浙江省温州十校联合体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）

2022学年第二学期温州十校联合体期中联考高一年级数学学科试题考生须知:1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B=()A. B. C. D.2.复数的共轭复数是()A. B. C. D.3.如图，是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的A直观图，是的中点，且轴，轴，，那么()A. B.C D.4.已知两个非零向量，的夹角为，且，则()A.3 B. C.2 D.5.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为()A. B. C. D.6.将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，则的值为()A. B. C. D.7.已知向量，均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为()A. B. C. D.48.已知，，，则()A. B.C. D.二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分.共20分，在每小题的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设数，则下列关于复数的说法正确的是()A. B.C D.10.下列各式的值为1的是()A. B.C. D.11.已知直线与b异面，则()A.存在无数个平面与，b都平行B.存在唯一的平面，使，b与都相交C.存在唯一的平面，使，且b∥D.存在平面，β，使，，且∥β12.设函数，已知在有且仅有个零点．下述四个结论中正确的是()A.在有且仅有个最大值点B.在有且仅有个最小值点C.在单调递增D.的取值范围是非选择题部分三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.是平面内两个不共线向量，且，，若，则实数k＝________.14.已知点，，，，则向量在方向上的投影向量为__________.15.已知，复数，，且，若，则的最小值为__________.16.在中，若，，则的周长的最大值为__________.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:复数，其中为虚数单位.(1)求及；(2)若，求实数a，b的值.18.已知函数.(1)求最小正周期和对称轴；(2)当时，求函数的最小值和最大值.19.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求点A到面的距离；(2)若为等腰直角三角形，且，求三棱锥内切球表面积．20.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知.(1)求A；(2)设，当的值最大时，求△ABC的面积.21.如图，我市有一条从正南方向OA通过市中心O后向北偏东的OB方向的公路，现要修建一条地铁L，在OA、OB上各设一站A，B，地铁线在AB部分为直线段，现要求市中心O到AB的距离为6km，(1)若OA＝10km，求O，B之间的距离；(2)求A，B之间距离最小值.22.如图，在正六边形中，，为上一点，且交于点(1)当时，试用表示；(2)求取值范围．

2022学年第二学期温州十校联合体期中联考高一年级数学学科试题考生须知:1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B=()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用余弦定理计算可得.【详解】由余弦定理，又，所以，所以，因为，所以.故选：D.2.复数的共轭复数是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为，故选：B3.如图，是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的A直观图，是的中点，且轴，轴，，那么()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，然后逐项判断即可.【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示：其中，，，因为△ADC是直角三角形，AD＜AC，选项A错误；原平面图形的面积为，选项B正确；，选项C错误；Rt△ABD中，AD＝4BD，且AD⊥BD，，所以，选项D错误．故选：B．4.已知两个非零向量，夹角为，且，则()A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合数量积的运算律可推得.进而根据数量积的运算律求出，，即可得出答案.【详解】由已知可得，即，所以，.所以，，，所以，.故选：B.5.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得出圆台的半径以及母线长，将圆台还原为圆锥，根据相似关系得出.进而根据圆锥的侧面展开图，即可求出答案.【详解】由已知可得，圆台的母线长为8，下底面圆的半径为1，上底面圆的半径为3，将圆台补成圆锥，如图1所示：则羽毛所在曲面的面积为大､小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长，则大圆锥母线长为，由相似得，解得.将该圆锥展开得到扇形如图2则小圆锥的半径，的长为，所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为.故选：C.6.将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，则的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，根据角的范围，可知.然后根据三角函数的定义得出角的三角函数值.进而根据诱导公式，以及两角差的余弦公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，解得.因为锐角，则，所以.根据三角函数的定义可得，，，所以.故选：A.7.已知向量，均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为()A. B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意可设，，利用向量的坐标运算结合辅助角公式运算求解.