2023-2024学年人教A版必修第二册 10-2　事件的相互独立性 学案

10.2事件的相互独立性新课程标准解读核心素养1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义数学抽象2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率数学运算3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.问题（1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？（2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？

知识点事件的相互独立性1.相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.2.相互独立事件的性质当事件A，B相互独立时，事件A与事件B相互独立，事件A与事件B相互独立，事件A与事件B相互独立.提醒两个事件独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.1.已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（AB）＝（）A.0.9B.0.12C.0.18D.0.7解析：C因为P（B）＝0.4，所以P（B）＝1－P（B）＝0.6，又A，B是相互独立事件，且P（A）＝0.3，所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.3×0.6＝0.18.故选C.2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（A.34 B.23 C.57解析：D根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×1－34＋34×13.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为.

解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.答案：0.56题型一相互独立事件的判断【例1】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立解析事件甲发生的概率P（甲）＝16，事件乙发生的概率P（乙）＝16，事件丙发生的概率P（丙）＝536，事件丁发生的概率P（丁）＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C答案B通性通法两个事件是否相互独立的判断（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；（2）定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（）A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥解析：A同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.题型二相互独立事件概率的计算【例2】甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，（1）两人都译出密码的概率；（2）求至少1人译出密码的概率；（3）恰有1人译出密码的概率.解记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P（A）＝13，P（B）＝1（1）两个人都译出密码的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝13×14＝（2）“至少有1人译出密码”的对立事件为“两人都未译出密码”，所以至少有1人译出密码的概率为1－P（AB）＝1－P（A）P（B）＝1－23×34（3）恰有1人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1人译出密码的概率为P（AB∪AB）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝13×1－14＋1－（变设问）若本例条件不变，求至多1人译出密码的概率.解：“至多1人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，所以至多1人译出密码的概率为1－P（AB）＝1－P（A）P（B）＝1－13×14＝通性通法求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的；（2）确定这些事件可以同时发生；（3）求出每个事件的概率，再求积.1.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为（）A.120 B.1516C.35解析：C设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P（M）＝160200＝45，P（N）＝180240＝34，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝452.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题是否回答正确相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.

解析：若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，因为每个问题回答是否正确相互独立，故所求概率为1×0.2×0.8×0.8＝0.128.答案：0.128题型三概率的综合问题【例3】有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对上一场的上一场中的败者，若某队连胜四场，则比赛结束，求：（1）第四场结束比赛的概率；（2）第五场结束比赛的概率.解（1）因为甲连胜四场的概率P1＝0.4×0.3×0.4×0.3＝0.0144，乙连胜四场的概率P2＝0.6×0.5×0.6×0.5＝0.09，所以第四场结束比赛的概率P＝P1＋P2＝0.0144＋0.09＝0.1044.（2）第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能.甲胜第一场，丙连胜四场的概率P3＝0.4×0.7×0.5×0.7×0.5＝0.049，乙胜第一场，丙连胜四场的概率P4＝0.6×0.5×0.7×0.5×0.7＝0.0735，所以第五场结束比赛的概率P5＝P3＋P4＝0.1225.通性通法求较复杂事件的概率的方法（1）列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；（2）厘清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.1.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为（A.316 B.C.1316 D.解析：C记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的概率为P（C）P（D）[1－P（AB）]＝12×12×（1－12×12）＝316，所以灯亮的概率为1－32.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为.

解析：设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件A为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件B为“取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件A与B相互独立，∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB∪AB）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝23×12＋13答案：11.若P（AB）＝16，P（A）＝13，P（B）＝14，则事件A与B的关系是A.互斥 B.相互独立C.互为对立 D.无法判断解析：B因为P（A）＝13，所以P（A）＝23，又P（B）＝14，所以事件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝16，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B2.甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（）A.0.3 B.0.63C.0.7 D.0.9解析：B设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B.3.一台机床有13的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为310，加工零件B时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为A.1130B.730 C.710解析：A由题意知，加工零件A停机的概率是13×310＝110，加工零件B停机的概率是23×25＝415，即这台机床停机的概率是1104.（多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为13，乙成功的概率为12，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为35.则A.甲、乙都研发成功的概率为1B.疫苗A研发成功的概率为5C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为2D.仅有一款疫苗研发成功的概率为7解析：ACD用A，B，C分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，则：A.根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝16；B.由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（AB）＝23；C.两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝25；D.所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝715.故选5.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是.

解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B）＝12，所以淋雨的可能性为P（A）P（B）＝12×12答案：1互斥与独立事件关系的判断1.互斥事件与独立事件的区别与联系从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响（比如A发生，B就一定不发生了）；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生.简单的说就是互斥必相互影响，独立必相容.2.互斥事件与独立事件的运算性质已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有事件表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互独立）A，B中至少有一个发生P（A∪B）P（A）＋P（B）1－P（A）P（B）或P（A）＋P（B）－P（AB）A，B都发生P（AB）0P（A）P（B）A，B都不发生P（AB1－[P（A）＋P（B）]P（A）P（B）A，B恰有一个发生P（AB∪AB）P（A）＋P（B）P（A）P（B）＋P（A）P（B）A，B中至多有一个发生P（AB∪AB∪AB11－P（A）P（B）【例1】某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解（1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得：P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，记为A，根据对立事件的概率公式，得P（A）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.【例2】甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）两人都射中的概率；（2）两人中恰有一人射中的概率；（3）两人中至少有一人射中的概率.解设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.事件A与B是相互独立的.（1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，（2）两人中恰有一人射中的概率为P（AB）＋P（AB）＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9＝0.26.（3）两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有射中的概率，∴所求的概率等于1－P（AB）＝1－P（A）·P（B）＝1－0.2×某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的