2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3　第一课时　余弦定理 学案

6.4.3余弦定理、正弦定理新课程标准解读核心素养1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系逻辑推理2.掌握余弦定理、正弦定理数学运算3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题数学建模第一课时余弦定理利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角.问题例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？

知识点一余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC推论cosA＝b2＋c2－a22bc，知识点二解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＜c2，则△ABC是（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形解析：D因为a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cosC＝a2＋b2－c22ab＜0，又由C∈（0，π），所以C∈（π2，2.在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c＝（）A.39 B.83C.102 D.73解析：D由余弦定理得：c＝92＋（23）2－3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝.

解析：由余弦定理的推论，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝1+3－72×1×3＝－3答案：150°题型一已知两边及一角解三角形【例1】（1）在△ABC中，已知b＝60cm，c＝603cm，A＝π6，则a＝cm（2）在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝.解析（1）由余弦定理得：a＝6＝4×602－3（2）由余弦定理得：（5）2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或答案（1）60（2）4或5通性通法已知两边及一角解三角形的两种情况（1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解；（2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A＋B）＝13，则c＝（A.4B.15C.3 D.17解析：DcosC＝－cos（A＋B）＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×（－13）＝17，所以c＝17.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝503，c＝150，B＝30°，则a＝.

解析：在△ABC中，b＝503，c＝150，B＝30°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，（503）2＝a2＋1502－2×150×32a，a2－1503a＋15000＝0，（a－1003）（a－503）＝0，解得a＝1003或a＝503答案：1003或503题型二已知三角形的三边解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C的大小.解由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－∵A∈（0，π），∴A＝π6cosC＝a＝（26）∵C∈（0，π），∴C＝π4∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝∴A＝π6，B＝7π12，C通性通法已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－2bc，则A＝（）A.135° B.60°或120°C.45° D.135°或45°解析：Ca2－b2＝c2－2bc，由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝22.在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶6∶（3＋1），求各内角的度数.解：由a∶b∶c＝2∶6∶（3＋1），令a＝2k，b＝6k，c＝（3＋1）k（k＞0）.由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6+cosB＝a2＋c2－b22ac＝4+∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.题型三判断三角形的形状【例3】（1）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab且2cosAsinB＝sinC，试判断三角形的形状；（2）在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，试判断该三角形的形状.解（1）∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin（A＋B）.∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin（A－B）＝0.∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B.又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝12∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形.（2）由acosB＋acosC＝b＋c，结合余弦定理得a·a2＋c2－b22ac＋a·a2＋b2－c22ab＝b＋c，即a2＋c2－b22∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.通性通法判断三角形形状的方法（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2；④若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝π2在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形解析：D在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则该三角形的第三条边长为（A.52 B.213C.16 D.4解析：B设第三条边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×（－35）＝52，∴x＝2132.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，c＝37，则△ABC的最大内角为（）A.120°B.90° C.150°D.60°解析：A∵c＞a，c＞b，∴角C最大.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°.故选3.在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则边长b＝（）A.5 B.8C.5或－8 D.－5或8解析：B由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即49＝9