【详解】因为向量，均为单位向量，且，可设，又因为，设，则，可得，因为，则，当且仅当，即时，的最大值为4.故选：D.8.已知，，，则()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先设，，利用导数得到在单调递增，再根据即可得到；设，利用导数得到在单调递增，得到，从而得到，即可得到答案.【详解】设，.则，设，.，所以在单调递增，.所以，即在单调递增，所以，即，即，则.设，，，所以在单调递增，，即，所以，得，即，即，所以.故选：A．二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分.共20分，在每小题的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设数，则下列关于复数的说法正确的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意求得，结合复数的运算以及相关概念逐项分析判断.【详解】因为，对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B错误；对于选项C、D：因为，所以，故C正确，D错误；故选：AC.10.下列各式的值为1的是()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据两角和的正切公式即可判断AD；根据两角差的正弦公式即可判断B，根据二倍角的余弦公式即可判断C.【详解】对于A，，故A不符题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，故C不符题意；对于D，因为，所以，所以，故D符合题意.故选：BD.11已知直线与b异面，则()A.存在无数个平面与，b都平行B.存在唯一的平面，使，b与都相交C.存在唯一的平面，使，且b∥D.存在平面，β，使，，且∥β【答案】ACD【解析】【分析】利用直线与平面关系对各选项逐一判断即可.【详解】对于选项A：将异面直线，b通过平移到同一平面α内，则存在无数个与平面α平行的平面与，b都平行，A正确；对于选项B：必存在与两异面直线，b均相交的平面，而与此平面平行的平面有无穷多个，B错误；对于选项C：因为，b是异面直线，平移直线b与直线a相交，确定一个平面平行于直线b，所以过直线a有且仅有一个平面α与直线b平行，C正确；对于选项D：存在平面，满足，//，存在直线//，通过平移直线l与直线b相交，，所以由面面平行的判定定理可知∥β，D正确；故选：ACD.12.设函数，已知在有且仅有个零点．下述四个结论中正确的是()A.在有且仅有个最大值点B.在有且仅有个最小值点C.在单调递增D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】作出的图像,进而得,即,解得,进而可判断D选项,A,B可结合图像判断.【详解】作出的图像,如图，根据题意知，，根据图象可知函数在有且仅有3个最大值点，所以A正确；但可能会有3个最小值点，所以B错误；根据，有，得，所以D正确；当时，，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以正确.故选：.非选择题部分三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.是平面内两个不共线的向量，且，，若，则实数k＝________.【答案】±【解析】【分析】根据向量共线定理可知成立，列出方程组，即可得出答案.【详解】因为，所以，使得成立，即.因不共线，所以，解得.故答案为：.14.已知点，，，，则向量在方向上的投影向量为__________.【答案】【解析】【分析】先求得向量、的坐标，再根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】，，所以，，所以向量在方向上的投影向量为.故答案为：.15.已知，复数，，且，若，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据得，再利用配方法可得答案.【详解】复数，所以，所以，因为，所以当时，.故答案为：.16.在中，若，，则的周长的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据已知切化弦，整理可得.由正弦定理角化边，整理可得.然后即可根据角的范围得出答案.【详解】由可得，两边同乘得，.两边同加得，，即.又，则.设角，，对应的边分别为，，，且，由正弦定理角化边可得.所以，时，取得最大值，此时周长最大值为.故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:复数，其中为虚数单位.(1)求及；(2)若，求实数a，b的值.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)根据复数的乘法和除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可；(2)先根据复数的四则运算化简左边，再根据复数相等的定义即可得解.【小问1详解】，；【小问2详解】，得:，解得.18.已知函数.(1)求最小正周期和对称轴；(2)当时，求函数的最小值和最大值.【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换可得函数解析式，再根据三角函数的性质求解；(2)根据三角函数的性质即可求给定区间的值域可得答案.【小问1详解】，令，可得，∴，对称轴为；【小问2详解】，则，∴，∴，.19.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求点A到面的距离；(2)若为等腰直角三角形，且，求三棱锥内切球的表面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用等体积法求解；(2)设内切球的半径为r，利用等体积法求解.【小问1详解】设点到面的距离为h，∵，，∴.【小问2详解】设，则，解得，∴，∵平面，平面，∴，,设内切球的半径为r，由体积关系可得：，即，可得:.所以三棱锥内切球的表面积.20.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知.(1)求A；(2)设，当的值最大时，求△ABC的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算；(2)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简得，进而分析最值，运算求解即可【小问1详解】因为，即，可得，整理得，且，则，可得，且，则，所以，解得.【小问2详解】由正弦定理可知:，则，可得