2023-2024学年人教A版必修第二册 第六章　平面向量及其应用 学案

第六章平面向量及其应用一、数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.在本章中主要表现为理解向量的基本概念.培优一平面向量的基本概念【例1】（1）（多选）下列命题正确的是（）A.a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λaB.e为单位向量，且a∥e，则a＝±｜a｜eC.｜a·a·a｜＝｜a｜3D.若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c（2）若向量a＝（x，2），b＝（2，3），c＝（2，－4），且a∥c，则a在b上的投影向量为（）A.－813,-C.813，1213 解析（1）若a为零向量，则A不成立.根据向量数量积的概念可知D错误.易知B、C正确.（2）因为a＝（x，2），c＝（2，－4），且a∥c，所以－4x＝4，解得x＝－1.所以a＝（－1，2），所以a在b上的投影向量为a·b｜b｜2b＝－1×2+2×313（2，3）答案（1）BC（2）C二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中.培优二平面向量的线性运算【例2】（1）图，在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ的值为（）A.43B.C.158 （2）如图，四边形OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形.又BM＝13BC，CN＝13CD，则用a，b表示MN＝（A.16a＋56b B.23（aC.12a－16b D.12a解析（1）以A为坐标原点建立平面直角坐标系（图略），设正方形边长为1，则AC＝（1，1），AM＝1，12，BD＝（－1，1），故1＝λ－μ，1＝12λ＋μ，解得λ＝43，μ＝13，∴λ＋（2）∵四边形OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，BM＝13BC，CN＝13CD，∴MN＝ON－OM＝OC＋13OC－OB－16BA＝23（OA＋OB）－OB－16（OA－OB）＝12OA－答案（1）B（2）C培优三平面向量的数量积运算【例3】（1）已知平面向量a，b的夹角为π3，且｜a｜＝1，b＝（－1，3），则｜a－2b｜＝（A.5 B.4C.13 D.23（2）在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，AB·AD＝－1，点M在边CD上，则MA·MB的最大值为.

解析（1）因为平面向量a，b的夹角为π3，且｜a｜＝1，b＝（－1，3），所以｜b｜＝1+3＝2，a·b＝1×2cosπ3＝1，所以｜a－2b｜＝（a－2b）2＝（2）因为AB·AD＝－1，AB＝2，AD＝1，所以｜AB｜·｜AD｜·cos∠BAD＝－1，所以2cos∠BAD＝－1，cos∠BAD＝－12，所以∠BAD＝120°.以点A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），设Mx，32，x∈－12，32，所以MA＝（－x，－32），MB＝2－x,-32，则MA·MB＝x（x－2）＋34＝（x－1）2－14，令f（x）＝（x－1）2－14，x∈－12，32，答案（1）C（2）2培优四利用正弦定理、余弦定理解三角形【例4】已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2a－c）cosB＝bcosC.（1）求B的大小；（2）如图，AB＝AC，在直线AC的右侧取点D，使得AD＝2CD＝4.当角D为何值时，四边形ABCD面积最大.解（1）由正弦定理知，asinA＝bsin∵（2a－c）cosB＝bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin（B＋C）＝sinA，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosB＝12，∵B∈（0，π），∴B＝π（2）由（1）知，B＝π3，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形在△ACD中，由余弦定理知，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝16＋4－2×4×2cosD＝20－16cosD，而S△ACD＝12AD·CDsinD＝12×4×2sinD＝4sinS△ABC＝12AB·BCsinB＝12AC2·sinπ3＝53－43∴四边形ABCD的面积S＝S△ACD＋S△ABC＝53－43cosD＋4sinD＝53＋8sinD－∵D∈（0，π），∴D－π3∈－π3，2π3，当D－π3＝π2，即D＝5π故当D＝5π6时四边形ABCD三、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中.培优五平面向量的应用【例5】（1）O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所在平面内的一动点，若（PB－PC）·（OB＋OC）＝（PC－PA）·（OA＋OC）＝0，则O为△ABC的（）A.内心 B.外心C.重心 D.垂心（2）在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是.

解析（1）由（PB－PC）·（OB＋OC）＝0，知CB·2OD＝0（其中D为CB的中点），所以O在BC的垂直平分线上.同理，O在AC的垂直平分线上，故O为△ABC的外心.（2）由已知得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.因为点E在线段CD上，所以DE＝λDC（0≤λ≤1）.因为AE＝AD＋DE＝AD＋λDC＝AD＋λ2AB，又AE＝AD＋μAB，所以μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ答案（1）B（2）［0，12培优六判定三角形的形状【例6】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sinB·sinC＝sin2A，则△ABC的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形解析由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝π3，又由sinB·sinC＝sin2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以（b－c）2＝0，即b＝c，所以△ABC为一个内角为π3的等腰三角形，答案C四、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中主要表现在利用正弦、余弦定理解决实际问题中.培优七余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用【例7】测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86m.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为452m，测得∠MBA＝θ，∠MAB＝5π6