,所以数列为等比数列.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望,考查常数列及等比数列的证明,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于中档题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)连接,连接、交于点,并连接,则点为的中点,利用中位线的性质得出,,利用空间平行线的传递性可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)推导出平面,并计算出,由此可得出到平面的距离为,即可得解.【详解】(1)连接,连接、交于点,并连接,则点为的中点,、分别为、的中点,则,同理可得,.平面,平面,因此,平面;(2)由于在底面的投影为,平面,平面,,为正三角形,且为的中点,,,平面,且,因此,到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了点到平面距离的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1)利用均值不等式即可求证;(2)利用,结合,即可证明.【详解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式,涉及的妙用,属综合性中档题.20、(Ⅰ);(Ⅱ)。【解析】
(Ⅰ)分类讨论,去掉绝对值,求得原绝对值不等式的解集;(Ⅱ)由条件利用基本不等式求得,,再由,求得的范围.【详解】(Ⅰ)当时,原不等式可化为,此时不成立;当时,原不等式可化为,解得,即;当时,原不等式可化为,解得.综上,原不等式的解集是.(Ⅱ)因为,当且仅当时等号成立,所以.当时,,所以.所以,解得,故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及转化与化归思想,难度一般;常见的绝对值不等式的解法,法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.21、(1)();(2).【解析】
(1)化简得到直线方程为,再利用极坐标公式计算得到答案.(2)联立方程计算得到,,计算得到答案.【详解】(1)由消得,即,是过原点且倾斜角为的直线,∴的极坐标方程为().(2)由得
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