2023-2024学年人教A版必修第二册 6-2-3　向量的数乘运算 学案

6.2.3向量的数乘运算新课程标准解读核心素养1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义数学运算2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义逻辑推理一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？问题类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想a＋a＋a的结果吗？

知识点一向量的数乘运算及运算律1.向量的数乘（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa；（2）规定：①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0；（－1）a＝－a.2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么（1）λ（μa）＝（λμ）a；（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.提醒（1）向量的数乘仍是向量；（2）实数λ与向量不能相加；（3）若λa＝0，则λ＝0或a＝0；（4）当a≠0时，向量a｜a｜是与向量知识点二共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.共线向量定理中为什么规定a≠0？提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾.1.已知非零向量a，b满足a＝4b，则（）A.｜a｜＝｜b｜B.4｜a｜＝｜b｜C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反解析：C∵a＝4b，4＞0，∴｜a｜＝4｜b｜且a与b方向相同.2.12a＋b＋32a－4b＝（A.2a＋3bB.a－3bC.2a－3b D.2a－2b解析：C原式＝（12＋32）a＋（1－4）b＝2a－3b.3.若向量e1，e2不共线，则下列各组中，向量a，b共线的有.（填序号）

①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b，所以a，b共线；②中，b＝－2a，所以a，b共线；③中，a＝4b，所以a，b共线；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共线.答案：①②③题型一向量的线性运算【例1】（1）化简：14[2（2a＋4b）－4（5a－2b（2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x.解（1）14[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝14（4a＋8b－20a＋8b）＝14（－16a＋16b）＝－4a（2）因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.通性通法向量线性运算的方法（1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解.1.已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，则4a－3b＝（用e1，e2表示）.

解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4（e1＋2e2）－3（3e1－5e2）＝－5e1＋23e2.答案：－5e1＋23e22.已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝，y＝.

解析：由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.答案：3a＋2b4a＋3b题型二向量共线的判定及应用【例2】设a，b是不共线的两个非零向量.（1）若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.解（1）证明：∵AB＝OB－OA＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，BC＝OC－OB＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2AB，∴AB与BC共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.（2）∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.∵a与b不共线，∴8解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.通性通法1.证明或判断三点共线的方法（1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB＝λAC（或BC＝λAB等）即可；（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使OA＝xOB＋yOC且x＋y＝1.2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa（a≠0）.而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.若两向量不共线，必有向量的系数为零.1.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则（）A.k＝0 B.k＝1C.k＝2 D.k＝1解析：D由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，即－e1＋ke2＝λ（e2－2e1）＝λe2－2λe1，又e1与e2是不共线向量，∴－1=－2.若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且OA＝xOB＋yOC，则x＋y＝.

解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AB＝λBC，即OB－OA＝λ（OC－OB），∴OA＝（1＋λ）OB－λOC，则x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.答案：1题型三用已知向量表示未知向量【例3】在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设AB＝a，AC＝b，试用a和b表示AD.解∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，∴BD＝13∴AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC（变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？解：法一如图①，∵BC＝AC－AB，且CD＝BD，∴AD＝AB＋BD＝AB＋12BC＝AB＋12（AC－AB）＝12AB＋12AC＝法二如图②，以AB，AC为邻边作▱ABEC，则AE＝AB＋AC.∵CD＝BD，∴D是AE的中点.∴AD＝12AE＝12（AB＋AC）＝12（a通性通法用已知向量表示未知向量的两种方法（1）直接法（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.1.在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝13AB，BQ＝13BC，若AB＝a，AC＝b，则PQA.13a＋13bB.－13aC.13a－13b D.－13a解析：A如图所示，PQ＝BQ－BP＝13BC－23BA＝13（AC－AB）＋23AB＝13AB＋12.如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中点，则向量AM＝.（用a，b表示）

解析：AM＝AD＋12DC＝AD＋12AB＝b答案：b＋121.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF＝（）A.－12ABB.12ABC.13ABD.12AB解析：DAE＝AB＋BE＝AB＋12AD，DF＝DA＋AF＝DA＋12AE＝－AD＋12（AB＋12AD）＝－AD＋12.（多选）下列运算正确的是（）A.（－3）·2a＝－6aB.2（a＋b）－（2b－a）＝3aC.（a＋2b）－（2b＋a）＝0D.2（3a－b）＝6a－2b解析：ABD根据向量数乘运算和加、减运算律知A、B、D正确；C中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.3.化简：1312（2解析：1312（2a+8b)-(4a－2b）＝1答案：2b－a4.设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1