2023-2024学年山东省大联考高二下学期3月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（）A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度【答案】D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.2．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导数的运算法则即可判断各选项.【详解】对于A，，A错；对于B，，B错；对于C，，C错；对于D，，D对.故选：D3．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B4．函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对求导后，解不等式即可.【详解】因为(),所以,令,解得：,故函数()的单调增区间是.故选：B.5．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.【详解】因为，，，所以构造函数，因为，由有：，由有：，所以在上单调递减，因为，，,因为，所以，故A，B，D错误.故选：C.6．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（

）A．20天 B．30天 C．45天 D．60天【答案】D【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果.【详解】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，所以，即，所以，解得.故选：D.7．若点不在函数的图像上，且过点P有三条直线与的图像相切，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果.【详解】点不在函数的图像上，则，即，设过点的直线与的图像相切于，则切线的斜率，整理可得，则问题可转化为有三个零点，且，令，可得或，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，即当时，有极大值，当时，有极小值，要使有三个零点，则，即，解得，所以实数m的取值范围为.故选：A8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（

）①当时，

②函数有3个零点③的解集为④，都有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】对于①，设，则，然后代入已知函数中结合奇函数化简可得答案，对于②，分情况解方程求解，对于③，直接解不等式即可，对于④，分和分别对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调性，再求出函数的值域，然后分析判断.【详解】对于①，当时，，则，因为为奇函数，所以，所以，所以，所以①错误，对于②，因为是定义在上的奇函数，所以，当时，由，得，当时，由，得，所以函数有3个零点，所以②正确，对于③，当时，由，得，得，当时，由，得，得，所以，综上，或，所以的解集为，所以③正确，对于④，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，且当时，，当时，，所以当时，由，得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最大值，当时，，当时，，所以，所以的值域为，所以，都有，所以④正确，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性，考查函数与方程，考查导数的应用，解题的关键是根据函数为奇函数和时的解析式，求出时的解析式，考查计算能力，属于较难题.二、多选题9．下列复合函数的导数计算正确的有（

）A．若函数，则B．若函数，则C．若函数，则D．若函数，则【答案】ABD【分析】根据题意，结合复合函数的求导法则，准确计算，即可求解.【详解】对于A中，由函数，可得，所以A正确；对于B中，由函数，可得，所以B正确；对于C中，由函数，可得，所以C错误；对于D中，由函数，可得，所以D正确．故选：ABD.10．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（

）A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点【答案】BCD【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，举反例判断即可.【详解】对AB，设的根为，且，则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，所以函数在区间内有极小值，当时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；对C，函数在区间内有极大值，所以C正确；对D，当时，函数在内没有零点，所以D正确．故选：BCD．11．已知函数，，是其导函数，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由题设得，构造并应用导数研究单调性，【详解】因为，所以，又，所以，构造函数，，则，所以在上为增函数，因为，所以，即，即，故A正确；因为，所以，即，故，故B错误；因为，所以，即，故，故C错误；因为，所以，即，故，故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：将已知条件转化为，进而构造研究单调性为关键.三、填空题12．若，则【答案】【分析】由导数的运算法则与赋值法求解，【详解】，令，得，故答案为：13．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】分类，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解可得.【详解】当时，，此时在R上单调递增，无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数存在极小值点，依题意，，解得，所以，实数a的取值范围是．故答案为：14．已知，则使恒成立的的范围是．【答案】【分析】根据给定条件，构造函数，再求出函数的最大值作答.【详解】因，令，，依题意，，当时，，求导得，当时，，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，求导得，在上单调递减，，于是得函数在上单调递减，，因此，则，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.四、解答题15．求下列函数的导数．（1）（为常数）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用导数运算法则可求得原函数的导数;（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数【详解】（1）由可得；（2）由可得16．已知函数f(x)＝x2＋alnx．(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上单调，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间．（2）在上的函数值恒为非负或恒为非正，分类讨论，分别分离参数，进而可得答案．【详解】（1）函数的定义域是，时，，当时，，的单调递减区间是，∴的单调递减区间是；（2），，由题意当时，恒成立，或恒成立．若，则恒成立，当时，，即的最大值为0，∴；若，，当时，无最小值，∴不可能恒成立；综上．17．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．

(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．【答案】(1)，定义域为(2)当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π万元，此时l＝m【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式即可得与关系，根据题意建立与的函数关系；（2）求函数的导数，判断函数的单调性，即可求出函数的最小值．【详解】（1）由题意可知，，∴，又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，所以，又，，所以定义域为.（2）因为，所以令，得，令，得，又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.18．已知函数．(1)若，求曲线的斜率等于3的切线方程；(2)若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出导函数，令求得切点坐标后可得切线方程；（2）求导函数，利用导数求出函数的单调区间，得到函数的极值点，依题意结合零点存在定理，列出不等式求解即可.【详解】（1）当时，，，则，设切点为，则，解得或（舍），∴，故切点为，∴所求切线方程为，即．（2），令，得，①当，即时，在上，∴在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；②当，即时，在上，递减；在上，递增，则在时取得极小值，结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点，则，得．∴综上的取值范围是．19．已知定义在上的函数和.(1)求证：；(2)设在存在极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）记，利用导数求出的最小值可得答案；（2）转化为有正的实数根，即方程有正的实数根，令，进而等价于有正的实数根，令，，即可求导分类讨论求解.【详解】（1）记()，所以，因此在上单调递减，故，故；（2），则，由于在存在极值点，所以有正的实数根，即方程有正的实数根，令，则，且，故变形为，进而等价于有正的实数根，令，，则，令，则，当时，则，所以在单调递增，故，进而，此时在单调递增，故，此