2023-2024学年人教A版必修第二册 6-2-4　第一课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 学案

6.2.4向量的数量积新课程标准解读核心素养1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积数学抽象2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系逻辑推理第一课时向量数量积的概念、运算及投影向量我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cosθ.问题（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由.

知识点一向量的夹角1.夹角：已知两个非零向量a，b（如图），O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是0≤θ≤π.当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是π2，则称a与b垂直，记作a⊥b提醒（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；（2）两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为0，知识点二两个向量的数量积1.定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.提醒（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.2.性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：（1）a·e＝e·a＝｜a｜cosθ；（2）a⊥b⇔a·b＝0；（3）当a∥b时，a·b＝｜a||b|,a与b同向，-|a||b|,a与b反向.（4）a·b≤｜a｜｜b｜；（5）cosθ＝a·知识点三投影向量1.如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a2.如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1提醒（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0.1.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝2，则向量a，b的夹角为（）A.3π4 C.π4 D.－解析：C设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，因为｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝2，所以cosθ＝a·b｜a||b｜＝22×1＝22.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是.

解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量是｜a｜·cos45°·e＝32e.答案：32e3.如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则AB·BC＝.

解析：AB·BC＝｜AB｜·｜BC｜cos（180°－B）＝－｜AB｜·｜BC｜·cosB＝－｜AB｜·｜BC｜·｜AB｜｜BC｜＝－｜AB答案：－1题型一两向量的夹角【例1】已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？解如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b.因为｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.通性通法求两个向量夹角的方法（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.在△ABC中，C＝90°，BC＝12AB，则AB与BC的夹角是（A.30° B.60°C.120° D.150°解析：C如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即AB与BC的夹角是120°题型二直接用数量积公式求数量积【例2】（1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；（2）已知正三角形ABC的边长为1，求：①AB·AC；②AB·BC；③BC·AC.解（1）①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②a·a－a·b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12.（2）①∵AB与AC的夹角为60°，∴AB·AC＝｜AB｜｜AC｜cos60°＝1×1×12＝1②∵AB与BC的夹角为120°，∴AB·BC＝｜AB｜·｜BC｜cos120°＝1×1×（－12）＝－1③∵BC与AC的夹角为60°，∴BC·AC＝｜BC｜｜AC｜·cos60°＝1×1×12＝1通性通法定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.1.已知平面上三点A，B，C满足｜AB｜＝3，｜BC｜＝4，｜CA｜＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝（）A.－7 B.7C.25 D.－25解析：D由题得｜AC｜2＝｜AB｜2＋｜BC｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.2.设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为.

解析：设a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b｜a||b｜＝12，∵θ∈[0答案：π题型三投影向量【例3】（1）已知｜a｜＝6，｜b｜＝3，a·b＝－12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是（）A.－4e B.4eC.－2e D.2e（2）已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则｜b｜＝.

解析（1）根据投影向量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影向量是｜a｜cosθe＝a·b｜b｜e（2）设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜·cosθ＝16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜·cosθe＝4e，∴｜a｜cosθ＝4，∴｜b｜＝4.答案（1）A（2）4通性通法投影向量的求解方法任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cosθe（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量）.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为.

解析：∵cosθ＝a·b｜a||b｜＝45（θ为a与b的夹角），∴向量a在向量b上的投影向量为｜答案：1251.已知｜a｜＝3，｜b｜＝23，a与b的夹角是120°，则a·b＝（）A.3 B.－3C.－33 D.33解析：B由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜·cos120°＝3×23×（－12）＝－3.故选2.若△ABC为等腰直角三角形且C＝90°，AB＝2，则AB·BC＝（）A.－2 B.2C.－22 D.22解析：A由题意知BC＝2，所以AB·BC＝｜AB｜·｜BC｜cos135°＝2×2×（－22）＝－2.故选3.若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.－34bB.